《角的概念的推广》教材分析

高中数学精选资源2/2《角的概念的推广》教材分析一、本节知识结构框图任意角任意角正角负角零角象限角终边相同的角：二、重点、难点重点：将到范围的角扩充到任意角.难点：任意角概念的建构.三、教科书编写意图及教学建议周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体.教科书单刀直入地提出问题：如何刻画圆周上一点的位置变化？通过分析，得出“可以借助角的大小变化刻画”.容易发现，在点的运动过程中，角的范围将超出～，就有必要推广角的概念.利用几何直观有利于抽象概念的理解.教科书充分利用单位圆，引导学生了解任意角及弧度制概念，同时，还利用直角坐标系建立象限角的概念，使任意角的讨论有了一个统一的“标准”.教学中，要特别注意利用单位圆、直角坐标系等工具，引导学生数形结合地认识与刻画周期现象.使用信息技术可以动态地表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察角的大小变化与终边位置的关系，因此要注意用信息技术帮助学生了解任意角和弧度的概念.任意角教科书首先通过实际问题（体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，将角的范围推广到任意角，在直角坐标系中表示角——象限角，并研究象限角的性质——终边相同的角的代数特征.这样可以使学生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景—定义—度量—运算—性质”的研究路径.1.任意角的概念教科书通过问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们认识到要准确地表达旋转运动过程，需要同时说明旋转量和旋转方向.教学时，可以先让学生思考“怎样才能准确地描述旋转现象”，引导学生体会仅用～的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题：推广角的范围，如何推广？学生过去接触的角都在～，关于角的认识已形成一定的思维定势.为此，除了教科书中的例子，教学时还可以再举一些实际例子，用以说明引入新概念的必要性和实际意义.同时，还可以借助信息技术，让学生在动态的过程中体会：角是转出来的，在角的终边“任意”旋转的过程中，角的范围不能限于～；要准确地刻画一个角，必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向.初中研究过平面图形的旋转，学生已经知道旋转的“三要素”，这是对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的一个基础.如何用量化的方法刻画任意角呢？旋转量的大小可以在初中学过的角度制基础上进行推广，这里的关键是用符号表示“方向”，逆时针方向为正、顺时针方向为负.可类比正数、负数的规定，说明正角、负角是用来表示“具有相反意义的旋转量”.如果一条射线没有做任何旋转（即旋转量为0），那么说它形成了一个零角，零角无正负，就像实数0无正负一样.2.用符号代表方向的意义任意角是“既有大小又有方向”的角，与向量有很大的可比性，所以我们先来看看用符号代表方向对于向量的意义.用符号代表方向奠定了轴上向量数量化的基础.由此，就可以实现用实数表示向量：在轴（具有方向和长度单位的直线）上取一点为原点，得数轴，并设它的基向量为，则上任意一点与向量一一对应，而且.这里叫做向量的数量，实际上就是数轴上点的坐标，这就是用实数表示向量的方法.接下来，我们可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来：在轴上，一个点从点运动到点，再从点运动到点，根据两次运动的不同方向，可以区分出四种情况（图5-3）：图5-3但无论如何，从数量上看，最终结果都有.这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和（表示了多次变化的结果），它给运算带来了极大方便，我们不必要再区分各种情况了.显然，用符号表示方向才有.这是一个“常识”，但非常值得重视，而且它很重要.它叫沙尔定理，沙尔（MichelChasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号.正如伟大的数学家F•克莱因指出的：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括.”在角的扩充过程中，我们让角带上符号而成为任意角，正角的符号为“+”，负角的符号为“-”，于是有：设任意角的始边、终边分别为，，让旋转任意角到，则由旋转到的角是.显然，如果，不带有符号，那么我们就必须考虑：在旋转到时，是按顺时针还是按逆时针？由上所述可知，教科书对任意角加法的定义是基于用符号表示方向，其依据是沙尔定理，这是研究三角函数的基础.3.任意角的度量关于度量，初中学过两类，一是线段、平面图形和空间图形的大小度量，是十进制，其中线段的长度是基础；二是“用角量角”的角度制，是六十进制.这里把角的范围从～（不超过一个周角）扩展到任意角，如果记任意角，那么.为了定义三角函数的需要，还需要引入“用长度量角”的弧度制.4．任意角的运算角的范围扩展到任意角后，角的运算的意义也随之得到扩展.