2019高三数学（人教A版文）一轮教师用书第2章第6节对数函数

第六节对数函数[考纲](教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，eq\f(1,2)的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(对应学生用书第18页)[基础知识填充]1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[知识拓展]1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝eq\f(1,logba)； (2)logambn＝eq\f(n,m)logaB． 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图2­6­1，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜B．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．图2­6­1[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.() (2)当x＞1时，logax＞0.() (3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．() (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象不在第二、三象限．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，则() A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\f(1,3)＞logeq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞B．]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图2­6­2，则下列结论成立的是()图2­6­2 A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是() A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) C[当0＜a＜1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)； 当a＞1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1. 即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．(2018·苏州模拟)计算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.【导学号：79170033】 2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因为log43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).](对应学生用书第19页)对数的运算(1)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于() A．eq\r(10) B．10 C．20 D．100 (2)(2018·太原模拟)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于() A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),6) C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),4) (1)A(2)D[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log ∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m＝eq\r(10). (2)由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1， 即log2x＝3，所以x＝8， 所以x＝eq\f(\r(2),4).] [规律方法]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1](1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))则f(2＋log23)的值为() A．24 B．16 C．12 D．8 (2)(2015·浙江高考)计算：log2eq\f(\r(2),2)＝________，2log23＋log43＝________. (1)A(2)－eq\f(1,2)3eq\r(3)[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝ 23＋log23＝8×3＝24，故选A． (2)log2eq\f(\r(2),2)＝log2eq\r(2)－log22＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3)＝3eq\r(3).]对数函数的图象及应用(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD (2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． (1)B(2)(1，＋∞)[(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．故选B． (2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．] [规律方法]1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2](1)(2018·邵阳模拟)若函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是() (2)(2018·合肥模拟)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()【导学号：79170034】 A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2) (1)B(2)B[(1)由题意函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，∴有f(0)＝0，即0＝1－k， ∴k＝1，根据增＋增＝增，∴y＝ax是增函数，∴a＞1. 那么函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞1)的图象单调递增，恒过(0,0)，故选B． (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，则a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).]对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(1)(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则() A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb (2)(2018·榆林模拟)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a、b、c A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a (1)B(2)B[(1)∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误； ∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0， ∴logca＜logcb，B项正确； ∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误； ∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误． (2)因为a＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4＜0，所a＞b＞C．角度2解简单的对数不等式(1)(2018·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))，则不等式f(x)≤5的解集为() A．[－1,1] B．(－∞，－2]∪(0,4) C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[0,4] (2)(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则() A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 (1)C(2)D[(1)由于f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))， 当x＞0时，3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2－x－1≤5，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤0， ∴不等式f(x)≤5的解集为[－2,4]，故选C． (2)法一：logab＞1＝logaa， 当a＞1时，b＞a＞1； 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确． 法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D．]角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【导学号：79170035】 [解](1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函数f(x)的定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在