1.3探索三角形全等的条件（七~八）（原卷版）

1.3探索三角形全等的条件（七~八）【推本溯源】1.角平分线的画法：如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？作法：以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M；作射线OM。OM是∠ABC的角平分线。 2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E，证：PQ⊥CD由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？作法：（1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D；（2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q；（3）作直线PQ。直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射线CP上截取CB=a；（3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A；（4）连接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形。看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求证：△ABC≌△A′B′C′证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′；然后运用AAS证全等即可。通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（）A．； B．； C．； D．；例2：如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度．例3：下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2，①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；②连接PA和PB；③作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．④作直线PQ．∴直线PQ就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依据）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依据）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．例4：如图，在8×6的方格纸中有线段AD，其中A，D在格点上，请分别按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一个即可．）（1）在图1中，作△ABC，使AD为△ABC的中线，点B，C在格点上．（2）在图2中，作△ABC，使AD为△ABC的高线，点B，C在格点上．例5：如图，四边形中，，，，，与相交于点F．(1)求证：(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．【摩拳擦掌】1．（2022·四川广元·统考一模）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（

）A．20° B．50° C．60° D．40°2．（2022秋·天津·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS4．（2022秋·湖南·八年级期中）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连结OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是___度．5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，则________（填“”、“”或“”）．6．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为____________.

7.（2021秋·北京·八年级北京四中校考期中）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．则射线是的角平分线．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线（请保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．8．（2020秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图,在△ABC中,∠BAC是钝角,按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹）①用尺规作∠BAC的角平分线AE．②用三角板作BC边上的高AD．③用尺规作AB边上的垂直平分线．【知不足】1．（2021·河北·九年级专题练习）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·湖南永州·统考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤3．（2023秋·八年级单元测试）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则______．5．（2023秋·福建莆田·八年级期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，，要使与全等，则_____．6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________．7．（2023春·八年级课时练习）如图，在与中，，，，，则______．8．（2021秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到.（1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明．（2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题：（Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.（Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（Ⅰ）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【一览众山小】1．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，于点D，，若cm，则的值为（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm2．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS3．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：已知线段a，b．求作：，使得斜边，一条直角边．作法：（1）作射线、，且．（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C．（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B．（4）连接．则就是所求作的三角形．上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全国·八年级专题练习）在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是______5．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：小红的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．小明的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．小刚的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．请根据以上情境，解决下列问题(1)小红的作法依据是．(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．证明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依据)(3)小刚的作法正确吗?请说明理由6．（2021·吉林·九年级专题练习）在数学课上，老师提出如下问题老师说：“小华的作法正确”请回答：小华第二步作图的依据是______．7．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．已知：在中，，．(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．(2)求所作图形中的度数．8．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在内部.(1)若，①如图1，若，求证：.②如图2，若，求证：OC平分.(2)如图3，点A、B分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且，P为OM上定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法）9．（2023春·全国·七年级期末）已知ABC．(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出ABC的中线CD；②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是；(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是．10．（2020·广西·九年级统考学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）11．（2019秋·江苏无锡·七年级校考期末）作