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文档简介
限时练习:40min完成时间:月日天气:寒假作业14最值问题将军饮马模型将军饮马模型在各类考试中,无论是解答题,还是选择、填空题,都是学生感觉有困难的地方,也恰是学生能力区分度最重要的地方,主要考查转化与化归等数学思想,在各类考试中都以中高档题为主.解决几何最值问题的主要依据是:①两点之间,线段最短;②垂线段最短,涉及的基本方法有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等.本节就将军饮马模型(两定一动求和(差)模型、两动一定求和模型、两动两定求和模型)进行专项训练,方便同学们熟练掌握.1.如图,直线表示一条河,,表示两个村庄,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,则所需管道最短的方案是()A. B.C. D.【答案】D【解析】如图,画出点关于的对称点,连接,交直线于点,此时,最小,故选.2.如图,小明从处出发沿街道行走,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
)条.A.18 B.16 C.12 D.9【答案】A【解析】如图所示,从到的最短路径有(两长两短):,共计6条;从到的最短路径有(两长一短):,共计3条.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18,故选A.3.如图,在中,是边的垂直平分线,交于点,交于点,点是直线上的一个动点,若,则的最小值为(
)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】∵ED是AC的垂直平分线,∴PC+PB=PA+PB,∵P运动的过程中,P与E重合时有最小值,∴PB+PC的最小值=AB=5.故选A.4.如图,点D是∠FAB内的定点且AD=2,若点C,E分别是射线AF,AB上异于点A的动点,且周长的最小值是2,则∠FAB的度数是()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】如图,作D点分别关于AF,AB的对称点G,H,连接GH分别交AF、AB于C′、E′,连接DC′,DE′,此时的周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2,根据轴对称的性质,得AG=AD=AH=2,∠DAF=∠GAF,∠DAB=∠HAB,∴AG=AH=GH=2,∴△AGH是等边三角形,∴∠GAH=60°,∴∠FAB=∠GAH=30°,故选A.5.如图,点A在y轴上,G,B两点在x轴上,且G(﹣3,0),B(﹣2,0),HC与GB关于y轴对称,∠GAH=60°,P,Q分别是AG,AH上的动点,则BP+PQ+CQ的最小值是()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】如图,分别作B,C关于AG和AH对称的点,,连接BP,CQ,、,PQ,∵HC与GB关于y轴对称,∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴,∴AG=AH,,关于y轴对称,∴当,,P,Q在同一条直线上时,最小,此时轴,∵∠GAH=60°,∴△AGH为等边三角形,∴∠AGO=60°,∵轴,B,关于AG对称,∴,,∴△BPG为等边三角形,过P作PM⊥GO交x轴于M,∵G(﹣3,0),B(﹣2,0),∴BG=1,BO=2,∴,∴,同理可得,即.故选B.6.如图,在中,∠ACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上,∠BCN=30°,点P为MN上一动点,连接AP,BP.当AP+BP的值最小时,∠CBP的度数为_____.【答案】15°【解析】如图,作点B关于MN的对称点D,连接AD交MN于P,连接BP,CD,此时AP+BP最小,为AD.∵点B与点D关于MN对称,∠BCN=30°,∴BC=CD,∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴AC=CD,∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°,∴∠CDP=15°,∵点B与点D关于MN对称,且△BCD是等边三角形,∴由等边三角形的轴对称性质可知:∠CBP=∠CDP=15°,故答案为15°.7.如图,等边三角形的边上的高为6,是边上的中线,M是线段上的一个动点,E是的中点,则的最小值为_________.【答案】6【解析】如图,连接BE,与AD交于点M.∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴B、C关于AD对称,则EM+CM=EM+BM,则BE就是EM+CM的最小值.