3第三章控制系统的数学模型

第3章控制系统的数学模型3.1控制系统的微分方程3.2传递函数3.3控制系统的动态结构图3.4典型环节的数学模型及阶跃响应3.5控制系统的传递函数3.1.1控制系统微分方程的建立建立微分方程的一般步骤是：①分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间所遵循的物理规律，确定系统的输入量和输出量。②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来，消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。3.1控制系统的微分方程下一页返回④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在微分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边，方程两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。3.1.2控制系统微分方程的求解在系统的微分方程建立后，就要求出微分方程的解，并据此解绘出被控量随时间变化的动态过程曲线，再依据此曲线的各种变化，对系统的性能进行分析和评价。当系统的微分方程是一、二阶微分方程时，我们能很快求解，但若系统的方程是高阶微分方程式，3.1控制系统的微分方程下一页返回上一页直接求解就比较困难。此时可利用拉普拉斯变换进行求解。用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：①将微分方程进行拉氏变换，得到以为变量的变换方程;②解出变换方程，即求出输出量的拉氏变换表达式；③将输出量的象函数展开成部分分式表达式；④对输出量的部分分式进行拉氏反变换，即可得微分方程的解。3.1控制系统的微分方程返回上一页3.2.1传递函数的定义设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为式中：r(t)为系统的输入量；c(t)为系统的输出量；a0、a1、及b0、b1、是与系统或元件的结构、参数有关的常数。为了便于分析系统，规定控制系统的初始状态为零，即在t=0-时系统的输出：这表明，在外作用加于系统的瞬时（t=0）之前，3.2传递函数下一页返回系统是相对静止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。所以，在初始条件为零时，对微分方程的一般表示式两边进行拉氏变换即则有令，称为系统或元件的传递函数，3.2传递函数下一页返回上一页则可得传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即由以上可见，在零初始条件下，只要将微分方程中微分项算符换成相应的，即可得到系统的传递函数。上式为传递函数的一般表达式。3.2.2传递函数的求取1．直接计算法对于系统或元件，首先建立描述元件或系统的微分方程式，3.2传递函数下一页返回上一页然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求出系统的传递函数。2．阻抗法求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法较为方便。电路上的电阻、电感、电容元件的复域模型电路如图3－4所示。其传递函数分别为电阻元件电感元件电容元件3.2传递函数下一页返回上一页3．利用动态结构图求取传递函数对于较复杂的系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态结构图和框图运算法则，可方便地求出系统的传递函数。该方法将在后面的内容中讨论。3.2.3传递函数的性质（1）传递函数式由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统（输入量与输出量也已经确定），它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。（2）传递函数是复变量的有理分式，3.2传递函数下一页返回上一页s是复数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0及bm，bn-1，…，b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件结构、参数决定的，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型。（3）传递函数是一种运算函数。由可得。此式表明，若已知一个系统的传递函数G(s)，则对任何一个输入量r(t)，只要R(s)以乘以G(s)，即可得到输出量的象函数，再以拉氏反变换，就可得到输出量c(t)。由此可见，G(s)起着从输入到输出的传递作用，故名传递函数。3.2传递函数下一页返回上一页（4）传递函数的分母是它所对应的微分方程的特征方程多项式，即传递函数的分母是特征方程的等号左边部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系统的动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。（5）传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶次，即。这是由于系统总是含有惯性元件以及受到系统能源的限制的原因。3.2传递函数返回上一页3.3.1动态结构图的组成与画法1．动态结构图的组成动态结构图一般由信号线、引出点、总和点和功能框等部分组成。它们的图形如图3－7所示。现分别介绍如下：①信号线表示流通的途径和方向，用带箭头的直线表示。一般在线上表明该信号的拉氏变换式，如图3－7（a）所示。②引出点又称为分离点，如图3－7（b）所示，它表示信号线由该点取出。从同一信号线上取出的信号，其大小和性质完全相同。3.3控制系统的动态结构图下一页返回③综合点又称为比较点，完成两个以上信号的加减运算，如图3－7（c）所示。“＋”表示相加；“－”表示相减。通常“＋”可省略不写。④功能框表示系统或元件，如图3－7（d）所示。框左边向内的箭头为输入量（拉氏变换式），框右边向外箭头为输出量（拉氏变换式）。框图为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。它们之间的关系为。2．控制系统动态结构图的建立建立系统动态结构图的一般步骤是：3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页①列写系统各元件的微分方程；②对各元件的微分方程进行拉氏变换，求取其传递函数，标明输入量和输出量；③按照系统中各量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，输入量置于左端，输出量置于右端，便得到系统的动态结构图。3.3.2动态结构图的等效变换及化简自动控制系统的传递函数通常都是利用框图的变换来求取的.