重难点15 平面向量中的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1定义法求最值（范围）问题】 4【题型2基底法求最值（范围）问题】 6【题型3坐标法求最值（范围）问题】 10【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 14【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】 16【题型6与模有关的最值（范围）问题】 21【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】 23【题型8极化恒等式】 26【题型9矩形大法】 30【题型10等和(高)线定理】 331、平面向量中的最值与范围问题平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.(2)坐标法①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.(3)基底法①适当选取一组基底，利用基底转化向量；②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.【知识点2极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点3矩形大法】1．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.即：已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，可以得到：.【知识点4等和(高)线定理】1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1定义法求最值（范围）问题】【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知单位向量e1,e2的夹角为π3，则e1−te1−e2t∈R的最小值为（A．12 B．32 C．1 【解题思路】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可.【解答过程】易知e1所以e=t即当t=12时，故选：B．【变式1-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，则

A．9 B．4 C．3 D．5【解题思路】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.【解答过程】由点G是△ABC的重心，AM=xAB，故AG=由G、M、N三点共线，故13x则x+4y=x+4y当且仅当4y3x=x3y，即故选：C.【变式1-2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）点O是△ABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0，AMA．12 B．1 C．23 【解题思路】易知O为△ABC的重心，由题意，根据重心的性质可得1x【解答过程】由题意知，OA+OB+OC=0由AM=xA,M,B三点共线，A,N,C三点共线，M,O,N三点共线，如图，D为BC的中点，且AO=由MO=λON，得MA+所以23即AD=因为D为BC的中点，所以AD=所以3λy2(1+λ)=123x由x>0,y>0，得3=1x+当且仅当x=y=23时等号成立，所以xy的最小值为故选：D.【变式1-3】（23-24高一下·上海·期末）已知向量a,b,c，满足a=b=1①若x=1，则c的最小值为32②若x=1，则存在唯一的y，使得a⋅③若c=1，则x+y的最小值为−1④若c=1，则a⋅cA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】对于①，对c=xa+yb两边平方转化为求y2−y+1的最值可判断①；对c=x【解答过程】∵a=b对于①，若x=1，则c=y2−y+1=∴c2的最小值为34对于②，若x=1，由a⋅c=0得∴y=2,∴存在唯一的y=2，使得a⋅c=0对于③，若c=1，则=x+y2−3xy≥当且仅当x=y=1时取得等号，∴又y≥0,∴x+y≥x≥−1，当且仅当y=0，x=−1对于④，若c=1，则a由③知x+y≥−1，∴x+y故选：D.【题型2基底法求最值（范围）问题】【例2】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD．若点P在线段BD上运动，且A．−15,75 B．35【解题思路】建立基底，DC=a,DA=b，则AE=【解答过程】矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=

