重难点07 双变量问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点07双变量问题【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1双变量单调性问题】 2【题型2双变量的最值（取值范围）问题】 3【题型3双变量问题转化为单变量问题】 4【题型4与极值点有关的双变量问题】 5【题型5与零点有关的双变量问题】 6【题型6双变量的恒成立问题】 7【题型7双变量的不等式证明问题】 8【题型8与切线有关的双变量问题】 10【题型9双变量的新定义问题】 111、双变量问题导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.【知识点1导数中的双变量问题】1．导数中的双变量问题导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】1．转化为同源函数解决双变量问题此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.2．整体代换解决双变量问题(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0的两个根，确定x1，x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.3．构造函数解决双变量问题的答题模板第一步：分析题意，探究两变量的关系；第二步：合二为一，变为单变量不等式；第三步：构造函数；第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.【题型1双变量单调性问题】【例1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数fx=xlnx−12ax2，a∈R(1)若gx=f(x)x，求函数(2)若对于任意的x1，x2∈(0,+∞)【变式1-1】（23-24高二下·上海·期末）已知fx(1)求曲线y=fx在x=1(2)若对任意的x1,x2∈0,+∞【变式1-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数f(1)当a=1时，求函数fx(2)若fx1−fx2【变式1-3】（2024·山西吕梁·三模）已知函数fx(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的x1,x2∈【题型2双变量的最值（取值范围）问题】【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数fx（1）若fx≥0，求实数（2）若gx=fx+x2+【变式2-1】（2023·湖北武汉·一模）已知关于x的方程ax−lnx=0有两个不相等的正实根x1和x(1)求实数a的取值范围；(2)设k为常数，当a变化时，若x1kx2有最小值【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=sin(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x1<x（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：x1【变式2-3】（2024·四川泸州·一模）已知函数fx=ax+1−xlnx的图像在(1)求函数fx(2)若∀x1,x2∈0,+【题型3双变量问题转化为单变量问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax−ln(1)若fx存在零点，求a(2)若x1，x2为fx的零点，且x【变式3-1】（2024·广东佛山·二模）已知fx(1)当a=3时，求fx(2)若fx有两个极值点x1，x2【变式3-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)设x1,x2x【变式3-3】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数fx(1)讨论fx(2)已知x1,x2是函数（ⅰ）求实数a的取值范围．（ⅱ）λ∈0,12,f【题型4与极值点有关的双变量问题】【例4】（2024·四川南充·二模）已知函数fx=aex−(1)求实数a的取值范围；(2)若x3≥2x【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx(1)当t=0时，讨论函数fx(2)已知Fx=fx−ex，函数Fx【变式4-2】（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求fx(2)设函数gx=x2−1ex−x−fx【变式4-3】（2023·上海松江·模拟预测）已知函数f(x)=ax−aln(1)若a=0，求函数y=f(x)的极值点；(2)若不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数y=f(x)有三个不同的极值点x1、x2、x3，且f(【题型5与零点有关的双变量问题】【例5】（2024·四川·一模）已知函数fx(1)若a=1，求fx(2)若fx有2个零点x1,【变式5-1】（2023·河南·模拟预测）已知函数fx=x(1)当a=1时，求fx(2)若函数gx=fx−x【变式5-2】（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知函数fx=ax−ln(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x【变式5-3】（2023·海南海口·模拟预测）已知函数f(x)=xe(1)求f(x)的最小值；(2)设F(x)=f(x)+a(x+1)（ⅰ）证明：F(x)存在两个零点x1，x（ⅱ）证明：F(x)的两个零点x1，x2满足【题型6双变量的恒成立问题】【例6】（2023·四川自贡·二模）已知函数fx=aex−(1)求a的取值范围；(2)若x2≥3x1时，不等式【变式6-1】（2023·河南·二模）已知函数fx=1(1)讨论fx(2)当m>0时，若对于任意的x1∈0,+∞，总存在x2【变式6-2】（2023·全国·二模）已知函数fx=xlnx−a(1)当a=12时，若gx=f′(x)(2)已知x1,x2是函数f（x）的两个极值点，且x1【变式6-3】（2023·安徽淮南·一模）已知f(x)=alnx+x有两