13.1 三角形中的边角关系 同步练习

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系知识点1三角形的有关概念1.图中三角形共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个知识点2三角形按边长关系分类2.下列说法:①等边三角形是等腰三角形,等腰三角形也是等边三角形;②等腰三角形至少有两边相等;③三角形按边长关系,可分为等腰三角形和不等边三角形;④三角形按边长关系,可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形,其中正确的为()A.①③ B.②④ C.②③ D.①②④3.如图,AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则共有个等腰三角形,有个等边三角形.

知识点3三角形中边的关系4.(2022四川凉山州中考)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.3,4,8 B.5,6,11 C.5,6,10 D.5,5,105.(2023安徽合肥行知学校期中)已知一个三角形的两条边长分别为4和7,则第三条边的长不可能是()A.11 B.9 C.8 D.76.(2023安徽安庆迎江期中)一个等腰三角形的两边长分别是6cm,10cm,则这个三角形的周长为.

7.(2023安徽合肥部分学校质检)已知△ABC的三边长分别为1,4,a,化简:|a-2|-|a-1|+|a-6|.8.在△ABC中,已知AB=8,BC=2a+2,AC=22.(1)求a的取值范围;(2)若△ABC为等腰三角形,求这个三角形的周长.知识点4三角形中角的关系9.(2023安徽安庆迎江期中)在△ABC中,若∠A=∠B-∠C,则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定10.(2023安徽马鞍山期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AC,若∠B=40°,∠C=60°,则∠ADE的度数为()A.30° B.40° C.50° D.60°11.(2023安徽安庆外国语学校期中)在△ABC中,∠A=35°,∠B=45°,则∠C为°.

知识点5三角形中的几条重要线段12.(2022广西民族大学附中月考)如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上的一点,CF⊥AD于H.下列判断正确的是()A.线段AD是△ABE的角平分线 B.线段CH为△ACD的边AD上的高C.线段BE是△ABD的边AD上的中线 D.线段AH为△ABC的角平分线13.(2023安徽合肥部分学校质检)如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB=10,则AC=.

知识点6定义14.下列语句中,属于定义的是()A.直角都相等 B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,同旁内角互补 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形15.(2022浙江衢州中考)线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形,若a=1,b=3,则c的长度可以是()A.3 B.4 C.5 D.616.(2022浙江杭州中考)如图,CD⊥AB,交AB的延长线于点D,已知∠ABC是钝角,则()A.线段CD是△ABC的边AC上的高线 B.线段CD是△ABC的边AB上的高线C.线段AD是△ABC的边BC上的高线 D.线段AD是△ABC的边AC上的高线17.(2023安徽亳州六校联考)如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∠A=50°,则∠BOC的度数为()A.115° B.120° C.125° D.130°18.(2022江苏常州中考)如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是.

19.(2023安徽蚌埠蚌山期中)已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.(1)直接写出c及x的取值范围.(2)若x是小于18的偶数.①求c的长;②判断△ABC的形状.20.小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题:已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,求b的取值范围.(1)小明说:“b的取值范围我看不出如何求,但我能求出a的值.”你知道小明是如何计算的吗?帮他写出求解的过程;(2)小红说:“我也看不出如何求b的取值范围,但我能用含b的式子表示c.”请你帮小红写出过程;(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的求解,利用书上三角形的三边关系,即可求出答案.”你知道答案吗?请写出求解过程.21.将三角尺(△MPN,∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内),如图①所示,三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C,我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系.(1)特例探究:∠PBC+∠PCB=度,若∠A=50°,则∠ABP+∠ACP=度;

(2)类比探究:∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系;(3)变式探究:如图②所示,将图①中△ABC的形状改变,同时改变三角尺的位置,使点P在△ABC外,三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C,探究∠ABP、∠ACP、∠A之间的数量关系.

