2021年沪教版必修二数学期末复习-第8章 平面向量章节考点分类复习导学案

章节考点分类复习导学案

【考点1】向量的概念及线性运算

1.（2021•湖南师大附中高二月考）如图所示，。为线段4A201外一点，若4,A，4,4,…,

42。1中任意相邻两点间的距离相等，西=£,OA^^b,则用B表示

西+两+砥+…+砥〉其结果为（）

A.100（。+可B.101（a+B）

C.2010+与D.202（Z+B）

【答案】B

【分析】设的中点为A，根据中线的向量表示，化简即可求和.

【详解】设44oi的中点为A,则A也是AA200,…，Aoodoi的中点，

可得砥+皈'=2砺=3+3,同理可得

OA^+0^^-OA2+CM19g=•••=OAjgo+=a+b,

故西+西+就+…+西^=101x2砺=101R+®,

故选：B

2.（2021•北京延庆区•高三其他模拟）设。为AABC所在平面内一点，元=2丽，则

（）

A.AD=--AB+-ACB.AD=--AB+-AC

3322

.3—■1.

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

2222

【答案】B

【分析】利用向量减法的三角形法则的逆运算，将耳心=2丽化为以A为始点的向量即可得

解.

【详解】因为豆心=2而，所以就一通=2（而一/），

­.1―.3―-

所以AQ=——AB+-AC.

22

故选：B

3.（2021•天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）下列说法中正确的是（）

A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B.模相等的两个平行向量是相等向量

C.若£和加都是单位向量，则£=万

D.零向量与其它向量都共线

【答案】D

【分析】利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B

选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重

合，A选项错误；

对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；

对于C选项，£和办都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故£和办不一定相等，C选项错

误；

对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.

故选：D.

4.（2021•湖南岳阳市•）已知等边三角形力式的边长为4,妫三角形内一点，且

OA+OB+2OC=0<则的面积是（）

A.B.随C.芷D.25/3

33

【答案】D

【分析】设/删中点为〃，可得丽+丽=2而，进而可得反=-而，得出提械I中点，

即可求解面积.

【详解】解：根据题意，设力砸中点为〃，AABC是等边三角形，则

力力的中点为〃，则丽+。行=2瓦i，

又由次+而+2反=6，则反=一而，则段力尻付中点，

又由△ABC的边长为4,则A£>=2，CD=2g,则OO=百，

l

WJSAOfl=lx4xV3=273,

故选：D.

c

【点睛】关键点睛：本题考查向量的相关问题，解题的关键是判断出娓中线血的中点.

【考点2】向量的数量积

5.（2021•江苏泰州市•泰州中学高一月考）若两个向量瓶与日的夹角为亍，且色是单位向

量，向量|5|=2,c=2a+b>则向量1与很的夹角为______

【答案】7

O

【分析】求出"•石及El,然后由数量积定义可得夹角.

【详解】由已知a-B=lx2xcosC=l,

3

所以0]=（2.+历％=2〃石+片=2x1+2?=6.

同=忸+*yl（2a+bY=\l4a+4a-b+b=V4xl2+4xl+22=2也，

c-b6V3兀

设E与万的夹角为氏则8$6n=丽=访裒=5-,。£[0,加，所以

故答案为：•

6

6.（2021♦浙江高一单元测试）设,畛为单位向量，满足|2e1-e2区及，a=e1+e2,

b=3et+e2,设a,的夹角为6,则cos?。的最小值为.

【答案】W

29

urir3

【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得6.2上（，再根据向量夹角公式求

cos?e函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】|24一国《a=（24一当）一42,解得：e,-e2>-,

cosQ==（4+•（3乌+,）_4+44

同WJ（R+02）2X［（3召+。2）2也+2够x110+6眄'

设号,a=x,

cos?。.：®x+l）216（x+l）,4（x+iy

（2+2x）（10+6x）12冗2+32X+203X2+8X+5

_4（X+1）2_4'

3（x+l『+2（x+l）3।2

x+l

onoOQ

当=时，8$26€［二,1］,二以光26的最小值是一.