为了能方便地求出系统的传递函数,通常需要对结构图进行等效变换.结构图等效变换的规则是：变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页1．串联变换规则传递函数分别为和的两个方框，若的输出量，则称和串联，如图3－11（a）所示。（注意：两个串联的方框所代表的元件之间无负载效应。）由图3－11（a）有则式中：，是串联方框的等效传递函数，可用图3－11（b）所示结构图表示。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页由此可知，当系统中有两个（或两个以上）环节串联时，其等效传递函数为各串联环节的传递函数的乘积。这个结论可推广到n个串联连接的方框。2．并联变换规则传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和时，则G1(s)和G2(s)为并联连接，如图3－12（a）所示。由图3－12（a）有3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页则式中：，是并联方框的等效传递函数，可用图3－12（b）所示结构图表示。由此可知，当系统中两个（或两个以上）环节并联时，其等效传递函数为各并联环节的传递函数的代数和。这个结论可推广到n个并联连接的方框。3．反馈联接变换规则若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框，如图3－13（a）所示形式连接，则称为反馈连接。“＋”为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“－”为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页由图3－13（a）有则或式中：G(s)为前向通道传递函数；H(s)为反馈通道传递函数；Φ(s)为反馈联接的等效传递函数，一般称它为闭环传递函数。式中分母中的加号，对应于负反馈，减号对应于正反馈。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页4．引出点和比较点的移动规则移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量和输出量保持不变。1)引出点的移动①引出点的前移，如图3－14所示。②引出点的后移，如图3－15所示。③相邻引出点之间互移，如图3－16所示。相邻的引出点之间互移引出量不变。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页2）综合点的移动①综合点的前移，如图3－17所示。②综合点的后移，如图3－18所示。③相邻综合点之间互移，如图3－19所示。相邻的综合点之间可以互移。5．等效单位反馈若系统为反馈系统，可通过等效变换将其转换为单位反馈系统，如图3－20所示。3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页3.3.3用公式法求传递函数应用梅逊公式可直接写出系统的传递函数，这里只给出公式，不作证明。梅逊公式的一般表示形式为式中：为系统等效传递函数：为特征式，有；为系统中所有回路的回路传递函数之和；为系统中所有两个互不接触回路的回路传递函数乘积之和；为系统中所有三个互不接触的回路传递函数乘积之和；3.3控制系统的动态结构图下一页返回上一页Pk是从输入端至输出端的第k条前向通路的传递函数：是与第k条前向通路不接触部分的值，称为第k条前向通路的余因子。回路传递函数是指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数的乘积，并包含代表反馈极性的正、负号。3.3控制系统的动态结构图返回上一页3.4.1典型环节的数学模型任何一个复杂的系统，总可以看成是由一些典型环节组合而成的。掌握这些典型环节的特点，可以方便地分析较复杂系统内部各单元间的关系。长剑的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、微分环节、振荡环节等，现分别介绍如下。1.比例环节比例环节的特点是输出量与输入量成正比，无失真和延时，其微分方程为比例环节是自动控制系统中遇到的最多的一种典型环节。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回2.积分环节积分环节的特点是输出量为输入量的积分，当输入量消失后，输出量具有记忆功能。其微分方程为式中：T为积分时间常数。积分环节的特点是它的输出量为输入量的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般都含有积分环节。如电容的电量与电流等。积分环节也是自动控制系统中遇到最多的环节之一。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页3．理想微分环节微分环节的特点是输出量的微分，输出量能预示输入量的变化趋势。理想微分环节的微分方程为式中：τ为微分时间常数。理想微分环节的输出量与输入量之间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数，因此，积分环节的实例的逆过程就是理想微分。如电感元件的电流与电压之间的关系即为一理想微分环节。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页4．惯性环节惯性环节含有一个储能元件，因而对输入量不能立即响应，但输出量不发生振荡现象。其微分方程为式中：T为惯性环节的时间常数。5．比例微分环节比例微分环节又称为一阶微分环节，其微分方程为式中：τ为微分时间常数。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页图3－29所示为一比例微分调节器。由系统所遵循的物理规律，可列写出其微分方程为于是有3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页经整理得6．振荡环节振荡环节包含两个储能元件，能量在两个元件之间相互转换，因而其输出出现振荡现象。其微分方程为直流电动机的数学模型就是一个振荡环节，我们在前面已经作过介绍。在如图3－30所示的RLC串联电路中，其输入电压为ur，输出电压为uc。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页由基尔霍夫定律有整理成标准形式后，其微分方程为7．延迟环节延迟环节也是一个线性环节，其特点是输出量在延迟一定的时间后复现输入量。其微分关系为3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页式中：τ0为延迟时间。如在晶闸管整流电路中，当控制角由α1变到α2时，若晶闸管已导通，则要等到下一个自然换相点以后才起作用。这样，晶闸管整流电路的输出电压较控制电压的改变延迟了一段时间。若延迟时间为τ0