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系答案1.C根据三角形的概念,可知三角形有△BED,△AED,△ADC,△ABD,△ABC,共5个.2.C∵有两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,∴等边三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形,故①错误,②正确;三角形按边长关系,可分为不等边三角形和等腰三角形,故③正确,④错误.故选C.3.答案4;1解析依据等腰三角形及等边三角形的定义可知,题图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△AEC,△ADE,共4个;等边三角形有△ADE,共1个.4.C3+4<8,不能组成三角形,所以选项A不符合题意;5+6=11,不能组成三角形,所以选项B不符合题意;5+6>10,能组成三角形,所以选项C符合题意;5+5=10,不能组成三角形,所以选项D不符合题意.5.A设第三边的长为x,由三角形的三边关系可得7-4<x<7+4,∴3<x<11,故第三条边的长不可能是11.6.答案22cm或26cm解析(1)当三边长是6cm,6cm,10cm时,6+6>10,符合三角形的三边关系,此时周长是22cm;(2)当三边长是6cm,10cm,10cm时,6+10>10,符合三角形的三边关系,此时周长是26cm.综上,这个三角形的周长是22cm或26cm.7.解析本题易忽视a的取值范围而在去绝对值符号时产生错误.∵△ABC的三边长分别为1、4、a,∴4-1<a<4+1,解得3<a<5,∴a-2>0,a-1>0,a-6<0,故原式=a-2-(a-1)+6-a=5-a.8.解析(1)由题意,得22-8<2a+2<22+8,解得6<a<14.(2)∵△ABC为等腰三角形,∴2a+2=8或2a+2=22,∴a=3或a=10.∵6<a<14,∴a=10.∴△ABC的周长=22+22+8=52.9.B∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形.10.C∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-40°-60°=80°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC=40°.∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ADE=180°-90°-40°=50°.11.答案100解析∵∠A=35°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=100°.12.B选项A,根据三角形的角平分线的概念,知AG是△ABE的角平分线,故本选项中判断错误;选项B,根据三角形的高的概念,知CH为△ACD的边AD上的高,故本选项中判断正确;选项C,根据三角形的中线的概念,知BG是△ABD的边AD上的中线,故本选项中判断错误;选项D,根据三角形的角平分线的概念,知AD是△ABC的角平分线,故本选项中判断错误.13.答案6解析∵AD为BC边上的中线,∴BD=DC.∵△ABD的周长比△ACD的周长大4,∴(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=4,∴AB-AC=4.∵AB=10,∴AC=6.14.D选项A不是定义;选项B是余角的性质,不是定义;选项C是平行线的性质,不是定义;选项D是等腰三角形的定义,符合题意.15.A由题意可知3-1<c<3+1,∴2<c<4.观察选项,只有选项A符合题意.16.B选项A,线段CD是△ABC的边AB上的高线,故本选项说法错误,不符合题意;选项B,线段CD是△ABC的边AB上的高线,故本选项说法正确,符合题意;选项C,线段AD不是△ABC的边BC上的高线,故本选项说法错误,不符合题意;选项D,线段AD不是△ABC的边AC上的高线,故本选项说法错误,不符合题意.17.A∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°.∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=∠ACB)=1218.答案2解析∵E是AD的中点,∴CE是△ACD的中线,∴S△ACD=2S△AEC.∵△AEC的面积是1,∴S△ACD=2S△AEC=2.∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=2.19.解析(1)因为a=4,b=6,所以6-4<c<4+6,即2<c<10.故周长x的取值范围为12<x<20.(2)①因为周长为小于18的偶数,所以x=16或x=14.当x为16时,c=6;当x为14时,c=4.②当c=6时,b=c,则△ABC为等腰三角形;当c=4时,a=c,则△ABC为等腰三角形.综上,△ABC是等腰三角形.20.解析(1)∵|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,∴b+c-2a=0且b+c-5=0,∴2a=5,解得a=52(2)∵|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,∴b+c-2a=0且b+c-5=0,由b+c-5=0得c=5-b.(3)由三角形的三边关系得,当5-b≥52,即b≤52∴54<b≤5当5-b<52,即b>52∴52<b<15∴b的取值范围为54<b<1521.解析(1)90;40.解:∵∠P=90°,∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°,∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°.∴∠ABP+∠ACP=130°-9