设DC=a,DA=联立AE=a−因为点P在线段BD上运动，则可设AP=tAP=t=−又AP=λAE+μλ+μ=−2因为0≤t≤1，所以λ+μ=4故选：B．【变式2-1】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P为线段CD上一个动点（含端点），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,4【解题思路】设DP=λDC，以AD,AB为基底表示AC后可得m+λn2=【解答过程】设DP=λDC，则故AC=m又AC=AD+所以m+λn2=12因为0≤λ≤1，故1≤m+n≤2，故选：C.【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若AP=λ1AB+μ1BC，AQ=λ2A．m=−18，n=92 C．m=−18，n=94 【解题思路】由四边形ABCD为平行四边形，得AP=λ1AB+μ1BC=λ1AB+μ1AD及【解答过程】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AP=又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以λ1=μ则2λ12−μ同理AQ=λ2AB+μ2AD，因为点所以λ2+μ2=1则12当且仅当λ2=13，故选：A．【变式2-3】（23-24高三下·云南·阶段练习）已知O为△ABC的内心，角A为锐角，sinA=158，若AO=μABA．12 B．34 C．45【解题思路】方法一：先得到点O是△ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0，其中BC=a，AC=b，AB=c，从而得到μ+λ=方法二：作出辅助线，得到AO=xyAB+x1−yAC，得到方程组，得到λ+μ=x，作出内切圆，根据sinA=158，求出【解答过程】方法一：点O是△ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0理由如下：若aOA+bOB整理得a+b+cOA所以OA=−bca+b+cABAB同理可证，点O在∠ABC，∠BCA的角平分线上，即点O为△ABC的内心.故AO=故μ+λ=b+c因为角A为锐角，sinA=所以cosA=78故ab+c又因为bc+c所以1−154b故μ+λ≤4方法二：如图，延长AO，交BC于点D，设CD=yCB，即AD−设AO=x则μ=xyλ=x∴λ+μ=x，作△ABC的内切圆与BC边切于点E，与AB切于点F，设圆O半径为r，∵sinA=15sinA=2故2tanA2tan2故sinA又sin2A2∴OFOA=14x=AO故选：C．【题型3坐标法求最值（范围）问题】【例3】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB=42，点D在以BC为直径的圆上运动，则|AB+A．46 B．8 C．63【解题思路】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，用坐标法求向量的模的取值范围.【解答过程】如图：以C为原点，建立平面直角坐标系.则A0,4，B4,0，可设则AB=4,−4所以AB所以AB⃗+AD又因为3cosθ−4sinθ≤5，所以AB+故选：D.【变式3-1】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PBA．41+4 B．41−6 C．213【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【解答过程】以O为坐标原点（O是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE=3EB所以动点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcos则A0,4DP⋅其中锐角φ满足tanφ=54，故DP故选：A.【变式3-2】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120∘，AC=3，BC=4，DC⋅A．63−2 B．219−4 C．【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|AB【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(−32,332)，B(4,0)所以D的轨迹方程为(x−2)2取BD的中点为M，设M(x,y),D(x可得x=x0+42y=所以点M的轨迹方程为(x−3)2+y2=1由AB+AD=2AM，所以所以|AM所以|AB故选：A.【变式3-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F．当点P在劣弧EF上运动时，BP⋅DP的取值范围为（A．1−22,−1C．−1,1−2 D．【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可.【解答过程】依题意，以点C为原点，直线DC,BC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，设点P(cosθ,sin则BP=(因此BP⋅由−π≤θ≤−π2，得因此1−22所以BP⋅DP的取值范围为故选：B.【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】【例4】（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACx>0,y>0A．3 B．4 C．8 D．9【解题思路】先根据共线向量基本定理得到x+2y=1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解答过程】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以设BF=λBC，故即AF=λ又AF=x故x+2y=1−λ+λ=1，故1x当且仅当2yx=2x故1x故选：D.【变式4-1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．设AM=1mAB，A．3 B．1 C．316 D．【解题思路】利用共线定理的推论可得13【解答过程】由题可知，m>0,n>0，因为AM=1mAB，AN=因为BO=2OC，所以所以AO=因为M,O,N三点共线，所以13m+23n=1所以m2+n=m所以m2+n的最小值为故选：D.【变式4-2】（23-24高一下·安徽六安·期末）在△ABC中，已知AB⋅AC=9,sinB=cosAsinC,S△ABC=6,A．712+33 B．5+66【解题思路】根据题设条件依次可求得边b,c,a和角A的三角函数值，从而将向量等式化简，利用平面向量基本定理得到x3【解答过程】由AB⋅AC=bccosA=9把②代入①可得，b=3，又由S△ABC=12bc则角A是锐角，cosA=35又由余弦定理，a2=b于是，CP=x⋅CACA+yCBCB=因1x当且仅当y4x=2x3y时等号成立，即x=36故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设AB=xAP(x>0)，ACA．34 B．32 C．3【解题思路】由中点和三等分点得到AG=13(AB+AC由三点共线得到x+y=3，利用均值不等式中“1的代换”求得4x+2【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以AM=12(AB又AB=xAP(x>0)，AC而P，G，Q三点共线，所以x3+y则4x+2当且仅当x+2y+1=4(y+1)x+2，即故选：B．【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】【例5】（2024·陕西渭南·二模）已知菱形ABCD的边长为1,cos∠BAD=13,O为菱形的中心，E是线段ABA．13 B．23 C．12【解题思路】设AE→=λAB→,0≤λ≤1【解答过程】由题意点O为BD的中点，设AE→则DE=AE−故DE===1当λ=0时，DE⋅DO取得最小值