42929

28

故答案为：——

29

【点睛】关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值.本题的特点是注重基础，本

题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查

转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养.

7.（2021•浙江高一单元测试）如图，在矩形川及冲，AB=y/2,80=2,点创豌勺中点，

点雁边G9上，若%从Ak=C，则亚户的值是.

【答案】V2

【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解|而|=1，

|CF|=V2-1,再利用运算律转化求正.旃即可.

..UUUUUIU

【详解】♦..AF=AD+Ob，ABAD=Q<

ABAF=AB-^AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=y/2\DF\=y[2,

A|DF|=1,|CF|=V2-1,

AEBF=(JB+BE^(BC+CF^ABBC+ABCF+BEBC+BECF,

ABBC=O,BECF=O,ABCF=\AB\\CF\COS71=-V2（V2-1）,

B£-BC=|BE|-|BC|=1X2=2,

AE-BF=A5-CF+B£-BC=-V2（V2-l）+2=-2+V2+2=V2,

故答案为：母.

8.（2021•北京市八一中学高三期末）已知向量£、坂，同=1,忖=2,九伍一句，则内―q=

【答案】2

【分析】由小但一可可得出£%的值，计算出悔-邛的值，即可求得忤一q的值.

【详解】由己知条件可得==0,^\a-b=a=|a|=1.

所以，-彳=4了一4£4+片=4xF-4x1+2?=4,因此，|2a-^|=2.

故答案为：2.

9.（2021•沙坪坝区•重庆一中高三月考）已知向量2,日，同=3,a?b2,则小,一5）=

【答案】7.

【分析】利用向量数量积运算展开即可得到答案.

【详解】a-（a-ft）=（a）2-（5^）=9-2=7.

故答案为：7.

【考点3】向量的坐标表示

-61-八⑨…

10.（2021•浙江局一单兀测试）已知向量4=—,-r-，b=---—，则;

I乙77

B斗——•

【答案】—gG

【分析】利用向量数量积运算可求出7人向量减法运算求出工-各的坐标，即可计算出，

-门⑸7（\⑸

【详解】解：因为向量。=,b=-一-,

7I'7

117361131

所以a%==—X-----F------X—=--=—

（2'2人2'222227442

a-B=（0,G）,

,一q=Vo2+32=8.

故答案为：一万；^3.

TT

11.（2020•山东济宁市•高三期中）如图所示，在AABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=-,

户是密上一点，且满足丽=机就+g丽，则实数”?=；APCB=

2I-.1—.?―-

【分析】由于民C,P三点共线，所以机+§=1,得m=所以AP=]AC+§AB,由于

AB=4,AC=3,ZBAC=y,所以将福,彳心作为基底，而屈=丽一恁，所以

/壬=1而+：福卜通-记号启4^宓，代值可得结果

【详解】•••而，AC,通的终点共线，

2,1

m+—=1,...”=一,

33

一1一2一

AP=-AC+-AB,

33

又；丽=丽-箱

XP-CB=^1AC+|ABJ-（AB-AC）=|AB2-|AB-AC-|IC2,①

7T

•：AB=4,AC=3,ZBAC=~,

.・•滴=16,AC2=9.ABAC=4X3XCOS-=6,

----17

代入①式，计算得：APCB=—.

3

117

故答案为：—，—■

33

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线的应用，平面向量基本定理的应用以及数量积的

计算，属于典型的向量综合题，难度适中，解题的关键是将旃,衣作为基底，把而，而用

基底表示出来

12.(2021©折江高三其他模拟)已知向量£,B满足£+%=(1,2+2。，2=(—3,2—2。.若

a-(a+B)=6,则/=，向量Z+坂与B的夹角为.

