重难点19 立体几何中的截面、交线问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）VIP

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1截面作图】 2【题型2截面图形的形状判断】 4【题型3截面图形的周长或面积问题】 5【题型4球的截面问题】 6【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】 6【题型6交线长度、轨迹问题】 7【题型7截面的范围与最值问题】 81、立体几何中的截面、交线问题“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.【知识点1立体几何中的截面问题】1．作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.2．球的截面(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】1．立体几何截面问题的求解方法(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.2．截面、交线问题的解题策略(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.【题型1截面作图】【例1】（2024·河南新乡·三模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC=2DE=4，BC=2，DC=1，∠BCD=60°.

（1）证明：BD⊥平面ACDE；（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积.【变式1-1】（2024高一下·广东佛山·竞赛）如图，在正方体ABCD−A1B1C

(1)请在正方体的表面完整作出过点E､(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.【变式1-2】（2023·贵州·模拟预测）矩形ABCD中，AB=3,AD=1（如图1），将△DAC沿AC折到△D1AC的位置，点D1在平面ABC上的射影(1)证明：AD(2)过D1E的平面与BC平行，作出该平面截三棱锥D1−ABC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得两部分的体积分别为【变式1-3】（23-24高一下·河北廊坊·阶段练习）如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，(1)画出平面α截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；(2)求（1）中截面多边形的面积；(3)平面α截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.【题型2截面图形的形状判断】【例2】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB中点，

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【变式2-3】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，点P，Q，T分别在棱BB1，CA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【题型3截面图形的周长或面积问题】【例3】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的体积为43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点

A．32+25 B．9 C．2【变式3-2】（2024·江苏南通·二模）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R分别为棱BC，CD，A．53π B．83π C．【变式3-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面A．45+2C．53 D．【题型4球的截面问题】【例4】（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为500π3，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是（A．9π B．12π C．16π【变式4-1】（2024·四川自贡·三模）已知球O半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若OO1=3，OA．3 B．433 C．3+3【变式4-2】（2024·陕西榆林·一模）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，M为α上的一点，且MH=24，过点M作球O的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（A．142 B．114 C．144【变式4-3】（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长为4π，则球的体积为（

A．405π3 B．805π3【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】【例5】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为4cm和6cm，AA1，BB1为圆台的两条母线，截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60°，且A．193cm3 B．103cm3【变式5-1】（2024·上海普陀·二模）若一个圆锥的体积为22π3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为πA．2π B．2π C．22【变式5-2】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（

）A．1:8 B．1:9 C．1:26 D．1:27【变式5-3】（2024·江西赣州·一模）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱A．62 B．54 C．6 【题型6交线长度、轨迹问题】【例6】（2025·广东广州·模拟预测）在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，A．(3+3)π B．(6+3)π【变式6-1】（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱锥A−BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（

）

A．23π B．3π C．3【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥P−ABCD的体积为423，底面ABCD的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点P在球O的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与PO所成角为π6，则点EA．2π B．43π C．6【变式6-3】（2024·河南·二模）已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.设E为空间内一点，且A,B,C,D,E五点在同一个球面上，若AE=23，则点E的轨迹长度为（

A．π B．2π C．3π 【题型7截面的范围与最值问题】【例7】（2024·江苏南京·模拟预测）已知SO1=2，底面半径O1A=4的圆锥内接于球O，则经过S和OA．252π B．253π C．【变式7-1】（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC,PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC,BC于点E,F，且二面角P−EF−C的平面角为60∘，则所得截面PEF的面积最小值为（

A．43 B．83 C．2【变式7-2】（2024·四川·模拟预测）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，与直线A1A．383 B．343 C．【变式7-3】（2024·四川·一模）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，与直线A．M必为三角形 B．M可以是四边形C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）过圆锥PO高的中点O′作平行于底面的截面，则截面分圆锥PO上部分圆锥与下部分圆台体积比为（

A．12 B．13 C．152．（2024·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点FA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥A−BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC=3，侧棱AB=23，点E在线段BD上，且BE=DE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最大值是（

A．2π B．9π4 C．34．（2024·广东江门·模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚．时钟问世之后，沙漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠．经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡灯便是一个15分钟的计时器．它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖．就这样，宁静的夜晚，听着沙粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为10cm，沙漏的高（下底面圆心的距离）为8cm，通过圆锥的顶点作沙漏截面，则截面面积最大为（

）A．40cm2 B．41cm2 C．5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

A．该截面是四边形B．A1C⊥C．平面AB1D．该截面与棱BB1的交点是棱6．（2024·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，AC⊥BC，AC=BC=CC1，D为B1C1

A．3,92 B．3,92 C．7．（2024·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，DA．62 B．32 C．3058．（2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥A−BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE，则以A为球心，2为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（

）A．32π4 B．2π C．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAC是全等的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC,AC=2,D为线段AC的中点．过点D作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（

）A．π B．2π C．4π 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体P−ABC，过点P的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（

）A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个11．（2024·湖北荆州·三模）如图，正八面体E−ABCD−F棱长为2．下列说法正确的是（

）A．BE//平面ADFB．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为7C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F−ADP的体积为定值4D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为16三、填空题12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面与线段AD相切于点M，则球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为．13．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为，H的面积的最大值为．14．（2024·陕西安康·模拟预测）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C①存在平面α，使B1②若平面α与平面BB1C1C的交线为l③若平面α截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为24④若平面α过点B1，点P在线段BC1上运动，则点P到平面A其中真命题的序号为．四、解答题15．（2024·陕西榆林·三模）如图是一个半圆柱，DC,AB分别是上､下底面圆的直径，O为AB的中点，且AB=AD=2,E是半圆AB上任一点（不与A､(1)证明：平面DEA⊥平面CEB，并在图中画出平面DE