3.8 切线的判定（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.8切线的判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．下列命题中正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线【答案】D【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线逐项判断即可．【详解】解：A．割线与圆相交也有公共点，但不是圆的切线，故此选项不正确；B．符合切线的概念，而不是圆的直径，故此选项不正确；C．应该为经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故此选项不正确；D．符合圆的切线概念，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（）A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则【答案】A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．3．若O是ABC的内心，当时，（）A．130° B．160° C．100° D．110°【答案】A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵∴又∵O是ABC的内心∴OB、OC为角平分线，∴∴180°=180°-50°=130°故选：A．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．4．如图，内接于，过A点作直线，当（）时，直线与相切．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．【详解】解：当时，直线与相切．理由如下：作AF交圆O于F点，连接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF为直径，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直线DE与⊙O相切．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．5．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】B【分析】连接，由中点的性质可得到，利用垂径定理可证出，即可得出结论．【详解】解：连接∵为中点∴∴∴为小圆的切线故选：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键．6．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．二、填空题7．（2021·黑龙江富裕·九年级期末）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_____度时与⊙O相切．【答案】60或120【分析】由于半径是，因此只需要过O作旋转后的直线的垂线，只要保证旋转后的射线与BC的夹角是30度，则O与垂足的连线就是BO长的一半，即为圆的切线，由此即可得到答案．【详解】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D，∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°，∴，即OD为圆O的半径，∴BE与圆O相切，同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线，故答案为：60或120．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件．8．如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________．【答案】或【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．【详解】解：若添加BD=CD，理由如下：如图，连接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线；若添加AB=AC，理由如下：如图，连接AD，∵是的直径，∴∠ADB=90°，∴点D是BC的中点，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切线．故答案为：或【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．9．如图，为的直径，，当________时，直线与相切．【答案】1【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．【详解】解：当时，直线与相切，∴（cm），故答案为：1．【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．10．如图，中，，以为直径的交于E点，直线于F，则直线与的位置关系是________．【答案】相切【分析】连接，，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得为直角，利用垂直的定义可得垂直于，又，根据三线合一得到为的中点，又为直径的中点，可得为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行与第三边可得与平行，同时由与垂直，得到为直角，根据两直线平行内错角相等可得为直角，可得为圆的切线，得证．【详解】证明：连接，，为圆的直径，，，又，为的中点，又为直径的中点，为的中位线，，，又，，，则为圆的切线．故答案为：相切．【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，以及切线的判定定理，切线的判定定理是经过直径的外端点，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此定理是证明的关键．11．在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是______________________________．【答案】经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【详解】作PD⊥BC，如图所示：

∵BF平分∠ABC，∠A=90°

∴PA=PD，

∴PD是⊙P的半径，

∴D在⊙P上，

∴BC是⊙P的切线．故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．三、解答题12．（2022·吉林·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即，∴FG＝．【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，准确分析计算是解题的关键．13．（2021—2022广东惠阳九年级期中）如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OCAD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半径和线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）半径为4，【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出然后根据勾股定理计算出AH=，则HE=AE-AH=，再利用BE=BH-HE进行计算．【详解】解：（1）证明：连接OA，如图，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，∴OA⊥OC，∴AD∥OC，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，则AH=BH，∵OH•AE=•OE•OA，∴在Rt△AOH中，，∴∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求证：AB+BE＝AC．（3）若BE＝8，且BD：DC＝3：5，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）根据HL先证明Rt△BDE≌Rt△FDC，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB＝AF，即可得出AB＋BE＝AC；（3）设BD=3a，CD=5a，利用DE2=BE2+BD2求出a=2，故可求出BD=FD=6，DE=DC=10，CF=EB=8，BC=6+10=16,设AB=AF=x，在Rt△ABC中，利用AC2=AB2+BC2，求出AB的长，故可求出AD的长．【详解】解：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵∠ABD＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF则BD＝DF=r，∵DF⊥AC∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△FDC中，∵BD＝FD，DE＝DC，在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE＝FC．∵AB＝AF，∴AB＋BE＝AF＋FC，即AB＋BE＝AC；（3）∵BD：DC＝3：5，∴可设BD=3a，CD=5a∵Rt△BDE≌Rt△FDC∴DE=DC=5a∵DE2=BE2+BD2∴（5a）2=82+（3a）2解得a=2（-2舍去）∴BD=6=FD，DE=DC=10，CF=EB=8，BC=6+10=16设AB=AF=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（x+8）2=x2+162解得x=12∴AB=12故AD=．【点睛】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等，勾股定理的应用．15．如图，在中，，的平分线交于点，是的外接圆，交于点，圆心在上．（1）求证：是的切线；（2）过点作于点，求证：平分；（3）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OEBC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；（2）根据等角的余角相等即可证明；（3）连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．【详解】如图，连接．，，是圆的直径，，，平分，，，，，是的切线；，，，是是直径，，，，，平分．如图，连接．是的平分线，于，于，．，，，，≌，，【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线判定和性质以及角平分线的判定与性质等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解题关键是掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线判定和性质以及角平分线的判定与性质．16．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD=∠DEB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：CE=EP；（3）若CG=12，AC=15，求四边形CFPE的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形CFPE的面积为45．【分析】（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED=90°，∠OED=∠ADE，由余角的