故选：A.【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC（包括端点）上一点，则AP⋅AB的取值范围是（A．1,4+24 B．1,2+22【解题思路】法一：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接AC,CP，设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ【解答过程】方法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0)）．设P(x,y)，则AP=(x,y)．因为AB=(1,0)，所以由题意知，圆O的半径r=22．因为点P在弧所以1≤x≤12+22方法二：如图2，连接AC,CP．易知∠BAC=π设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则由已知可得|AB|=1,|AC|=2所以AP⋅AB=(cosθ+sin因为0≤θ≤π4，所以π4所以1≤12+22故选：C．【变式5-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，CB=CD=2BD=2，当点E在对角线AC上运动时，EC⋅EB的最小值为（A．32 B．12 C．−3【解题思路】由平面几何知识可得AC平分∠BAD，且平分∠BCD，设AC与BD交于点O，可求得|CB|cos∠BCA=15【解答过程】因为CB=CD，所以△BCD为等腰三角形，又△ABD为等边三角形，所以AC平分∠BAD，且平分∠BCD，设AC与BD交于点O，由题可知BD=1,CB=CD=2，则由勾股定理可得OC=2所以|CB所以EC|=EC−1542−15故选：D.【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则AD⋅CM的取值范围为（

A．−6,4 B．0,8 C．−8,0 D．−6【解题思路】解法一

连接OM，OC，设AD,OM=θ，根据向量的线性运算用OM，OC解法二

以O为坐标原点建立平面直角坐标系，设Mcosθ,sin解法三

借助向量投影的知识将AD⋅CM转化，找到取得最值时点【解答过程】解法一：如图所示：

连接OM，设AD,OM=θ，连接OC，依题意得AD=2，AB=4，OC=2则AD⋅=4cos因为θ∈0,π，所以所以−8≤AD故选：C．解法二

如图，

以O为坐标原点，以直线AD为x轴，过O且和AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则依题意可得A−2,0，D(2,0)，C因为圆O的半径为1，所以可设Mcos所以AD=4,0，CM=又−1≤cos所以−8≤AD故选：C．解法三如图所示：

设AD,CM=θCMcosθ可看成是CM在当点M与G重合时CMcosθ最小，最小值为当点M与N重合时CMcos故−8≤AD故选：C．【题型6与模有关的最值（范围）问题】【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a⋅b=−3A．27 B．7 C．23 【解题思路】由∠AOB=150°,∠ACB=30°，即点A,O,B,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答过程】设OA=由a=1，b=3，a所以∠AOB=150°，又a−c,即点A,O,B,C四点共圆，要使c最大，即OC为圆的直径，在△AOB中，由余弦定理可得AB即AB=7，又由正弦定理可得2R=即c的最大值为27故选：A.【变式6-1】（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】设AC与BD的交点为O，由PA=PO+OA，两边平方可表示出【解答过程】设AC与BD的交点为O，由PA=得|PA同理可得|PB|PC|PD所以|4|=4|PO|2+10≥10，当点故选：C.【变式6-2】（23-24高一下·天津·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，E，F分别是AB，AC边上的点，且AE=xAB，AF=yAC，且2x+y=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则A．72 B．33926 C．21【解题思路】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得AM=12(yAC+xAB)，AN=12(AB【解答过程】解：在△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=120o，则AB⋅∴AM=12∴MN=∴两边平方得：MN=144∵2x+y=1，∴MN2又∵x,y∈0,1∴当x=526时，MN2最小值为2752，即故选：B.【变式6-3】（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b与e所成的角为60°，且b−te≥b−A．3+1 B．23 C．3+【解题思路】b−te≥b−e对任意实数t恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出|b|=2，借助【解答过程】根据题意，b⋅b−te≥b−对任意实数t恒成立，则Δ=|b⃗|2由于a=2，如上图，a+=2e⃗+b当且仅当−2e故选：B．【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】【例7】（23-24高一下·甘肃陇南·期末）已知平面向量a,b,c满足a=b=4,A．−463,463 B．【解题思路】将c=λa+μb两边平方，整理得2λ−u2【解答过程】因为a=b=4,所以c2所以2λ−u2令2λ−u=cos所以2λ+μ=cosθ+2所以2λ+μ∈−即2λ+μ的取值范围是−21故选：B．【变式7-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xABA．−16,524 B．−1【解题思路】将向量AB,AC归一化可得AI=【解答过程】设i=ABAB=AB可得i⋅则AI=λi+即3=λ21+1+1则AI=因为ID=xAB+12所以AD=x因为x+16>0所以实数x的取值范围是−1故选：B.【变式7-2】（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,AC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上运动（如图所示）．若AP=λED+μAF，其中A．−2,1 B．−1,1C．−1,2 D．−2,2【解题思路】建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ0∘≤θ≤【解答过程】建立如图所示平面直角坐标系，则A0,0设PcosAP=因为AP=λED+μ可得cosθ=−λ+1.5μsinθ=λ+0.5μ所以2λ−μ==sin因为0∘≤θ≤90可得−2所以−1≤2λ−μ≤1.故选：B.【变式7-3】（23-24高一下·安徽芜湖·阶段练习）如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3,P是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP=xOAA．2 B．3 C．4 D．2【解题思路】建系，用三角函数表示点P，再将已知向量关系用三角函数表示，得出2x−y=2a【解答过程】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设扇形AOB的半径为r，则Ar,0设点Pa因为OP⃗所以，xr−y2r=a所以，2x+y因为0≤θ≤2π3当θ+π2=π2故选：C.【题型8极化恒等式】【例8】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ的最小值为【解题思路】根据题意，记线段PQ的中点为H，由S△OAB=1且AB=2，可得点O到直线AB的距离为d=1，由【解答过程】记线段PQ的中点为H，点O到直线AB的距离为d，则有S△OAB=1由极化恒等式可得：OP=OH故答案为：34【变式8-1】（2024·山东·模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是0,【解题思路】设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，计算可得出PM⋅PN=【解答过程】如下图所示：设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，PM⋅当P为正方形ABCD的某边的中点时，OPmin当P与正方形ABCD的顶点重合时，OPmax=2因此，PM⋅故答案为：0,1【变式8-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD=4，AB=83，BC=12，则BE⋅BF的取值范围为99,148【解题思路】首先在BC上取一点G，使得BG=4，取EF的中点P，连接DG，BP，根据题意得到BE⋅BF=【解答过程】在BC上取一点G，使得BG=4，取EF的中点P，连接DG，BP，如图所示：则DG=83，GC=8，CD=tan∠BCD=83BE⋅当BP⊥CD时，BP取得最小值，此时BP=12×所以BE⋅当F与D重合时，CP=13，BC=12，则BP2当E与C重合时，CP=3，BC=12，则BP2所以BE⋅BFmax=157−9=148，即故答案为：99,148.【变式8-3】（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a+b)2=a2+2a⋅b+(1)若cos∠BAD=1213(2)若2AE=EC(3)若P为平面ABCD内一点，求PA⋅【解题思路】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解；（2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可（3）连接PA，PE，取AE的中点H，连接PH，将PA⋅【解答过程】（1）因为AB⋅AD=48即ABAD×12又cos∠BAD=1213所以S△ABD（2）因为AB⋅AD=48由极化恒等式得AB=AE所以AE=8，又2AE=EC由极化恒等式得CB=CE（3）连接PA，PE，取AE的中点H，连接PH，由AE=8，EH=1则PA=2PH所以当点P与H重合时，PA·【题型9矩形大法】【例9】（2024·浙江绍兴·一模）已知向量a，b，c满足a=b=a⋅A．3−12 B．7−32 【解题思路】由题可得a,b=π3，不妨设a=(2,0)，b=(1,【解答过程】因为a=所以cosa,b所以a,不妨设a=(2,0)，b=(1,3则a−c=(2−x,−y)∵(a∴(2−x)(1−2x)−y(3∴(x−54)2+(y−3又b−c=(1−x)2+(∴dmin故选：B.【变式9-1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知单位向量a，b满足2a−b=2，若存在向量c，使得c−2A．62,62+1 B．62【解题思路】由题意,设向量a,b的夹角为θ,由2a−b=2化简求得cosθ=14，设a=OA→=(1,0),则b【解答过程】根据题意,设向量a,b的夹角为θ,若2a则(2a即4−4cosθ+1=4,解得:则在直角坐标系中,设a=则b=则有A(1,0),B14,则有(x−2)x−即x2变形可得:x−9点C在以98,15则|OP|=62,则有则有62所以|c|的取值范围是故选:C.【变式9-2】（23-24高三上·四川资阳·阶段练习）已知e为单位向量，向量a满足：a−e⋅a−5A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】可设e=1,0，a=x,y，根据a−e⋅a−5e=0【解答过程】解：可设e=1,0，则a−即x−32+y2=4a+当x=5时，8x−4取得最大值为6，即a+故选：C.【变式9-3】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量a，b，c，满足a=b=a⋅b=2A．3−12 B．7−32 【解题思路】根据向量数量积的夹角公式可得〈a⋅b〉=π3，设A(1,3)，B(2,0)，C(x,y)，b=(2,0)，a=(1,3)，【解答过程】因为|a|=|b因为0≤〈a⋅不妨设A(1,3)，B(2,0)，C(x,y)，b=c=则b−c=(2−x,−y)因为(a−2c化简为：(x−5所以c=(x,y)对应的点C(x,y)是以M(54所以|a−c故选：B.【题型10等和(高)线定理】【例10】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，A．1 B．87 C．97 【解题思路】根据平面向量基本定理，将BG用BA和BC表示，再利用M，N，G三点共线，求得2μ【解答过程】由B，G，E共线，可设BG=t由A,G,F三点共线，故可设BG=m则有t2=mt=故BG=由题意，M，N，G三点共线，故可设BG=n则λn=17μ(1−n)=故λ+2μ=1当且仅当2λμ=2μλ，即λ=μ=3故选：C.【变式10-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若DPA．5 B．3 C．32 D．【解题思路】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，λ+μ取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果．【解答过程】如图，设DE=kDA，DF=kDC，设令DP=xDE+yDP=xkDA+ykDC因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，λ+μ取得最大值，设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，连接MP，连接DO1并延长使之与EF交于点过M作MN⊥DO2，垂足为因为∠ABC＝120°，设ABO1则DO2=52故λ+μ的最大值为52故选：D．【变式10-2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在扇形OAB中，∠AOB=60∘，C为弧AB上的一动点，若OC=xOA+yOB，则【解题思路】以O为原点，OA,OB分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出【解答过程】以O为原点，OA,OB分别为x，

则OA=1,0,因为OC=xOA+yOB，所以所以3x+y=3cos因为y=cosθ在θ∈0,π3上单调递减，y=−sinθ所以当θ=0时3x+y=3最大；当θ=π3时所以3x+y的取值范围是1,3.故答案为：1,3.【变式10-3】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设AP=mAB+nAF，(m,n∈R)，则m+n的取值范围是【解题思路】如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①AP=AD时，m+n=4．②AP=AM及点P位于线段CE上时，m+n=3．③除了①、②的情况满足【解答过程】解：如图所示，

连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．①AD=AB+BC+CD，CD=AF，与向量AP=mAB+nAF(m②AM=AB+BC+∴2AM=AB∴23AM=AB+AF，即③当点P位于线段CE上时，记作Q，则AQ=AP=④当点P不在线段CE上时，AP=∴3<(1+λ)(m+n)≤4．综上可得：3≤m+n≤4．即m+n∈故答案为：3,4.一、单选题1．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=2，若AP=A．12 B．22 C．1 【解题思路】利用平面向量的数量积的运算律，求出|AP【解答过程】由AP=AB=1+2x因x∈R，故x=−12时，|AP|min故选：B．2．（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．8【解题思路】根据题意以AB,AC为基底表示出AD，再根据E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m+2【解答过程】如下图所示：因为BD=2DC，易知又AE=mAB,易知E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m又m>0，n>0，所以m+2n=m+2n当且仅当2m3n=2n所以m+2n的最小值为3.故选：C.3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足AB=2，CACA−CBCBA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．【解题思路】根据CACA−CBCB≥1，利用向量数量积的运算性质可得∠ACB≥60∘【解答过程】设e1=CA则e1是与CA同方向的单位向量，e2是与对于CACA−CB两边平方得e1−e因此可以得到e1与e2的夹角在如图所示的圆中，点A、B在圆上，其中劣弧AB的度数为2π3点C在度数为4π3的优弧上运动，或点C若点C在圆上，根据正弦定理，可得圆的半径R满足2R=ABsinC设E为AB的中点，则CA+当CE⊥AB时，CE长达到最大值，此时△ABC为等边三角形，可知CO=32当点C在圆的内部时，则C、E重合时，CO=0此时取最小值CA+CB=0综上所述，AC+BC的取值范围为故选：D.4．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面内的一点，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2），则A．0,22 B．22,1 C．【解题思路】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．【解答过程】设CQ=2CA，CP=λCA+μ则CP=λ2CQ+μ则P在线段QB上，如图所示，

当P与Q重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最大值，最大值为|CA|=1；当P与B重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最小值，最大值为12则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是22故选：B.5．（2024·安徽芜湖·三模）已知⊙C:x2+y2−10x+9=0与直线l交于A,B两点，且⊙C被l截得两段圆弧的长度之比为1:3，若D为A．182+12 B．162+16 C．【解题思路】根据题意，得到∠ACB=π2，所以CA⋅CB=0，设M【解答过程】由⊙C:x2+y2因为直线l交圆C于A,B两点，且圆C被l截得两段弧的长度比为1:3，所以∠ACB=π2，可得设M为AB边的中点，可得CA+则DA⋅=DC当且仅当CM与DC方向相同时，等号成立，因为DC=r=4,CM=所以DA⋅DB的最大值为故选：B.6．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则A．12 B．33 C．1 【解题思路】过点M作MP//BC，设AP=kAB，AQ=kAC，得到BM=kx−1AB+kyAC，再由BM=λAB【解答过程】如图所示，过点M作MP//BC，交直线AB,AC于点P,Q，设AM=xAP+y设AP=kAB，AQ=k因为BM=λAB+μ由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大，又由AB=2，BE=1sinπ所以k=AEAB=3+33，即k最大为故选：B.7．（2024·湖北·模拟预测）向量a，b满足〈a,b〉=π6，|b|=4A．12 B．1 C．3 D．【解题思路】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出a=2，利用距离和的最值求解f(x)【解答过程】作OA=a，OB=因为不等式|b+ta|≥|b从而有AB⊥OA，故|OA设OD=xb，则f(x)=|xb作点E关于直线OB的对称点F，OF=1,则f(x)=|AD|+|ED故选：C.8．（2024·四川成都·三模）已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为A．14，34 B．2−1，【解题思路】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可.【解答过程】设AM=x,则S1=1由平面向量数量积的运算可得：CM⋅CN⋅又S1所以12xy=1−x即1+12xy≥2又xy>0，即0<xy≤2−2则S=1+故选：D.

二、多选题9．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量a,b,c满足a=1,A．a+B．a+C．a−D．a−b【解题思路】由向量a,b,c方向间的关系，判断a+b+【解答过程】当向量a,b方向相同，与c方向相反时，满足此时a+b+当向量a,b,此时a+b+a⋅c=b⋅c，有向量a,b方向相同时，a−向量a,b方向相反时，a−b的最大值为2，故选：BD.10．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=12DC，若P为边BD上一点，且满足AP=λAB+μA．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为1C．1λ+13μ的最大值为12【解题思路】根据B,D,P三点公式求得λ+3μ=1，结合基本不等式判断即可.【解答过程】因为AD=12又AP=λ因为P、B、D三点共线，所以λ+3μ=1，又λ，μ为正实数，所以λμ=1当且仅当λ=3μ，即λ=12，1λ当且仅当3μλ=λ3μ，即故选：BD.11．（2024·山东潍坊·二模）已知向量a，b，c为平面向量，a=1，b=2，a⋅b=0A．1≤c≤32 C．−1≤b⋅c≤1 D．若c【解题思路】对A，设a=1,0,b=0,2,c=x,【解答过程】对A，设a=1,0,即x−12+y2=14，为圆心为1,0，半径为12的圆，又对B，c=x−122+为1−1对C，b⋅c=2y，因为−对D，因为x−12+y又因为c=λa+μλ+μ=cos故当sinθ+φ=−1时，取最小值λ+μ取最小值故选：BCD.三、填空题12．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点O,A,B在同一平面内且A为定点，OA⋅AB=−2,OB⋅AB=2,C,D分别是点B轨迹上的点且BC=2【解题思路】由题意OB⋅AB−OA⋅AB=AB2=4，可得B点轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，再取【解答过程】根据OA⋅AB=−2,∴∴B点轨迹是以A为圆心，半径为2的圆.取BC的中点E，连接BD,CD,AE,DE，则BD⋅又AE=所以|ED|即2−3所以(BD故BD⋅故答案为：12.13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知△ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b ,c，【解题思路】取AB=2AN和AM=2AC，转化为AD=mm+nAN+nm+n【解答过程】在△ABC中，因为∠BAC=π如图所示，取AB的中点N，可得AB=2再延长AC到点M，使得AM=2AC，可得AM=2因为AD=因为mm+n+n所以AD的最小值，即为△AMN中边MN上的高d，在△AMN中，由余弦定理得MN2=AM2+又由S△AMN可得12MN×d=34所以AD的最小值为217故答案为：21714．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为54AD（请用AD表示）；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC【解题思路】第一空：作EF⊥AD于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设Mx,0【解答过程】作EF⊥AD于F．∵∠DAB=60∘，且四边形ABCD为平行四边形，故则∠FDE=∠DAB=60那么DF=DEcos又DE=1又AD=23AB，故AB=故DF=1∴AFAD=5则AE在向量AD上的投影向量为54AB=3，AD=BC=23如图以A为原点建立平面直角坐标系，作DQ⊥x轴于Q，则AQ=ADcos60DE=13DC=设Mx,0，则BM=3−x又BM+BN=1，∴BN=1−BM=x−2，BM<1⇒x>2，BN<1⇒x−2<1⇒x<3，∴2<x<3．作NP⊥x轴于P，则BP=BNcosNP=BNsin则N1故EM=故EM⋅EN=令fx∵fx在2，5故f(x)min=f即EM⋅EN的最小值为故答案为：54AD；四、解答题15．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N，若(1)λ与μ的关系；(2)求λ+μ的最小值【解题思路】（1）根据向量线性运算得AP=（2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可.【解答过程】（1）BP=BA+∴−AB∴AP又P,M,N三点共线，∴1（2）因为13λ+23μ=1当且仅当μ3λ所以λ+μ的最小值为1+216．（23-24高一·浙江·期中）在△ABC中，已知AB=3，AC=1，AB⋅AC=−1，设点P为边BC上一点，点Q为线段CA(1)当t=−1且P是边BC上的中点时，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；(2)若PA⋅PQ+3=【解题思路】（1）根据点M是三角形CBQ的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量积运算，即可求得结果；（2）设CP=λCB(0≤λ≤1)，根据平面向量的线性运算，再结合题意，求得t与λ的关系，BQ【解答过程】（1）设AB=a，AC=b，当t=−1，P是BC的中点时，则CM=CM=（2）设CP=λCB(