∵E是等边△ABC的边AC的中点,AD是中线,∴BE=AD=6,∴EM+CM的最小值为6,故答案为:6.8.如图,在四边形ABCD中,.在BC,CD上分别找一点M,N,使周长最小,则的度数为_________.【答案】160°【解析】如图,作点A关于BC和CD的对称点,连接,交BC于M,交CD于N,,∴即为周长最小值,,,,,.故答案为:160°.9.如图,在等边中,E是边的中点,P是的中线上的动点,且,则的最大值是________.【答案】3【解析】如图,连接PC,∵在等边中,,P是的中线上的动点,∴AD是BC的中垂线,∴BP=CP,∴=CPPE,∵在中,CPPE<CE,∴当点P与点A重合时,CPPE=CE,∵E是边的中点,∴的最大值=6÷2=3.故答案是:3.10.如图所示,,点为内一点,,点分别在上,求周长的最小值.【解析】如图,作P关于OA、OB的对称点,连接、、,分别交OA、OB于M、N,根据轴对称的性质可知,,此时周长最小,为,且,,,,为等边三角形,,即周长的最小值为8.11.如图,等边三角形的边长为5,A、B、三点在一条直线上,且.若D为线段上一动点,则的最小值是________.【答案】10【解析】如图,连接CA1交BC1于点E,过点B作直线l⊥AB,∵△ABC是等边三角形,,∴是等边三角形,AB=A1B=5,∵A,B,三点在一条直线上,∴△ABC与△A1BC1关于直线l对称,∵∠ABC=∠A1BC1=60°,∴∠CBC1=60°,∴∠C1BA1=∠C1BC,∵BA1=BC,∴BE⊥CA1,CE=EA1,∴C,A1关于直线BC1对称,∴当点D与B重合时,AD+CD的值最小,最小值为线段AA1的长,为10,故答案为:10.12.如图,,点M,N分别是边,上的定点,点P,Q分别是边,上的动点,记,,当的值最小时,的大小=_______(度).【答案】50【解析】作M关于OB的对称点,N关于OA的对称点,连接,交OB于点P,交OA于点Q,连接MP,QN,如图所示.根据两点之间,线段最短,可知此时最小,即,∴,∵,∴,∵,,∴,∴.故答案为:50.13.如图,,为上一动点,,过A作交直线于,过作交直线于点,若,当的值最大时,则________.【答案】123°【解析】如图,当DM与DP重合,AN与AB重合时,ANDM的值最大,此时ANDM=AB,∵∠ABC=114°,∴∠CDE=180°114°=66°,∴∠MCD=90°66°=24°,又∵AB=BC,∴∠ACB=(180°114°)÷2=33°,∴∠ACE=180°∠ACB∠DCM=180°33°24°=123°,故答案为:123°.14.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念,某市决定修建道路和一座桥,方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧,河的两岸是平行的直线,经测量,张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为、,且,如图所示.现要求:建造的桥长要最短,然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短,则这座桥建造的位置是.(河岸边上的点到河对岸的距离都相等)【解析】如图,作B点关于直线b的对称点B',连接AB'交b于点P,∴BP=B'P,∴AP+BP=AP+B'P=AB',此时P点到A与B的距离和最短,过B'作B'M∥CD,延长AC与B'M交于点M,∴B'M=CD,∵AC=p(m)、BD=q(m),CD=(p+q)m,∴AM=(p+q)m,∴∠CAP=45°,∴AC=CP,∴P点与C点的距离是p(m),∴这座桥建造的位置是:到AC的距离为p(m)处,故答案为:到AC的距离为p(m)处.15.如图,等边(三边相等,三个内角都是的三角形)的边长为,动点和动点同时出发,分别以每秒的速度由A向和由向A运动,其中一个动点到终点时,另一个也停止运动,设运动时间为,,和交于点.(1)在运动过程中,与始终相等吗?请说明理由;(2)连接,求为何值时,;(3)若于点,点为上的点,且使最短.当时,的最小值为多少?请直接写出这个最小值,无需说明理由.【解析】(1)由已知可得AD=t,EC=t,∴AD=CE,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,BC=AC,∴△ADC≌△CEB(SAS),∴BE=CD,∴CD与BE始终相等.(2)如图1,∵DE∥BC,∴AD=AE,∵AB=AC=10,∴t=10t,∴t=5.图1图2(3)∵BM⊥AC,∴BM平分∠ABC,作D点关于BM的对称点D',位于BC上,连接D'E,交BM于点P,如图2,∵DP=D'P,∴的最小值为DP+PE=D'P+PE=D'E,∵t=7,∴AE=BD=BD′=3,AD=CE=7,CD′=7,又∠C=60°,∴△CD′E为等边三角形,∴D'E=CD′=7,∴PD+PE的最小值为7.16.如图,在中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB中点,连接CD,点P,Q分别为CE,CD上的动点.