7T

【答案】1-

4

【分析】由£+4+£—刀=2£得£，由£+方一仅一4)=4瓦得分，再由—(£+万)=6可

得f，由cos(a+B,=可得答案.

【详解】由Z+%+£—%=2£=(l,2+2f)+(—3,2—2/)=(—2,4),得£=(-1,2),

由％+4_仅_叫=4万=(1,2+2>(_3,2_2。=(4,旬，得力=(]#,

所以a+否=(0,2+f),因为a-(a+冲=6,所以2(2+/)=6,解得f=l,6=(1,1),

伍+炉_3—夜

a+b=(0,3).所以cos(a+-B)

|«+^|-|/?|3x02

所以(a+aB)=a，即向量a+5与加的夹角为a-

故答案为：①1；②一.

4

13.(2021•浙江高三其他模拟)如图，在矩形48CQ中，45=3,AD=2,DE=2EC,

M为的中点，则上任.而=；若点尸在线段BD上运动，则》后.丽■的最小值为

DE

【分析】解法一：由赤•丽=（碇+G却•（配+包）展开计算即可，设

PB=/IBD（O</1<1）,则而•两=［（1一4）而+诙］«-；1而+而）展开计算即可；解法

二：建立如图所示的平面直角坐标系，转化为点坐标计算则配•丽=（-□）•（-3,2）,

PEPM=PG而PG的最小值是点G到直线的距离d,计算即可.

2

【详解】

解法-由题意知CE=CA7=1,则砺.丽=（研+在）•（而+①）

MC-BC+MCCD+CEBD+CECD=2+0+0+3=5

设P8=X8£>（OK/l<l）,则丽=々丽，丽=（1一4）而，

故屋丽=（而+诙）•例+丽/［（1-/I）而+诙］（-4而+丽'）

-ABDDE+DEBM而忸。=回，BD=AD-AB>

所以

（）（）2j23

=-132l-2+l-A^D-W+AAB-DE=132-9/l+2=13U-^।+521

23

所以而•西的最小值为5.

解法二：由题意得DE=2,BM=\.以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,》轴,

建立如图所示的平面直角坐标系，则4（0,0）,8（3,0）,D（0,2）,£（2,2）,“（3,1）,则

砺=（-1,1）,丽=（-3,2）,

所以斯•丽3,2）=5.易得直线3£）的方程为尹1=1,

即2x+3y—6=0,取EM的中点G,则G^，|），所以G到直线80的距离

53

2x-+3x--6

a/=----2,2---7

V22+32一2后

由极化恒等式得

]_

PEPM

2

若要求而•丽的最小值，则只需求PG的最小值即可，而PG的最小值是点G到直线BD的

距离d,

所以而.闲的最小值为4^9|-；1=臣23.

故答案为：5；—

52

【点睛】关键点点睛：本题求数量积最值问题，需要转化点与点之间的距离或点到线的距离

问题，利用几何法求解是解题的关键.

【考点4】向量的应用

14.（2021•湖南高一月考）AABC内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知

.「乖＞.

asmC=——ccosA・

3

（1）求A的值；

（2）若a=5,求2A-血的取值范围.

【答案】（1），（2）（-573,10）.

【分析】（1）由正弦定理的边化角公式求出A的值；

（2）由4=上=—J=10得出2b-Gc=10cosC,再由C的范围结合余弦函数的

sinAsinBsinC

性质得出答案.

【详解】解：(1)因为osinC=」^ccosA，所以sinAsinC='^sinCcosA.

33

J3出

又sinCwO,所以sinA=^cosA，BPtanA

3T

■JT

又A£(o,%),所以A=—.

6

(2)因为a=5,所以，一=—C_=-^=H)

sinAsinBsinC

所以2》一丛c=20sinB-105/3sinC=20sin(+Cj-10>/3sinC=lOcosC.

