寒假作业14最值问题之将军饮马模型（19道经典题型3道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业14最值问题将军饮马模型将军饮马模型在各类考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等数学思想，在各类考试中都以中高档题为主.解决几何最值问题的主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等.本节就将军饮马模型（两定一动求和（差）模型、两动一定求和模型、两动两定求和模型）进行专项训练，方便同学们熟练掌握.1．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，画出点关于的对称点，连接，交直线于点，此时，最小，故选．2．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（

）条．A．18 B．16 C．12 D．9【答案】A【解析】如图所示，从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条；从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18，故选A．3．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选A.4．如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C，E分别是射线AF，AB上异于点A的动点，且周长的最小值是2，则∠FAB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】如图，作D点分别关于AF，AB的对称点G，H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，此时的周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等边三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故选A．5．如图，点A在y轴上，G，B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P，Q分别是AG，AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】如图，分别作B，C关于AG和AH对称的点，，连接BP，CQ，、，PQ，∵HC与GB关于y轴对称，∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，，关于y轴对称，∴当，，P，Q在同一条直线上时，最小，此时轴，∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，∵轴，B，关于AG对称，∴,，∴△BPG为等边三角形，过P作PM⊥GO交x轴于M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故选B．6．如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．【答案】15°【解析】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，此时AP+BP最小，为AD.∵点B与点D关于MN对称，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵点B与点D关于MN对称，且△BCD是等边三角形，∴由等边三角形的轴对称性质可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为15°．7．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的一个动点，E是的中点，则的最小值为_________．【答案】6【解析】如图，连接BE，与AD交于点M．∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线，∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．8．如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．【答案】160°【解析】如图，作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，，∴即为周长最小值，，，，，.故答案为：160°．9．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．【答案】3【解析】如图，连接PC，∵在等边中，，P是的中线上的动点，∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CPPE，∵在中，CPPE＜CE，∴当点P与点A重合时，CPPE=CE，∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．10．如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．【解析】如图，作P关于OA、OB的对称点，连接、、，分别交OA、OB于M、N，根据轴对称的性质可知，，此时周长最小，为，且，，，，为等边三角形，，即周长的最小值为8.11．如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________．【答案】10【解析】如图，连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，∵△ABC是等边三角形，，∴是等边三角形，AB=A1B=5，∵A，B，三点在一条直线上，∴△ABC与△A1BC1关于直线l对称，∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC，∵BA1＝BC，∴BE⊥CA1，CE＝EA1，∴C，A1关于直线BC1对称，∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长，为10，故答案为：10．12．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=_______（度）．【答案】50【解析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案为：50．13．如图，，为上一动点，，过A作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则________．【答案】123°【解析】如图，当DM与DP重合，AN与AB重合时，ANDM的值最大，此时ANDM=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°114°=66°，∴∠MCD=90°66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°∠ACB∠DCM=180°33°24°=123°，故答案为：123°．14．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【解析】如图，作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，∴BP＝B'P，∴AP＋BP＝AP＋B'P=AB'，此时P点到A与B的距离和最短，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，∴AM＝（p＋q）m，∴∠CAP＝45°，∴AC＝CP，∴P点与C点的距离是p（m），∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处，故答案为：到AC的距离为p（m）处．15．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【解析】（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等.（2）如图1，∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10t，∴t=5.图1图2（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D点关于BM的对称点D'，位于BC上，连接D'E，交BM于点P，如图2，∵DP=D'P，∴的最小值为DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，CD′=7，又∠C=60°，∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．16．如图，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P，Q分别为CE，CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【解析】（1）在中，，，点是斜边的中点，，是等边三角形.（2）如图，连接，和都是等边三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，故的最小值为4．17．小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为．【答案】80°【解析】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，如图，PD⊥AC，PG⊥BC，则∠PEC=∠PFC=90°.由PM=DM，PN=NG，可得的周长最小为DG.∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∴∠EPF=130°，又∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=180°－∠EPF=180°－130°=50°.由对称可知∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°50°=80°，故答案为：80°.18．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的A点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点A、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．【解析】（1）如图1，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小.理由：根据作法得：，∴，∴当点共线时，最小.（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接，交于A，交于，连接，，则的周长最小.理由：根据作法得，，，∴，∴当点共线时，的周长最小.（3）如图，过点C作，交于，交于，连接ME，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，过点C作CF⊥AB于点F，∵，，，，∴，即，解得，∵，，∴的最小值为．19．探究（一），如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄的距离相等？请通过尺规作图表达你的观点．探究（二），如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄的距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点，也可以文字叙述你的做法．探究（三），如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点，也可以文字叙述你的做法．拓展应用：如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________.【解析】探究（一）：如图所示，线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求.

探究（二）：如图所示，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于Q，点Q即为所求.探索（三）：如图所示，延长交直线l于P，点P即为所求.在直线l上任取不与点P重合的点，∵，∴，又∵，∴当点与点P重合时，，∴直线l上任意一点一定满足，∴点P即为所求.拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接，∴，∴，∴当三点共线时最小，即最小，此时最小值为，点P与点G重合，∵中，，，∴，∴，∵是的中点，，∴，又∵，∴，∴，∴的最小值为6，