(1)求证:△ADC为等边三角形;(2)求PD+PQ+QE的最小值.【解析】(1)在中,,,点是斜边的中点,,是等边三角形.(2)如图,连接,和都是等边三角形,,,,垂直平分,,同理可得:垂直平分,,,由两点之间线段最短可知,当点共线时,取得最小值,故的最小值为4.17.小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物,因为食物比它大,所以它搬得很辛苦.但是它不放弃,一直慢慢往回爬.一会它咬住食物使劲往后拖,一会又咬住食物来回转圈,小茗同学急的想帮它.于是他连续几天都在观察,发现这个花圃的形状,如图,是一个锐角三角形,且∠ACB=50°,边AB上一定点P是小蚂蚁的家,小蚂蚁从家出发,它沿直线寻找食物,线路是从P出发走到AC,再从AC走到BC,最后回到家.假设M、N分别是AC和BC边上的动点,小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线,所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时,∠MPN的度数为.【答案】80°【解析】作点P关于AC,BC的对称点D,G,连接PD,PG分别交AC,BC于E,F,连接DG交AC于M,交BC于N,连接PM,PN,如图,PD⊥AC,PG⊥BC,则∠PEC=∠PFC=90°.由PM=DM,PN=NG,可得的周长最小为DG.∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°,∴∠C+∠EPF=180°,∵∠C=50°,∴∠EPF=130°,又∵∠D+∠G+∠EPF=180°,∴∠D+∠G=180°-∠EPF=180°-130°=50°.由对称可知∠G=∠GPN,∠D=∠DPM,∴∠GPN+∠DPM=50°,∴∠MPN=∠EPF-(∠GPN+∠DPM)=130°50°=80°,故答案为:80°.18.(1)唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题:如图所示,诗中大意是将军从山脚下的A点出发,带着马走到河边点饮水后,再回到点宿营,请问将军怎样走才能使总路程最短?请你通过画图,在图中找出点,使的值最小,不说明理由;(2)实践应用,如图,点为内一点,请在射线、上分别找到两点A、,使的周长最小,不说明理由;(3)实践应用:如图,在中,,,,,平分,、分别是、边上的动点,求的最小值.【解析】(1)如图1,作点关于直线小河的对称点,连接,交于,则最小.理由:根据作法得:,∴,∴当点共线时,最小.(2)如图,分别作点关于,的对称点和,连接,交于A,交于,连接,,则的周长最小.理由:根据作法得,,,∴,∴当点共线时,的周长最小.(3)如图,过点C作,交于,交于,连接ME,,平分,,在和中,,≌,,,∵,OM=OM,∴△COM≌△EOM,,,∴当点N,M,E共线时,CM+MN最小,最小值为EN,且当EN⊥AC时,NE最小,过点C作CF⊥AB于点F,∵,,,,∴,即,解得,∵,,∴的最小值为.19.探究(一),如图①,为了支持山庄经济开发,政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品,免费车只能在公路l上行驶,你认为停在哪里,到两村庄的距离相等?请通过尺规作图表达你的观点.探究(二),如图②,为了支持山庄经济开发,政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品,免费车只能在公路l上行驶,你认为停在哪里,到两村庄的距离和最短?请借助刻度尺、直角三角板或圆规等,通过画图表达你的观点,也可以文字叙述你的做法.探究(三),如图③,为了支持山庄经济开发,政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品,免费车只能在公路l上行驶,你认为停在哪里,最大?请借助刻度尺、直角三角板或圆规等,通过画图表达你的观点,也可以文字叙述你的做法.拓展应用:如图④,中,,,,E是的中点,P是边上的一动点,则的最小值为___________.【解析】探究(一):如图所示,线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求.
探究(二):如图所示,作点A关于直线l的对称点,连接交直线l于Q,点Q即为所求.探索(三):如图所示,延长交直线l于P,点P即为所求.在直线l上任取不与点P重合的点,∵,∴,又∵,∴当点与点P重合时,,∴直线l上任意一点一定满足,∴点P即为所求.拓展应用:如图所示,作点A关于直线的对称点F,连接交于G,连接,∴,∴,∴当三点共线时最小,即最小,此时最小值为,点P与点G重合,∵中,,,∴,∴,∵是的中点,,∴,又∵,∴,∴,∴的最小值为6,
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