初中学过角的和、差和倍角，角的运算中不考虑方向，两角差只考虑“大角减小角”.角的范围扩充后，不仅可以“小角减大角”，而且对两角和也赋予了全新的意义.教科书定义的两个任意角，的和是把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.这个规定既符合人的直觉，也与实数的运算法则一致，因此它是合理的.首先，字母，表示任意角，它们是带有符号的，当，的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针.为了方便，我们用，表示相应的旋转量.角“”是两次连续旋转的结果，可以分如下几种情况：（1），；（2），；（3），；（4），.下面我们根据任意角的概念做一个分析：对于（1），角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为.对于（2），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为；若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.对于（3），若，则角“”的旋转方向为逆时针，旋转量为；若，则角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.对于（4），角“”的旋转方向为顺时针，旋转量为.于是有：同号两角相加，取相同的方向，并把“绝对值”相加；“绝对值”不相等的异号两角相加，取“绝对值”较大的角的方向，并用较大的“绝对值”减去较小的“绝对值”.显然，旋转量相同，旋转方向相反的两个角相加得零角，我们称这两个角互为相反角，角的相反角记为.一个角与零角相加仍得这个角.综上可知，两角和的运算与实数的加法运算完全一致；同时，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有，即“减去一个角等于加上这个角的相反角”.这样，角的减法可以转化为加法.从几何角度看，就是一条射线绕端点旋转任意角后再旋转任意角，这时终边所对应的角是.5.象限角引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，并进而可以利用任意角、直角坐标系刻画周期性变化现象.在学习象限角时，应强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.在这个统一前提下，才能对象限角进行定义.终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便.教科书169页边空中提出的问题，让学生说说在直角坐标系内讨论角的好处，是为了提醒学生，在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”的现象得到有效表示.6.终边相同的角这是研究具有特殊关系的象限角，可以看成是在定义象限角概念之后研究它的性质.有了终边相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函数的公式一.一般而言，概念明确了研究对象的内涵或组成要素，性质研究的主题之一是内涵或要素之间的关系.从概念出发研究性质是研究数学对象的基本之道.对于教科书170页的“探究”，我们知道，象限角的始边相同，以射线为终边的角有无数个，即这些角有“始边、终边都相同”的共同特征.这一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有内在联系，数学要研究这种联系在数、形上如何表达，特别是要追求精确的量化表示，从定性到定量是研究数学问题的基本策略.发现联系的方法：借助图象，观察几个与终边相同的角之间的数量关系，在“旋转整数周”的帮助下，通过运算发现共同特征：终边相同的角相差的整数倍，并得出表达式；再将推广到一般角.这里用到数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、通过运算发现规律等，这是数学地探索事物性质的普遍方法.教学时，可以利用信息技术，在直角坐标系画出任意角，并测出角的大小，再观察角的终边旋转整数周后，其大小与原角之间的关系，从而将数、形联系起来，给出几何意义的代数解释.这里，从几何角度看，“终边旋转整数周回到原来的位置”而形成“终边相同的角”，用数量关系表示，就是“终边相同的角相差的整数倍”，用符号形式表示就是“所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合”.教学中应在教科书安排的“与终边相同的角的表示”这个问题上多用些时间，让学生进行操作与思考.应当引导学生认识：①；②是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍.7.例题例1实际上是利用终边相同的角的表示，在～范围内找出与已知角终边相同的角，并由此判定其为第几象限角，事实上这是判定一个角为第几象限角的一般方法.本例为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础.可引导学生先估计大致是的几倍，然后再具体求解.例2是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一