重难点24 隐圆与蒙日圆问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点24隐圆与蒙日圆问题【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】 2【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】 2【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】 3【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】 3【题型5阿波罗尼斯圆】 4【题型6蒙日圆】 51、隐圆与蒙日圆问题从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解.【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】1．隐圆问题在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.2．隐圆问题的几大类型(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.3．阿波罗尼斯圆“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.【知识点2蒙日圆】1．蒙日圆在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图.【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】【例1】（2024·全国·二模）已知直线l1:y=tx+5t∈R与直线l2:x+ty−t+4=0t∈R相交于点P，且点P到点Qa,3的距离等于1，则实数a的取值范围是（

）A．−2B．−2C．−2D．−2【变式1-1】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆E:x24+y23=1的右焦点为F，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知a，b是两个单位向量，且a+b=a−b，若向量c满足A．2−2 B．2+2 C．2 【变式1-3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知M(x1,y1)，N(x2,A．10,14 B．8,16 C．52,72【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点P满足：PM|2+PN|2=6A．(x+1)2+yC．x2+y【变式2-1】（2024·河南·三模）在平面α内，已知线段AB的长为4，点P为平面α内一点，且PA2+PB2=10A．π6 B．π4 C．π3【变式2-2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，若点M满足MA2+MO【变式2-3】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆O:x2+y2=1和圆O1:(x−2)2+y2=1，过动点P分别作圆O，圆O1的切线PA【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】【例3】（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆C:(x−5)2+(y+2)2=r2(r>0),A−6,0,BA．0,5 B．5,15 C．10,15 D．15,+【变式3-1】（2024·北京平谷·模拟预测）设点A1,0，动直线l：x+ay+2a−1=0，作AM⊥l于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（

A．1 B．2+1 C．2−1 【变式3-2】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知M,N为圆x2+y2=9上两点，点A1,2，且A．4−2,4+2C．4−5,4+5【变式3-3】（2024·广西南宁·二模）已知直线y=kx+mkm≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，且AB=22，动点C满足CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点DA．42 B．32 C．22【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】【例4】（2024·北京·三模）已知圆C:x−32+y−12=1和两点A−t,0,Bt,0t>0A．0,1 B．1,3 C．2,3 D．3,4【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）M点是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点，AB为圆C1:(x−2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【变式4-2】（2024·江西赣州·一模）在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是BC的中点，点P是侧面A．π9 B．2π9 C．4【变式4-3】（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系xOy中，设A2,4，B−2,−4，动点P满足PO⋅PA=−1A．22121 B．42929 C．【题型5阿波罗尼斯圆】【例5】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，Q为x轴上一定点，A．−1,0 B．1,0 C．−2,0 D．2,0【变式5-1】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λ（λ>0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点Qm,0和定点P−12,0的距离之比为2，其方程为xA．6 B．7 C．10 D．11【变式5-2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λλ≠1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O0,0，A3,0，动点Px,y满足POPA=12，则点A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，其中，定点Q为x轴上一点，定点P的坐标为−A．10 B．11 C．15 D．17【题型6蒙日圆】【例6】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0,a≠b任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x2+yA．1,7 B．1,9 C．3,7 D．3,9【变式6-1】（2024·贵州铜仁·二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日圆为C:x2+y2=43a2，过C上的动点A．22 B．32 C．33【变式6-2】（2024高三·山东·专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a+1+y2a=1(a>0)A．x2+y2=9 B．x2【变式6-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程为xA．±3 B．±4 C．±5 D．2一、单选题1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为2，那么直线OM的斜率的取值范围是（）A．26,62 B．−72,2．（23-24高三上·重庆·期中）已知Q为抛物线C:y²=4x上的动点，动点M满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为22，则|QM|+|QF|的最小值是（A．3−2 B．4−2 C．4+3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则△MAB面积的最大值为（

）A．82 B．8 C．42 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线x2=y+1与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足PA=2PBA．3 B．23 C．2 D．5．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线3x+4y−5=0上一动点，点Pm+2,1−n,B2,0，且满足m2+A．65 B．73 C．6556．（2024·广东·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设M为椭圆C:x2+y212=1的一个外切长方形（M的四条边所在直线均与椭圆CA．133 B．26 C．1125 7．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，∠BAC=π3，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足PB⋅A．33 B．233 C．38．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0，且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到A(−1,0)，B(1,0)的距离之比为3，则点C到直线x−2y+8=0的距离的最小值为（

）A．25−3C．25 D．二、多选题9．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A(−1,0)，B(2,0)，动点P满足|PA||PB|=12，直线A．直线l过定点(−1,1)B．动点P的轨迹方程为(x+2)C．动点P到直线l的距离的最大值为2D．若点D的坐标为(−1,1)，则|PD|+2|PA|的最小值为1010．（2024·山西太原·二模）已知两定点A−2,0，B1,0，动点M满足条件MA=2MB，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，A．PQ取值范围是2B．当点A，B，P，Q不共线时，△APQ面积的最大值为6C．当直线l斜率k≠0时，AB平分∠PAQD．tan∠PAQ最大值为11．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为x2+y2A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为xC．若l上任意一点Q都满足QA⋅QBD．若b=1，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB，则△AOB面积的最大值为3三、填空题12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点A−3,0，B1,0，平面内的动点P满足PB−3PA=0，则点P的轨迹形成的图形周长是13．（23-24高二下·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λλ≠1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点O0,0，A3,0，动点Px,y满足POPA=12，则点14．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆x23+y2b2=1（0<b<3）上任意两个动点，动点P四、解答题15．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点O(0，0)，A(3，(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点B(0，2)，且曲线C截l所得弦长等于2316．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A2,3，B5,0，M是平面内的一动点，且满足MAMB=2，记点(1)求曲线E的方程；(2)过点B的直线l与曲线E交于P，Q两点，若△OBP的面积是△OBQ的面积的3倍，求直线l的方程．17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在坐标原点O，半径为(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l与椭圆Γ交于A、B两点，与其“蒙日圆”交于C、D两点，当CD=4时，求△AOB18．（23-24高二上·