中考数学难点突破 直角三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

专题25直角三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

解直角三角形的动点问题，一般分三步走

第一步寻找分类标准，

第二步列方程，

第三步解方程并验根.

特点一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直

角三角形，这样列比例方程比较简便.

结论直角三角形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

1.如图，M,A,N是直线/上的三点，AM=3AN=5,P是直线/外一点，且NPW=60°,A—1,若动点

。从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是

()

~■—!P—,—/

MAN

A.直角三角形-等边三角形-直角三角形-等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等边三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形-等边三角形-直角三角形

【答案】D

【分析】根据NPAN=60o,AH,按照。在线段40和线段AN匕进行分类讨论即可.

【详解】解：：/尸4汽=60。,”=1,

，ZPAM=180°-60°=120。，

①当。在线段AM上，只能形成等腰三角形，当AQ=AP=1时，△APQ为等腰三角形;

②当。在线段AN上时，N4QP逐渐减小，

当NAQP=90。时，△APQ为直角三角形，此时NAPQ=3（T,AQ=JAP=；；

当NAQP=60。时，为等边三角形，此时AQ=AP=1；

当NAQP=30。时，•.•//VW=60。，,NAPQ=90°,••.△APQ为直角三角形，止匕时

PQ=2AP=2,AQ=y）PQ2-AP2=>/3;

.•.△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等边三角形-直角三

角形；

故选D.

【点睛】本题考查特殊三角形的判定.熟练掌握等腰三角形、直角三角形和等边三角形的判定方法是解题

的关键.

二、填空题

2.如图，中，ZACB=90°,ZABC-60°,BC=2cm,3为的中点，若动点E以lcm/s的速

度从A点出发，沿着Af3fA的方向运动，设£点的运动时间为f秒（0Vf<6）,连接OE,当MDE是

直角三角形时，r的值为.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出A8的长，再分①NBOE=90。时，QE是AABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E

在AB上和在84上两种情况列出方程求解即可；②/BE〃=90。时，含30度角的直角三角形的性质，勾股

定理求出BE,然后分点E在A8上和在BA上两种情况列出方程求解即可.

【详解】解:vZACB=90°,NA8C=60。，BC=2cm,

AZA=30°,AB=2BC=4(cm),

①N3DE=90。时，

■:4=60。,

NDE3=30。，

EB=2DB=BC=2

；.AE=AB-BE=2(cm),

点£■在48上时，f=2+l=2(秒)，

点E在BA上时，点E运动的路程为4x2-2=6(cm),

.'.r=6+l=6(秒)；

②/8E£)=90°时，BE=-BD=-BC=0.5(cm),

24

点E在45上时，t=(4-0.5)+1=3.5(秒)，

点E在84上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5(cm),

f=4.5+l=4.5(秒)，

V0<?<6

综上所述，，的值为2或3.5或4.5或6,

故答案为：2或3.5或4.5或6.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.

3.如图，在RAABC中，/C=9()?,AC=12,BC=10,。是3c的中点，E是AC上一动点，将△C£>E沿

折叠到△(?'£>£，连接AC',当AEC是直角三角形时，CE的长为.

【答案】号或5

【分析】分两种情况进行分类讨论：①当NA£C=90?时，求CE的长：②当NACE=9O。时，求CE的长.

【详解】解：①如图1,当』AEC=90?时，ZCED=ZC'ED=45°,

ZC=90°,

NCDE=NCED=45°,

Q8C=10,。是3c的中点,

:.CD=CE=5.

图1

②如图2,当NAC'E=90。时，由折叠性质知/DCE=NC=90。,

NDCE+ZAC'E=\80°,

・•.DC',A三点共线.

CD=DB=5AC=12,

...在RrAACO中，AD=>/52+122=13-

设CE=C'E=x,

/.AE=12—x,

在RtAAC'E中，炉+(13—5C=(12_x)2,

综上所述，CE的长为：5或5.

【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考问题是解题的

关键.

4.已知：如图，正方形A3CO中，AB=2,AC,80相交于点0,E,尸分别为边BC,C。上的动点（点

E,F不与线段8C,8的端点重合）.且BE=CF,连接OE,OF,EF.在点£,尸运动的过程中，有下

列四个说法：

AD

①/\OEF是等腰直角三角形；

②△OEF面积的最小值是:；

③至少存在一个_比户，使得二ECF的周长是2+行；

④四边形OEC尸的面积是1.

