重难点17 新情景、新定义下的数列问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点17新情景、新定义下的数列问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1数列中的新概念】 1【题型2数列中的新运算】 2【题型3数列新情景问题】 3【题型4以数列和项与通项关系定义新数列】 4【题型5数列定义新性质问题】 5【题型6牛顿数列问题】 7【题型7数列中的新定义问题】 91、新情景、新定义下的数列问题数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大，需要灵活求解.【知识点1数列中的新概念】1．数列中的新概念问题的解题策略：通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.【知识点2数列的新定义、新情景问题】1．数列的新定义、新情景问题的求解策略(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.【题型1数列中的新概念】【例1】（2024·四川南充·三模）对于数列an，规定Δan为数列an的一阶差分，其中Δan=an+1−ann∈N*，规定Δkan为数列an的阶k差分，其中A．7 B．9 C．11 D．13【变式1-1】（2024·湖北武汉·三模）将1,2,⋅⋅⋅,n按照某种顺序排成一列得到数列an，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称数对ai,ajA．4 B．5 C．6 D．7【变式1-2】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列an：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，an+2A．175 B．176 C．177 D．178【变式1-3】（2024·全国·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯an⋯满足ai∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得ai+m=ai(i=1,2,⋯)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足A．11010⋯ B．11011⋯ C．10001⋯ D．11001⋯【题型2数列中的新运算】【例2】（2024·河南·模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数a0，按照上述规则实施第n次运算的结果为ann∈N，若a5=1，且A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【变式2-1】（2023·北京延庆·一模）数列{an}中，an=logn+1(n+2) (n∈NA．2023 B．2024 C．2025 D．2026【变式2-2】（2024·上海宝山·二模）将正整数n分解为两个正整数k1、k2的积，即n=k1⋅k2，当k1、k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20=1×20=2×10=4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1、A．51012 B．51012−1 C．5【变式2-3】（2023·河南安阳·二模）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1⋅am=t，a2⋅am−1=t，…，am⋅a1=t，即ai⋅am−i+1=t（t为常数）i=1,2,⋯,m，则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，12，1A．210 B．445 C．780 D．1225【题型3数列新情景问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数an，且a1=1，a2=2，a3=5，aA．127 B．256 C．341 D．512【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（

）A．2−18 B．2−28 C．【变式3-2】（2023·安徽宿州·一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为Sn，如S3A．SB．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396【变式3-3】（23-24高二下·山东·阶段练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A=a1,a2,a3,⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为A∗=a2a1A．19 B．127 C．181【题型4以数列和项与通项关系定义新数列】【例4】（2024·江西南昌·三模）给定数列{An}，若对任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{A(1)若Sn=n2+n(2)设{an}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a(3)设{an}是等差数列，且对任意n∈N*，Sn是【变式4-1】（2024·陕西·三模）数列an的前n项的最大值记为Mn，即Mn=maxa1,a2,⋅⋅⋅,an(1)设数列pn的“生成数列”为qn，求证：(2)若an=2n−3n【变式4-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列an是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，an+2=an+1+a(1)已知数列cn满足cn=man（n∈N*，(2)设数列{dn}的前n项和为S（i）若数列{dn}为“1（ii）在（i）问的前提下，若数列fn满足fn=anSn，n∈N*，其前n【变式4-3】（2024·安徽芜湖·三模）若数列an的各项均为正数，且对任意的相邻三项at−1,at,a(1)已知正项数列cn是一个“凸数列”，且an=ecn，（其中e为自然常数，(2)若关于x的函数fx=b1+(3)设正项数列a0,【题型5数列定义新性质问题】【例5】（2024·安徽·三模）已知数列an的前n项和为Sn，若数列①数列an②数列an③∀k≥2，k∈N∗，∃p,q∈N则称数列an(1)已知Sn=n2+n(2)若首项为1的数列an（ⅰ）比较an与S（ⅱ）若数列an的末项为36，求S【变式5-1】（2024·北京西城·二模）已知数列A:a1,a2,⋯,an，从A中选取第i 1项、第i 2项、…、第i k项i 1<i 2<⋯<i k构成数列B:ai 1,ai 2(1)当n=4时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；(2)已知数列A:1 （ⅰ）给定正整数k≤n2，对A的k项子列B，求所有（ⅱ）若A有m个不同的具有性质P的子列B1,B2,⋯,Bm，满足：∀  1≤i<j≤m，B【变式5-2】（2024·北京东城·二模）已知An:a1,a2,⋯,ann≥3为有穷整数数列，若An满足：(1)若p=−1，q=2，那么是否存在具有性质T的A5？若存在，写出一个这样的A(2)若p=−1，q=2，且A10具有性质T，求证：a(3)若p+q=1，求证：存在正整数k，使得对任意具有性质T的Ak，都有a【变式5-3】（23-24高二下·吉林延边·期中）记R上的可导函数fx的导函数为f′x，满足xn+1=xn−fxnf′(1)证明数列an是等比数列并求a(2)设数列an的前n项和为Sn，若不等式(−1)n⋅tS【题型6牛顿数列问题】【例6】（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列an中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列an具有“性质1”.