，触发整流电路的输入电压为ui(t)，整流器的输出电压为u0(t)，则3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页3.4.2典型环节的传递函数及阶跃响应1.比例环节（1）微分方程（2）传递函数其功能框如图3－31(a)所示。（3）动态响应当时，，表明比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。比例环节的阶跃响应曲线如图3－31(b)所示。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页2.积分环节(1)微分方程式中：T为积分时间常数。(2)传递函数其功能框图如图3－32(a)所示。（3）动态响应若时，，则3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页所以其阶跃响应曲线如图3－32(b)所示。由图可见，输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。3.理想微分方程（1）微分方程式中：τ为微分时间常数。（2传递函数其功能框图如图3－33（a）所示。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页（3）动态响应若r(t)=1(t)时，R(s)=1/T，则所以为单位脉冲函数，其阶跃响应曲线如图3－33(b)所示。4.惯性环节(1)微分方程(2)传递函数其功能框图如图3－34(a)所示。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页（3）动态响应若r(t)=1(t)时，，则所以惯性环节的阶跃响应曲线如图3－34（b）所示。由图可见，当输入信号发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯性。5.比例微分环节(1)微分方程(2)传递函数3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页式中：τ为微分时间常数。比例微分环节的功能框图如图3－35（a）所示。（3）动态响应比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠加，如图3－35(b)所示。6.振荡环节(1)微分方程(2)传递函数3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页式中：，称为无阻尼自然振荡频率；称为阻尼系数。振荡环节的功能框图如图3－36（a）所示。（3）动态响应当时，c(t)为等幅振荡，其振荡频率为。称为无阻尼自然振荡频率。当时，c(t)为减幅振荡，其振荡频率为。称为阻尼振荡频率。式中：，。其阶跃响应曲线如图3－36（b）所示。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页7.延迟环节（1）微分方程式中：τ0为延迟时间。（2）传递函数由拉氏变换转换可得若将按泰勒级数展开，则由于τ0很小，所以可只取前两项，，于是有3.4典型环节的数学模型及阶跃响应下一页返回上一页上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用一个小惯性环节来代替。延迟环节的功能框图如图3－37（a）所示。（3）动态响应延迟环节的阶跃响应如图3－37（b）所示。3.4典型环节的数学模型及阶跃响应返回上一页自动控制系统的典型框图如图3－38所示。系统的输入量包括给定信号和干扰信号。对于线性系统，可以分别求出给定信号和干扰信号单独作用下系统的传递函数。当两信号同时作用于系统时，可以应用叠加定理，求出系统的输出量。为了便于分析系统，下面我们给出系统的几种传递函数表示法。1.闭环系统的开还传递函数我们定义闭环系统的开还传递函数为注意：G0(s)为闭环系统的开还传递函数，这里是指断开主反馈通路（开环）而得到的传递函数，而不是开环系统的传递函数。3.5控制系统的传递函数下一页返回2.系统的闭环传递函数（1）在输入量R(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出若仅考虑输入量R(s)作用，则可暂略去扰动量D(s)。则由图3－38可得输出量C(s)对输入量的闭环传递函数为

此时系统的输出量为（2）在扰动量D(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出若仅考虑扰动量D(s)的作用，则可暂略去输入信号R(s)。3.5控制系统的传递函数下一页返回上一页图3－38可化简为如图3－39所示的形式。因此，得输出量C(s)对输入量得闭环传递函数GD(s)为

此时系统的输出量CD(s)为

（3）在R(s)和D(s)共同作用下，系统的总输出设此系统为线性系统，因此可以应用叠加定理：即当输入量和扰动量同时作用时，系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加。于是有3.5控制系统的传递函数下一页返回上一页由上分析可见，由于给定量和扰动量的作用点不同，即使在同一个系统，输出量对不同作用量的闭环传递函数一般也是不相同的。3.闭环控制系统的偏差传递函数在对自动控制系统的分析中，除了要了解输出量的变化规律外，还要关心误差的变化规律。控制误差的大小，也就达到了控制系统的精度的目的，而偏差与误差之间存在一一对应的关系，因此通过偏差可达到分析误差的目的。我们暂且规定，系统的偏差e(t)为被控量c(t)的测量信号b(t)和给定信号r(t)之差，3.5控制系统的传递函数下一页返回上一页即则E(s)为综合点的输出量的拉氏变换式。则如图3－40所示，可定义