2.4线段、角的对称性（一~二）（原卷版）

2.4线段、角的对称性（一~二）【推本溯源】1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O，把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分线∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，线段是图形；它得对称轴是和。2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．科网ZXXK]因此线段垂直平分线的性质定理几何语言：3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？因此线段垂直平分线的判定定理是几何语言：4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？作法：1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。2.过C、D两点作直线。直线CD就是线段AB的垂直平分线。6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？【解惑】例1：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（

）

A． B． C． D．例2：如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分．例3：如图：在中，点是的中点，点，分别在，边上，且．(1)猜想：（填上“”、“”或“”）；(2)证明你的猜想．例4：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点例5：已知：两条相交公路与形成的区域内部有两个居民小区，可近似的看作点D与点E．为了给居民提供便利，社区要在内部区域内选择一处地址修建快递柜，使选址点P到两个居民区和两条公路距离均相等．请用尺规作图法作出点P的位图，不写作法，但要保留作图痕迹．【摩拳擦掌】1．（2023春·广东河源·八年级校联考期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（

）A．中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．角平分线的交点 D．高线的交点2．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，在中，，点D为上一点．甲、乙两人按图中的作法，都得到了全等．下列判断错误的是（

）

甲通过作的垂直平分线得到点P、Q乙通过过点D作的平行线得到点P、Q甲证明全等的依据是 乙证明全等的依据是3.（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为（

）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm4．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）如图，中，是的垂直平分线，cm，的周长为13cm，的周长为______cm．5．（2021春·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为______．6．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．7．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；②在内，且到两条公路的距离相等．你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）8．（2023·广东汕头·校联考一模）如图，在中，．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点P，交于点Q．（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接，，，求的周长．9．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．(1)求证：；(2)求证：点在线段的垂直平分线上．【知不足】1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①2．（2021秋·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个3．（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm．4．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，，若，过点A作于点D，在上取一点，使，则＝______．5．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图中，，请依据尺规作图的作图痕迹计算_____．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．7．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，已知，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

(1)如图1，在边上确定一点，使得；(2)如图2，在正方形中，点为边上一点，在边上作出一点，使得的周长为线段的长．8．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．(1)求证：证明：延长到点E，使在和中∵（已作）（对顶角相等）____________（中点定义）∴（____________）(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是____________；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．(3)【问题解决】如下图，中，，，是的边上的中线，，，且，求的长．【一览众山小】1．（2023春·广东茂名·八年级统考期中）如图，等腰的底边的长为6，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为（

）

A．6 B．8 C．9 D．102．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是_______．3．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于__________线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则____．5．（2023春·七年级单元测试）如图所示，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系为_________．6．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使得的周长等于（保留作图痕迹，不写作法）7．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，两公路与相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）8．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：(1)求的长；(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．9．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，平分的外角，于点D，于点E，．(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；(2)求证：．10．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F.(1)求证：；(2)求证：；(3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离.11．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．(1)求证：是的平分线．(2)求证：线段垂直平分．12．（2022春·七年级单元测试）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F．(1)如图①请你添加一个条件，使，你添加的条件是______，并证明；(2)如图②，为的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，，垂足分别为E，F，这时，是否垂直于？(3)如图③，为的平分线，当点G在线段的延长线上运动时，其他条件不变，这时，是否垂直于？13．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．

14．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知在中，点D在边上，且．请用尺规作图法，在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）

15．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线