个不同的零点(1)求实数a的取值范围；(2)若x0=x1+λ【题型7双变量的不等式证明问题】【例7】（2023·安徽六安·模拟预测）已知函数f(x)=x2+2(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数g(x)=f′(x)−5x+5alnx【变式7-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数f(x)=x−1（1）当m=2时，试判断函数f(x)在(π,+∞)上的单调性；（2）存在x1,x2∈(0,+∞)，x【变式7-2】（2023·福建龙岩·二模）已知函数f(x)=lnx，(1)若x0满足fx0=x0+1(2)若F(x)=f(x)−g(x)，且F′x1【变式7-3】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数f(x)=kln(1)若函数y=f(x)为增函数，求k的取值范围；(2)已知0<x（i）证明：ee（ii）若x1ex【题型8与切线有关的双变量问题】【例8】（2023·四川成都·模拟预测）若函数fx=alnx−1(1)求a的取值范围；(2)若fx在x1,0和x2,0【变式8-1】（2024·广东·二模）已知fx(1)求fx(2)函数fx的图象上是否存在两点Ax1,y1,Bx2,y【变式8-2】（2024·四川宜宾·三模）已知函数fx=m+(1)当m=2时，求fx(2)当m∈3,+∞时，曲线y=fx上总存在相异两点Px1,fx1、Qx【变式8-3】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x0作为r的初始近似值，若f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴相交于点(x1,0)，称x1是r的一次近似值；用x1替代x0重复上面的过程，得到x(1)若f(x)=x3+3x2(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(x)=ex−3在点(2,g(2))(3)若ℎ(x)=x(1−lnx)，若关于x的方程ℎ(x)=a的两个根分别为x1【题型9双变量的新定义问题】【例9】（2024·浙江绍兴·三模）若函数α(x)有且仅有一个极值点m，函数β(x)有且仅有一个极值点n，且m>n，则称α(x)与β(x)具有性质α−β//m>n．(1)函数φ1(x)=sinx−x(2)已知函数fx=aex−（i）求a的取值范围；（ii）证明：gx【变式9-1】（2023·湖北·二模）设fx是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数ℎx，其中ℎx对任意的x∈(1,+∞)(1)设函数f(x)=lnx+b+2（i）求证：函数fx具有性质P（ii）求函数fx(2)已知函数gx具有性质P2.给定x1,xα=mx1+(1−m)x2，β=(1−m)x1+mx【变式9-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：

①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆x−a2+y−b2=则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径．(1)求抛物线y=x(2)求曲线y=1(3)若曲线y=ex在x1,e【变式9-3】（2023·上海徐汇·二模）已知常数k为非零整数，若函数y=fx，x∈0,1满足：对任意x1,x2∈(1)函数y=2x，x∈0,1是否为L(2)若y=fx为L1函数，图像在x∈0,1是一条连续的曲线，f0=0，f1=12，且fx在区间(3)若a>0，fx=0.05x2+0.1x+alnx+1，且y=fx为L−1函数，gx=f′x，对任意一、单选题1．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足ea=−ae−2，blnA．−e B．−e2 C．−2．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知fx=alnx+12x2a>0若对于任意两个不等的正实数xA．0,1 B．1,+∞ C．0,3 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知x,y为正实数，lnx+lny=A．x ＞ y B．x ＜ y C．4．（2023·江苏南通·模拟预测）已知直线y=kx+t与函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k1和k2，且A．35<k1k2<575．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数fx=x−2ex，若fx1A．x1>12 B．x2<6．（2024·四川成都·一模）已知a>b，且ea−a=e①b<−1；②0<a<12；③b+a<0；

④A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④7．（2024·四川广安·模拟预测）已知0<x<y<π，且eysinA．cosx+cosy<0C．cosx>siny8．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数fx=ex+ax有两个零点xA．a<−e B．C．x1x2>1二、多选题9．（2024·海南海口·模拟预测）设函数fx=xlnA．fB．函数fx有最大值C．若x1+D．若x1+x210．（2024·广东广州·一模）已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,A．0<k<1e B．x1x2=11．（2023·广东广州·一模）已知a>0，b>0，A．lnb>1aC．a+lnb<1 三、填空题12．（2023·山西临汾·模拟预测）已知t>0，tm2lnm−13．（2023·全国·模拟预测）若对于∀m∈−e,e，∀y∈−1,+∞，使得不等式14．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数fx=12x2+1−ax−xlnx有两个极值点x四、解答题15．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数fx=x(1)若fx在0,2上单调递增，求a(2