2.4线段、角的对称性（三~四）（解析版）

2.4线段、角的对称性（三~四）【推本溯源】1.如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。因此，角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴点Q在∠AOB的角平分线上因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言：∵点Q在∠AOB的内部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M（3）作射线OM。5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？【解惑】例1：如图，交延长线于，于，，．(1)求证：平分；(2)直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出，再根据，即可求出答案．【详解】（1）解：证明：，，，在和中，，，，，，平分；（2）解：．理由如下：由（1）知平分，，在和中，，，，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．例2：如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为__________．

【答案】5【分析】过D作于E，根据角平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】过D作于E，

由题可知平分，∵，∴，∵，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线，角平分线的性质，三角形的面积公式等，熟练掌握作图是解题的关键．例3：如图中，平分，则的面积为（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】过点D作于点F，如图所示：∵平分，∴，∵，∴的面积，故选：B．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，属于基础题目，正确添加辅助线、得出是解题关键．例4：小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．B．角平分线上的点到角两边的距离相等．C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．【答案】A【分析】如图，过点P作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，从而可对各选项进行判断．【详解】解：如图，过点P作于E点，于F点，∵两把长方形直尺完全相同，∴，∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．例5：如图，是内一点，点到三边的距离相等，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得解．【详解】解：∵点P到三边的距离相等，∴平分，平分，∴，，∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．【摩拳擦掌】1.点在内，且到三边的距离相等．若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形的角平分线的判定定理得到都是角平分线，故可求解．【详解】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O三角形三条角平分线的交点，

∴都是角平分线，∴，，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查三角形角平分线的判定定理，与角平分线有关的三角形内角和定理，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．2.如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到边、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】点P到、的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．【详解】解：∵需要在边上确定一点P，使点P到、的距离相等，∴点P是的平分线与的交点，故选：C．【点睛】本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．3.如图，P是内一点，点P到三边，，的距离，，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据角平分线的判定得出，是，的角平分线，进而得出，，求出，进而得出，再根据三角形内角和定理即可得出答案．【详解】∵点P到三边，，的距离，∴，是，的角平分线，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题的4.如图，在中，是的平分线，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，若，则的长为________．

【答案】5【分析】根据角平分线的性质定理求解即可．【详解】∵是的平分线，，，∴．故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．5.如图，在中，是边上的高，平分，交于点，已知，，，则的面积等于_______．

【答案】【分析】过点作于点，然后根据角平分线的性质可得的长度，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：过点作于点，

∵平分，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．6.如图，在中，，，的面积为24，依据尺规作图的痕迹判断，的长为______．

【答案】6【分析】作交于，根据题意可得：平分，，从而得到，由的面积为24可得，即，进行计算即可得到答案．【详解】解：作交于，

，根据题意可得：平分，，，的面积为24，，即，，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线段的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．7.如图，已知．

(1)求作边上高，交于点；(2)求作的平分线，交于点；(3)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到的距离为半径画弧，与交于两点，再以这两个点为圆心，以大于这两个点之间的线段长一半为半径画弧，两弧交于一点，连接A与该点，交于点D，即可得出边上高；（2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，以这两个点为圆心，大于这两个点之间的线段长一半为半径画弧，两弧交于一点，连接A与该点的射线，交于点E，即可得出的平分线；（3）根据，计算即可．【详解】（1）解：如图，即为边上高；（2）解：如图：即为的平分线；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作垂线、作角平分线，三角形内角和定理，三角形的高，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．8.使用直尺与圆规完成下面作图，（不写作法，保留作图痕迹）(1)在上找一点，使得到和的距离相等；(2)在射线上找一点，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作出的角平分线，交于点，点到和的距离相等；（2）作出的垂直平分线，交于点，．【详解】（1）解：如图，作出的角平分线，交于点，点到和的距离相等；（2）如图，作出的垂直平分线，交于点，标出点，即．【点睛】本题考查了作图——基本作图，掌握五种基本作图的方法，熟悉角平分线和线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．9.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高线．(2)用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）根据三角形的高的定义，结合格点的特点作图即可；（2）根据角平分线的作图方法作图即可；（3）根据格点得出三角形的底和高，即可求出的面积．【详解】（1）解：如图，即为中边上的高线．

（2）解：如图，即为所求．

（3）解：如图可知，，，故．【点睛】本题考查作三角线的高、角平分线，解题的关键是掌握用直尺和圆规作角平分线的方法．【知不足】1.如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．【详解】解：∵，，，∴平分，∴，∵，∴，∴，故②正确；在和中，，∴，∴，故①正确；∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，∴现有条件不能够证明，故③错误；综上，正确的是①②．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．2.如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（

）A．65° B．80° C．100° D．70°【答案】B【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【详解】解：点P到三边的距离，、是、的角平分线，，，，,，．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．3.如图，在中，，平分交于于点D．

（1）若，，则点D到的距离是_______．（2）若，点D到的距离为6，则的长为________．【答案】315【分析】（1）过点D作于E，先求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再求出，然后根据计算即可得解．【详解】解：（1）过点D作于E，

∵，，∴，∵，平分，∴，即点D到的距离是3；（2）∵，平分，∴，∵，∴，∴．故答案为：3；15．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．4.如图，已知的周长是32，，分别平分和，于点，且，则的面积是____________.