由题可知,ceH"),则10cosCe(—56,l(»,

故2。-6c的取值范围是"6/0）.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理的边化角公式求出A,再由三角函数

的性质得出2b-瓜的取值范围.

15.（2021•天津静海区•静海一中高一月考）在AA5c中，角力、B、。的对边分别为a、b、

c,已知3（a—c）~=3〃-2ac

（1）求cosB的值；

jr

(2)若5a=3b,求sin(2A+7)的值.

【答案】（1）2：（2）4、+3

310

【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）利用正弦定理求得sinA=、5,结合角A的范围可得cosA=2叵，再由二倍角的正余

55

弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.

【详解】（1）在AABC中，由3（。一］=3〃一2呢，整理得,

''2ac3

2

又由余弦定理，可得cos5=

（2）由（1）可得sin8=逝，又由正弦定理」一=一竺，

3sinAsinB

及已知年沏可得sd手=|>4=字

13

可得cos24=l-2sirrA二m,由已知5。=38，可得。<。，故有A<3，

.•・A为锐角，故由sinA=@,可得cosA=*，从而有sin2A=2sinAcosA=q,

555

.（c.乃）.c.兀c..乃4G3146+3

sin2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—=—x——+-x—=----------.

I6J66525210

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现

"角化边”.

16.（2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）在AABC中，内角AB,C所对的边分别为

,.3

a,b,c.已知a>£>,（7=5,c=6,sinB.

（1）求b和sinA的值;

（2）求三角形必电的中线AO长；

TT

（3）求sin（2A+：）的值.

4

【答案】（1）V13.土姮；（2）叵；（3）—.

13226

【分析】（1）确定8锐角，求得cosB,由余弦定理求得b,再由正弦定理得sinA；

（2）在△回£>中由余弦定理求得中线AD，

（3）确定A是锐角，求得cos4,由二倍角公式求得sin2Acos2A,然后由两角和的正弦公

式求值.

34

【详解】（1）在AABC中，因为故由sinB=j,可得8$3=二.

由已知及余弦定理，有〃=。2+。2一2accosB=13，所以匕=旧.

由正弦定理一仁=/_,得sinA=0@BO=M3.

sinAsmBb13

所以，。的值为JR，sinA的值为之姮.

13

4

（2）设比边的中点为〃，在中，cos5=-

由余弦定理得:

AD=JAB2+(—)2-2XABX-XCOSBL,5、2_zW4773

V22=^6-+(-)2-2x6x(-)x-=^-,

(3)由(1)及“<c,得cosA=2''^,所以sin2A=2sinAcosA=2,

1313

■15

cos2A=1-2sin-A=-----.

13

故sin(2A+E)=sin2Acos色+cos2Asin工.

44426

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正

弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算.

17.(2021•天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)如图，是底部不可到达的一座建筑物，A

为建筑物的最高点，经过测量得到在点，处的仰角为45。，。处的仰角为75。，且。20,测角仪

的高为1.2,求出建筑物的高度.

【答案】10(6+1)+12

【分析】在AADC中，求得ND4C=75°-45'=30°，根据正弦定理可得AC=2()JLW在

直角AAEC中，由A£=AC-sine,即可求解.

【详解】在AADC中,根据题意可得ZDAC=75°—45°=30，

由正弦定理可得AC=丝n'=----------1=20显，

smOACsin三

6

在直角AAEC中，可得AE=AC•sina=20叵xsin75、200sin(300+45)

=20式(sin30cos45。+cos30sin450)=10(73+1)

所以建筑的高为A3=10(6+1)+12.

18.(2021•浙江高一期末)如图，游客从某旅游景区的景点4处下山至说有两种路径.一种

是从1沿直线步行到C另一种是先从/沿索道乘缆车到8,然后从团才直线步行到C,现有甲、乙

两位游客从4处下山，甲沿力⑥速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从/乘缆车到

B,在8处停留Imin后，再匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路/C

463

长为1260m,经测量得sinC=一，sin3