19.8.1 直角三角形性质 同步练习

19.8.1直角三角形性质【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（

）A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________．4．（2018·上海·八年级期中）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________．5．（2022·上海·八年级单元测试）直角三角形的斜边上的高和斜边上的中线的长分别为3和4，那么这个直角三角形的面积为______．6．（2022·上海·上外附中八年级期末）如图，Rt△ABC，∠B=90∘，∠BAC=72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF=2AC，则∠BAG=_____________°．7．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，与分别是斜边上的高和中线，那么_______度．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在直角三角形中，斜边及其中线之和为9，则该三角形的斜边长为__________．三、解答题9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知的高相交于点分别是的中点，求证：垂直平分．(括号中需写本学期新学理由)【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题中，真命题有（

）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．二、填空题2．（2022·上海·八年级专题练习）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．3．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________．4．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式_________________.（不写函数定义域）．5．（2021·上海市延安实验初级中学八年级期中）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D为边AB上一点．将BCD直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果，那么BE=______．6．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．7．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．三、解答题8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）9．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，，交AC于点F，∠A＝2∠C．求证：．10．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知：如图，在中，是边边上的高，是中线，是的中点，．求证：．11．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在边BC上，∠EAD＝90°，AD＝AE．求证：(1)ABE≌ACD；(2)如果点F是DE的中点，联结AF、CF，求证：AF＝CF．12．（2018·上海·八年级期中）如图，在中，点D在边AC上，连接BD，，E是CD的中点，F是AB的中点，连接EF，求证：．

19.8.1直角三角形性质（解析版）【夯实基础】一、单选题（解析版）1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（

）A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在中，，为边上的中点，，故选项正确，不符合题意；，故选项正确，不符合题意；，，故选项正确，不符合题意；只有当时，，故选项错误，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】由已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少个．【详解】，，D是AB的中点，AD=DB=CD，，是等边三角形，，．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量关系．二、填空题3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________．【答案】18【分析】直接根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得答案．【详解】因为“直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半”，所以这条边上的中线长为18．故答案为18．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，熟记知识点是解题的关键．4．（2018·上海·八年级期中）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________．【答案】30【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，直角三角形斜边上的中线是6，斜边长为：，它的面积，故答案为：30．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（2022·上海·八年级单元测试）直角三角形的斜边上的高和斜边上的中线的长分别为3和4，那么这个直角三角形的面积为______．【答案】12【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出斜边AB，根据三角形面积公式求出即可．【详解】作图，E是斜边AB中点，CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB中线，CE=4，∴AB=2CE=8，∴△ACB的面积是×AB×CD=×8×3=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和三角形面积的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．（2022·上海·上外附中八年级期末）如图，Rt△ABC，∠B=90∘，∠BAC=72°，过C作CF∥AB，联结AF与BC相交于点G，若GF=2AC，则∠BAG=_____________°．【答案】24【分析】取FG的中点E，连接EC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EC=AC，从而可推出∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，已知，∠BAC=72°，则不难求得∠BAG的度数．【详解】解：如图，取FG的中点E，连接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，设∠BAG=x，则∠F=x，∵∠BAC=72°，∴x+2x=72°，∴x=24°，∴∠BAG=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，平行线的性质以及角的计算，解题的关键是构造三个等腰三角形．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在中，，，与分别是斜边上的高和中线，那么_______度．【答案】50【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【详解】解：，为边上的高，，，是斜边上的中线，，，的度数为．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在直角三角形中，斜边及其中线之和为9，则该三角形的斜边长为__________．【答案】6【分析】根据直角三角形斜边上中线性质推出AB=2CD，代入AB+CD=9，即可求出AB．【详解】如图：∵∠ACB=90°，CD是△ACB的中线，∴AB=2CD，∵AB+CD=9，∴CD=3，AB=2CD=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，关键是得出AB=2CD．三、解答题9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知的高相交于点分别是的中点，求证：垂直平分．(括号中需写本学期新学理由)【答案】见解析【分析】联结，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而判断在线段的垂直平分线上，即可证明垂直平分【详解】证明：联结，∵，，∴，∵是的中点，∴(直角三角形斜边中线等于斜边一半)，∴，∴在线段的垂直平分线上(垂直平分线的逆定理)，∴垂直平分.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，掌握以上性质定理是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题中，真命题有（

）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．【答案】B【分析】先确定每个命题的逆命题，再对依次进行判定即可解答.【详解】解：①的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合题意；②的逆命题为：有一条边上的中线等于这一条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；③的逆命题为：两个全等的三角形关于某一条直线对称，是假命题，不符合题意；④的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，符合题意．故真命题有2个．故选：B．【点睛】此题考查了命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键．二、填空题2．（2022·上海·八年级专题练习）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．【答案】或者【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图1，取的中点，连接，，，，，是的中点，，是等边三角形，，；如图2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案为：或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．3．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________．【答案】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案．【详解】证明：如图，连接CE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中点，∴DF=BE，Rt△ACE中，∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键．4．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式_________________.（不写函数定义域）．【答案】【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式．【详解】解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H，根据题意，，即，解得，∵在中，AD⊥AB，E为BD中点，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，即有，整理得．∴y与x之间的函数解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法．5．（2021·上海市延安实验初级中学八年级期中）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D为边AB上一点．将BCD直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果，那么BE=______．【答案】【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据，得出CD=BD=5，进而得到BG=3，再根据，即可得到BF的长，即可得出BE的长．【详解】如图所示，过D作DG⊥BC于G，∵在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，，由折叠可得，CD垂直平分BE，∴当时，∠AEB=∠DFB=90°，∴∠DEB＋∠DEA=90°，∠DBE＋∠DAE=90°，∵DB=DE，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，∴AD=BD，∴D是AB的中点，∴Rt△ABC中，CD=BD=5，∵DG⊥BC，∴BG=3，∴Rt△BDG中，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．【答案】【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，根据角平分线性质求出，然后通过证明是等边三角形得出，由三角形内角和定理即可求解．【详解】证明：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则，∵，∴，∵EF是的中线，∴，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是做辅助线证明是等边三角形，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．7．（2021·上海普陀·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．【答案】130【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得，即可得，由同角的余角相等可得，再根据三角形的内角和定理可求解．【详解】解：，是边的中点，，，，，，，，，，故答案为：130．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，解题的关键是求解．三、解答题8．（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）【答案】见解析【详解】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．【解答】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC＝DF（等量代换）．【点睛】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30°角所对的边与斜边之间的关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．9．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，D为垂足，E是AB的中点，，交AC于点F，∠A＝2∠C．求证：．【答案】见解析【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝AB，根据平行线的性质和三角形的外角的性质得到DE＝DF，证明结论．【详解】证明：连接DE，∵BD⊥AC，E为AB的中点，∴DE＝AE＝AB，∴∠A＝∠ADE，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C，又∵∠A＝2∠C，∴∠ADE＝2∠DFE，又∵∠ADE＝∠DFE+∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，又∵DE＝AB，∴DF＝AB．【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）已知：如图，在中，是边边上的高，是中线，是的中点，．求证：．【答案】见详解．【分析】连接DE，由中垂线的性质可得DE=DC，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE，进而得到CDAB．【详解】证明：如图，连接DE，∵F是CE的中点，DF⊥CE，∴DF垂直平分CE，∴DE=DC∵AD⊥B