【答案】96【分析】作于E，于F，连接，根据角平分线的性质分别求出，最后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作于E，于F，连接，∵分别平分和，，∴，同理：，∴的面积=．故答案为：96．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5.如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________．【答案】36【分析】过D作于F，由角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．【详解】解：过D作于F，∵，∴，∵平分，∴，∵点E为的中点，，∴，∴的面积．故答案为：36．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．6.如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

【答案】，【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出的度数．【详解】解：∵中，，平分，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．7.如图，是的中线，请用尺规作图法在上找一点P，使得点P到线段、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析【分析】根据题意可知点P到线段、的距离相等，故点在的角平分线上，依此作图即可．【详解】解：如图，点P即为所求．

作法：以点为圆心，适当长度为半径，在，上画弧，与，交于两点，分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与相交于点．【点睛】本题考查了角平分线的性质，尺规作图——角平分线，根据题意作的角平分线是解题的关键．8.如图，已知线段MN和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】使P到点M、N的距离相等，就要画的线段垂直平分线，且到的两边的距离相等，就要画角的平分线，两线的交点就是点P．【详解】如图所示：P点即为所求【点睛】本题主要考查了尺规作图的一般作法．熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．9.如图，在四边形中，，，求作一点P，使得点P到C、D两点距离相等且满足．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

结论：【答案】见解析【分析】由，可知点到和的距离相等，从而得知点P在的平分线上，由点P到C、D两点距离相等可知点P在的垂直平分线上，因此只需分别作的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求作点P．【详解】解：如图，点为所作的点．

【点睛】本题考查了作图——复杂作图，可拆解成作角平分线和垂直平分线，推断出作的平分线和线段的垂直平分线是解题的关键．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10.作图题：保留作图痕迹，不写作法

(1)如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．(2)如图，网格中的与为轴对称图形．①利用网格线作出与的对称轴；②在对称轴上找到一点P，使最短③如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为___________．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②见解析，③3【分析】（1）直接作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，进而得出其交点即可；（2）①利用网格特点作的垂直平分线即可；②根据最短路径，连接，与直线交点即为所求；③用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算的面积即可．【详解】（1）解：如图：即为所求．

作法：分别以，为圆心，大于的长为半径，画弧，两弧分别交于两点，连接这两点，以为圆心，适当长度为半径，在，上画弧，分别与，交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离为半径，画弧，交于一点，连接该点与点，两条直线交于点，即为所求．（2）①如图：直线即为所求；

理由：连接，则为网格内小正方形的对角线，故的垂直平分线也是网格内小正方形的对角线，即可得到．②如图，连接，与直线交点为，即为所求；

理由：∵与为轴对称图形，直线是对称轴；∴直线上任意一点到，和到的距离相等，∴，当，，三点共线时，又最小值，即，∴点为所求．③的面积．故答案为：3．【点睛】本题考查了画垂直平分线，画角平分线，轴对称图形，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．【一览众山小】1．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．求作：等腰，使得点C在射线上．

作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．作法二：如图2．①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；④作射线交射线于点C．作法三：如图3，①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是线段的______．∴（__________________）（填推理依据）．∴是等腰三角形．【答案】；；等角对等边；垂直平分线；线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是线段的垂直平分线．根据作图结合垂直平分线的性质，即可求解．【详解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．由作法二可知：，∴（等边对等角）∴是等腰三角形．由作法三可知；是线段的垂直平分线．∴（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）【点睛】本题考查了作线段，作一个角等于已知角，作垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．2．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，以的边、为边向外作等腰和等腰，．与交于．求证：是的平分线．【答案】见解析【分析】过点分别作，，垂足分别为，，证明，得到，进而得到，即可得证．【详解】证明：过点分别作，，垂足分别为，，∵和为等腰直角三角形，，∴，，，∴，∴，，∴，∴，∴平分．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的面积相等，以及到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．本题是手拉手全等模型，平时善于总结归纳，可以快速解题．3．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明结论即可；（2）作于，作于．由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可解决问题．【详解】（1）解：证明：，，即，在和中，，；（2）如图，作于，作于．由，，，，，点在平分线上，平分，即．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．4．（2023·安徽蚌埠·统考一模）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作，垂足为点，直线、相交于点．(1)如图所示，当点在线段延长线上时，求证：≌；(2)如图所示，当点在线段上时，连接，过点作于，于，求证：平分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证出，根据可证明；（2）证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出结论．【详解】（1）证明：，，，，，，在和中，，（2）证明：，，，，，在和中，，，，，，，平分【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022秋·七年级单元测试）已知：如图，、分别是的外角平分线，于点，于点，．求的度数．【答案】，见解析【分析】作于点D，根据角平分线的性质得到，得到，根据角平分线的判定定理证明即可．【详解】解：作于点D，如图所示，∵是的外角平分线，，，∴，同理，∴，又，，∴平分，∵，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．（2023秋·八年级课时练习）如图，和都是等腰直角三角形，．(1)求证：；(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）先说明，根据推出两三角形全等即可；（2）过点分别作于点，于点，根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线性质得出即可．【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：．证明：过点分别作于点，于点，∵，∴，，∴，∴，∵于点，于点，∴平分，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．证明三角形的全等是解题的关键．7．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；（2）证明，可得，可求出．【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．8．（2023·湖南永州·校考三模）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为多少度．

【答案】【分析】过点D分别作、、的三条垂线、、，利用角平分线的性质，然后再证明，，推出，再根据三角形内角和定理，即可作答．【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，，交的延长线于点F，于点G，如图，

对角线平分，，，，即，，，，即平分，，，，，，，，=，，，，即，，，，．【点睛】此题考查了角平分线的性质，三角形全等判定与性质和三角形内角和定理，熟练运用各个知识点进行综合推理是解题的关键．9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．

(1)求证：是的平分线；