其中正确结论的序号有.

【答案】①②④

【分析】证明VCOE@/£3,可得OE=OF,?COE?DOF,可得到①；再由当OE_L8C时，0E最小,

此时OE=。尸=：8C=1,可得△OER面积的最小值是：，可得到②正确：设CE=x,则8E=CF=2—x,

根据勾股定理可得E尸=j2（x-lp+2,从而得到应MEF<2，得③错误；再根据VCOE@VZ）OE,可得

S四边形OECF=S^COE+S&OCF=,正方形ABCD，可得④正确；即可求解•

【详解】解：•・•四边形ABC。是正方形，

・,.BC=CD,?OCB?ODC45?,OCOD,ZDOC=90°,

•:BE=CF,

・•・CE=DF,

：.7COE@DOF,

：,OE=OF,?COE?DOF,

/.?EOF?COE2cOF?DOF2cOF1DOC90?,

.••△O跖是等腰直角三角形，故①正确；

当OE_LBC时，OE最小，此时OE=O尸=3BC=1,

.♦.△OE尸面积的最小值是goE-OF=g,故②正确；

,:BE=CF,

CE+CF=BE+CE=BC=2,

设CE=x,则B£=CF=2-x,

二EF=次+（2_力2=^2（X-1）2+2,

二一改万的周长是所+。£：+3=£尸+2,

0<r<2,

•,^2VEF<2»

***E7^+2V4

・♦・不存在一个二EC尸，使得eECF的周长是2+石，故③错误；

,/YCOE须DOF,

四边形=

,•SOECFS&COE+SA0cF=+SMB,:=SAO/X.=；s正方脐88=；x2X2=1,故④正确；

故答案为：①②④

【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰

直角三角形的性质.注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键.

5.如图，在心AABC中，/A=90。，A8=4g,AC=4,点。是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE

所在直线把△8CE翻折到△夕QE的位置，夕。交边BC于点尸，若△CBF为直角三角形，则C9的长为.

------------

【答案】2⑺或4##4或2s

【分析】当4C£F为直角三角形时，需要分类讨论，点C,夕，尸分别为直角顶点时，画出图形求解即可.

【详解】解：在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=46,AC=4,点。是A8的中点，

；.BC=8,ZB=30°,AD=BD=26,

由折叠可知，RD=B'D=2y/3,

：.AD=BD=B'D=2百

①由点运动可知点C不可能是直角顶点；

②如图，当点尸为直角顶点，即NCF8'=90。，

c

B'

F7'<E

/I--------------卜二*・B

:.力FB=NCFB=90。,

：.DF=^BD=y/3,BF=+DF=3,

B'F=^3,CF=5,

CB1=J(扬2+5?=2x/7;

③如图，当点夕是直角顶点时，即NCB/=90。，连接C。,

在RtZXACD与RtA硼⑺中，

[CD=CD

[AD^B'D

二RtAACD=Rt△B'CD(HL),

.-.CB,=C4=4,

故答案为：26或4.

【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，已知NB=45。，AB=2cm,点P为NABC的边8c上一动点，则当8产=cm时，4BAP

为直角三角形.

【分析】由于直角顶点不能确定，故应分NAP8=90。与N8AP=90。两种情况进行分类讨论.

【详解】解：①当乙4尸3=90。时，

VZB=45°,AH=2cm,

BPi=APi,

Z.BP^+AP^AB2^,

/.Bk=2；

②当/84尸=90。时，

VZB=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=2,

：.BP^AB^AP^S.

故本题答案为：2或8.

【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.

7.如图，长方形A3C7）中，ZD4B=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,AB=CD=3.E为边BC上的一

个动点，将A4BE沿AE折叠，使点8落在3'处.

A题：当NE"C=90。时，EC的长为.

B题：当.EB'C为直角三角形时EC的长为.

【答案】||■或者1

【分析题：设BE=x,则EB'=x,根据矩形折叠性质易得B、ZXE三点共线，由勾股定理求出AC的

长度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到EC的长度；

8题：找出直角三角形，再根据勾股定理分情况求解即可.

【详解】解：A题：设8E=x，则EB'=x,

由折叠的性质可得NAB'E=NB=90,

•；NEB，C=90,

:•B、ZXE三点共线，

根据勾股定理得，AC=>]AB2+BC-=5,

?.B^=AC-BC=2,

EC2=EB'2+B'C2，

：.（4-X）2=X2+22,

3

解得：x3，

8题：当NE9C=90，EC=|;

当？5/C90,如图所示

B恰好落在AD上，BE=3,则EC=BC-BE=1,

故答案为：：；;或1.

