2024-2025学年新教材高中数学微专题培优练十八第五章三角函数5.1任意角和蝗制含解析新人教A版必修第一册

PAGE十八随意角和弧度制(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(3π,4)【解析】选A.因为－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，所以－eq\f(11π,4)与－eq\f(3π,4)是终边相同的角，且此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．2．(多选题)若角α与角eq\f(8π,5)终边相同，则在[0，2π]内终边与eq\f(α,4)终边相同的角有()A．eq\f(2π,5)B．eq\f(9π,10)C．eq\f(7π,5)D．eq\f(19π,10)【解析】选ABCD.由题意得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，此时eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}【解析】选D.集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．而集合A中满意集合B范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满意．4．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在()A．第一象限B．第四象限C．x轴上D．y轴上【解析】选D.因为eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq\f(α,2)的终边在y轴上．二、填空题(每小题5分，共10分)5．在直径为10cm的轮子上有一条长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5s后P转过的弧长为________cm.【解析】P到圆心O的距离OP＝eq\r(52－32)＝4(cm)，又P点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，所以所求弧长为α·OP＝25×4＝100(cm).答案：1006．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示．其中，圆弧QRT是一个以O点为圆心、QT为直径的半圆，QT＝60m．圆弧QST的圆心为P点，PQ＝60m，圆弧QRT与圆弧QST所围成的阴影部分为月牙泉的形态，则该月牙泉的面积为________m2.【解析】连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝eq\f(\r(,3),2)，所以∠QPO＝eq\f(π,3)，∠QPT＝eq\f(2π,3)，所以月牙泉的面积为S＝eq\f(1,2)×π×(30eq\r(,3))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)×602－\f(1,2)×602×\f(\r(,3),2)))＝150π＋900eq\r(,3)(m2).答案：150π＋900eq\r(,3)三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，求这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积．【解析】因为弧长l＝4R－2R＝2R，所以圆心角α＝eq\f(l,R)＝2，所以S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)αR2－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2Rsin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rcos\f(α,2)))＝eq\f(1,2)×2×R2－R2sin1·cos1＝R2(1－sin1cos1).8．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)－1725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z).【解析】(1)－1725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq\f(5π,12)＝－10π＋eq\f(5π,12)，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k＝－eq\f(π,180)×60＋2π·k＝－eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．9．如图，动点P，Q从点A(4，0)动身，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．【解析】设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·eq\f(π,3)＋t·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π.解得t＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P已经运动到角eq\f(π,3)·4＝eq\f(4π,3)的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－eq\f(2π,3)的终边与圆交