已知项数为n的数列an的所有项的和为M(1)若n=4，且a1=0,a(2)若a1=2024,n=2023，证明：“a2023(3)若a1=0,n≥2,Mn=0【变式6-1】（23-24高二下·四川·期中）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数f(x)，若满足(xn+1−xn)f′(xn)+f(xn)=0，则称数列xn为牛顿数列．已知f(x)=x(1)求数列xn(2)若数列nxn的前n项和为Sn，且对任意的n∈N∗，满足S(3)在（2）的前提下，设g(x)=112λf′(x)，直线y=ax+b(b>0)与曲线y=g(x)有且只有两个公共点A(c,d),(ℎ,f)【变式6-2】（2024·广东韶关·二模）记R上的可导函数fx的导函数为f′x，满足xn+1=xn−fxnf′(1)求a2(2)证明数列an是等比数列并求a(3)设数列an的前n项和为Sn，若不等式(−1)n⋅tS【变式6-3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数fx，若满足xn+1−xnf′xn+fxn=0，则称数列xn为牛顿数列．已知fx=x

(1)求数列xn(2)若数列n⋅xn的前n项和为Sn，且对任意的n∈N∗，满足Sn≥16−λ56n，求整数【题型7数列中的新定义问题】【例7】（2024·江西九江·三模）已知数列an共有mm≥2项，且an∈Z，若满足an+1−a(1)当m=5时，写出所有满足a1(2)当m=2000,a1=25时，设p:a2000=2024;q:“约束数列”(3)当a1=1,a【变式7-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列an，定义Δan=an+1−ann∈(1)试写出“2−函数”f(2,n)，并求f(2,3)的值；(2)若“1−函数”f(1,n)≤15，求n的最大值；(3)记函数S(x)=x+2x2+⋯+nxn，其导函数为S【变式7-2】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列a1,a2,⋅⋅⋅,an,⋅⋅⋅，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列a11,a12,⋅⋅⋅,a1n−1,⋅⋅⋅，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中a1i=ai+1(1)若高阶等差数列an为3,4,9,18,31,48,⋅⋅⋅，求数列a(2)若r阶等差数列bn的通项公式b（ⅰ）求r的值；（ⅱ）求数列bn的前n项和S附：12【变式7-3】（2024·福建南平·二模）若数列cn共有mm∈N*,m≥3项，对任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1−i=S（S为常数，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知数列bn是公差为dd≠0的等差数列，b1=−11，若m=10，an(3)若数列an是各项均为正整数的单调递增数列，求证：a一、单选题1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列an的各项均为正数，a1=1,an+1−an=A．615 B．620 C．625 D．6302．（2024·上海·模拟预测）已知数列an不是常数列，前n项和为Sn，且a1>0．若对任意正整数n，存在正整数m，使得an−Sm≤A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n=k1k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的最优分解，当k1，kA．21011−1 B．21011 C．24．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为nn≥2,n∈N*的两个数列an,bn满足ak−bkA．5 B．6 C．7 D．85．（2024·四川南充·三模）对于数列an，规定Δan为数列an的一阶差分，其中Δan=an+1−ann∈N*A．7 B．9 C．11 D．136．（2024·上海宝山·二模）数列an中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列an为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列2n为“某数列”；②对任意的等差数列anA．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足an+2an+1:an+1an=qq为常数，n∈N*）的数列anA．7 B．8 C．9 D．108．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列an，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得am=a1+a2+a3A．若an为等差数列，则aB．若an为等比数列，则aC．若内和数列an为递增数列，则其伴随数列bD．若内和数列an的伴随数列bn为递增数列，则二、多选题9．（2024·山东青岛·三模）若有穷整数数列An:a1,a2,⋯ann≥3A．存在具有性质T的AB．存在具有性质T的AC．若A10具有性质T，则aD．存在正整数k，使得对任意具有性质T的Ak，有a10．（2024·重庆·模拟预测）设an是各项为正的无穷数列，若对于∀n∈N*，an+12−aA．若an是等方差数列，则aB．数列2nC．若an是等方差数列，则数列aD．若an是等方差数列，则存在正整数n，使得11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列un，其前n项和为Sn，若存在常数M>0，对任意的n∈N∗，恒有un+1−uA．若un是以1为首项，q(|q|＜1)为公比的等比数列，则uB．若un为B−数列，则Sn也为C．若Sn为B−数列，则un也为D．若an,bn均为B−数列，则三、填空题12．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列an，从数列an中选取第i1项､第i2项､⋯､第im项i1<i2<⋯<im，顺次排列构成数列bk，其中bk=ai13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数y=fx的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，在点x0,fx0作曲线y=fx的切线l1，设与l1轴x交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；在点x1,fx1作曲线y=fx的切线l2，设与l2轴x交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，在点xn,fxnn∈N作曲线y=fx的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值.设fx=14．（2024·北京通州·三模）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn,cn+1]，则称数列①存在等差数列{an}，使得{an②存在等比数列{an}，使得{an③存在等差数列{an}，使得{Sn④存在等比数列{an}，使得{Sn四、解答题15．（2024·浙江·模拟预测）定义:x表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.数列an满足