第07讲 立体几何与空间向量（2022-2024高考真题）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第07讲立体几何与空间向量（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，该棱锥的高为（

A．1 B．2 C．2 D．32．（2024·全国·高考真题）设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题：①若m//n，则n//α或n//β

②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β③若n//α且n//β，则m//n

④若n与α,β所成的角相等，则m⊥n其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④3．（2024·天津·高考真题）一个五面体ABC−DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1．并已知AD=1，BE=2，A．36 B．334+124．（2024·天津·高考真题）若m,n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若m//α，n//α，则m⊥n B．若mC．若m//α,n⊥α，则m⊥n D．若m//α,n⊥α，则5．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，AA．12 B．1 C．2 6．（2024·全国·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（

）A．23π B．33π C．7．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P1,P2,P3∈Ω，存在不全为0的实数λA．0,0,0∈Ω C．0,1,0∈Ω 8．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为14

A．102m B．112mC．117m D．125m9．（2023·全国·高考真题）在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=6，则该棱锥的体积为（

A．1 B．3 C．2 D．310．（2023·全国·高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A．15 B．25 C．3511．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（A．π B．6π C．3π D．12．（2023·天津·高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥A．19 B．29 C．1313．（2022·天津·高考真题）十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BCE=120°,则该几何体的体积为（

）A．272 B．2732 C．2714．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A．100π B．128π C．144π D．192π15．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若SA．5 B．22 C．10 D．16．（2022·全国·高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．8 B．12 C．16 D．2017．（2022·全国·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．13 B．12 C．3318．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥P−ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为（A．3π4 B．π C．2π D．19．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为A．1.0×109m3 B．1.2×10920．（2022·全国·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．平面B1EF⊥平面BDD1 C．平面B1EF//平面A1AC 二、多项选择题21．（2023·全国·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为0.99mB．所有棱长均为1.4mC．底面直径为0.01m，高为1.8D．底面直径为1.2m，高为0.0122．（2023·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4C．AC=22 D．△PAC的面积为23．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1,VA．V3=2VC．V3=V三、填空题24．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2r2−25．（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．26．（2023·全国·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为27．（2023·全国·高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为28．（2023·全国·高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C29．（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．四、解答题30．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．(1)若AP=5,AD=32，求△POA绕PO(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．31．（2024·全国·高考真题）如图，AB//CD,CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4,AD=BC=10，AE=23,M为(1)证明：EM//平面BCF；(2)求点M到ADE的距离.32．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=3(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为427，求AD33．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3,点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．34．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M(1)证明：BM//平面CDE；(2)求二面角F−BM−E的正弦值．35．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中(1)求证D1N//平面(2)求平面CB1M(3)求点B到平面CB36．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=25AD，AF(1)证明：EF⊥PD；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．37．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，

(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A−PC−B的大小．38．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C

(1)证明：平面ACC1A(2)设AB=A1B,A39．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥底面

(1)证明：A1(2)已知AA1与BB1的距离为2，求40．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA

(1)求证：A1N//平面(2)求平面AMC1与平面(3)求点C到平面AMC41．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，(1)求证：EF//平面ADO；(2)若∠POF=120°，求三棱锥P−ABC的体积．42．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在

(1)证明：EF//平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D−AO−C的正弦值.43．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA

(1)证明：B2(2)点P在棱BB1上，当二面角P−A2C44．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E为(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF=DA，求二面角45．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F−DC−B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．46．（2022·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F−ABC的体积．47．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：EF//平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．48．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，点D、E、(1)求证：EF//平面ABC(2)求直线BE与平面CC(3)求平面A1CD与平面49．（2022·全国·高考真题）如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．

(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．50．（2022·全国·高考真题）在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．51．（2022·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠AC