27.4 直线与圆的位置关系（作业）（解析版）

27.4直线与圆的位置关系（作业）一、单选题1．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线；B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．【答案】B【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可．【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，故选：B．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大．3．（2020·上海九年级一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交 B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上 D．点D在⊙C内【答案】D【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．4．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【答案】C【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误；B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项错误；C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项正确；D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查切线的意义和性质，掌握切线的性质是解题的关键.6．（2020·上海九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出结论．【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．7．（2020·上海九年级专题练习）在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为()A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M的坐标是（4，3），

∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，

∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，

∴r的取值范围是3＜r＜4，

故选：D．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．8．（2020·上海九年级专题练习）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2=3,那么O2A的长等于（）A．2 B．3 C．8 D．2或8【答案】D【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.【详解】根据题意可知分两种情况讨论：①O1A＞O2A，∵O1A=5，O1O2=3,∴O2A=O1A-O1O2=2①O2A＞O1A，∵O1A=5，O1O2=3,∴O2A=O1A+O1O2=8故选D.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）如图，的半径为4，点A，B在上，点P在内，，，如果，那么OP的长为A． B．3 C． D．【答案】D【分析】如图，连接OB，作交OP的延长线于M，作交MB的延长线于则四边形AOMN是矩形，推出A、O、P、B四点共圆，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义设，，根据勾股定理得到负根已经舍弃，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接OB，作交OP的延长线于M，作交MB的延长线于则四边形AOMN是矩形，，、O、P、B四点共圆，，，，，设，，在中，，解得负根已经舍弃，，，，，，，，∽，，，，．故选D．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．二、填空题10．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）在中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于_____．【答案】【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，设圆与斜边AB的切点为点D，连接CD，则由圆的切线的性质得：是等腰直角三角形，是等腰直角三角形故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握理解圆的切线的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级一模）两圆的半径之比为，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．【答案】2【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R＋r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3−1＝2．故答案为：2．【点睛】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．12．（2020·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为______.【答案】【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.【详解】设切点为D，连接CD，如图所示∵∠C=90º，AC=3，BC=4，∴又∵⊙C与斜边AB相切，∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径∴∴故答案为.【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.13．（2019·上海九年级其他模拟）在△ABC中，AB=AC=5，tanB=.若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于________.【答案】3或5【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．【详解】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝，设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD＝，BD＝3，则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；（ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3；综合上述，OA的长为3或5．故答案为：3或5．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．三、解答题14．（2020·上海九年级二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（