22

【点睛】此题考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和勾股定理.

8.如图，4ABC、△ACE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4,F是。E的中点，若点E

是直线8c上的动点，连接8兄则BF的最小值是.

A

D

【答案】2

【分析】由AABC、AAOE都是等腰直角三角形，可得出：△ABCs/XAQE,根据相似三角形的性质得到

ZADE=ZABE,推出点A,D,B,E四点共圆，得到/O8E=90。，根据直角三角形的性质得到B尸=gDE,

当QE最小时，的值最小，QE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：如图，

VAABC,△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4

.ABAD[—AD(

..——=——=1,4C=48=4

ACAE

:.NADE=NABE,

...点A,D,B,E四点共圆,

■:ND4E=90°,

:.ZDBE=90°,

•尸是。£的中点，

BF=-DE,

2

.•.当OE最小时，8尸的值最小，

,若点E是直线8c上的动点，

二当AEJ_8c时，AE最小，此时，OE最小,

VZB4C=90°,AB=4,AC=4,

BC=4夜，

AB-AC4x4rr

AE=-----------=—产=2,

BC40

.ACBC

"AE-DE(

.44夜

"U2~~DE'

：.DE=4,

：.BF=2,

的最小值是2.

故答案为:2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，四点共圆，直角三角形的性质，确定

出当OE最小时，B尸的值最小是解题的关键.

9.如图，等边的边长是2,点。是线段8c上一动点，连接A。，点E是AD的中点，将线段绕

点。顺时针旋转60。得到线段。F,连接FC,当CDF是直角三角形时，则线段8。的长度为.

【分析】aCD尸是直角三角形分三种情况讨论：①当WC=90。时，当点尸在AC上时，根据等边三角形

的性质得/包心=180。-/£/。-/。=30。，根据旋转的性质得。尸=gAD,根据等腰三角形三线合一，得

BD=-BC=\.②NDCF=90。延长DF到G使DG=D4,连接AG、CG,过G作G"J_5c交BC延长线于

2

H,根据相全等三角形的判定得△ABD丝oACG,即CG=2C〃，设CH=x,则CG=5D=2x,由旋转性

质得出DF=\DG,再由相似三角形的判定得出dDCFs/XDHG,再由相似的性质得出g£=空=(，即

2DHDG2

4

BD=-:③当NC£>F=90°时，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180°,NCDP=90°不成立.

【详解】解：①当ZDFC=90°时,

当点尸在AC上时，

..ABC是等边三角形且边长为2,

/.AB=AC=BC=2,ZC=60°,

・•.ZFDC=180O-ZDFC-ZC=30°,

・瓦旋转60。得到线段。尸，

/.ZEDF=60°,

.・.ZADC=NEDF+Z.FDC=90°,

/.ZZMC=18O°-ZAZX?-ZC=3O°,

/.DF=-ADf

E是A。的中点,

DE——/\D,

2

：,DE=DF，

即A£>13C时，ZDFC=90°,

:.BD=-BC=\-

2

②NOCF=90。，如图，

延长DF到G使Z)G=D4,

连接AG、CG,

过G作GH_L8C交BC延长线于〃，

AD=DG.ZADG=60°,

4)G是等边三角形，

/.ZZMG=60°,AD=AG,

.A3。是等边三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZB=ZACB=6O°t

:.ZBAC=ZDAG,

・•.ZBAC-ADAC=ZDAG-ZDAC,

即ZBAD=ZCAG,

在△A5O和：ACG中，

AB=AC

<NBA。=ZCAG,

AD=AG

.^ABD^^ACGCSAS),

:.BD=CG,N5=ZACG=60。，

NGCH=180°-ZACB-ZACG=60°,

GHIBC,

:.ZH=90°,

/.ZCGH=30°,

.\CG=2CH,

设CH=x,则CG=BD=2x,

E是A£>中点，

:.DE=-AD,

2

由旋转性质可知=

AD=DG,

DF=-DG

2f

NDCF=9O0=NH,NCDF=/HDG,

:「DCFs4DHG,

.DCDF1

'~DH~~DG~2f

DC=-DH,

2

：.DC=CH=X,

BD+DC=2,

2x+x=2,

2

③当N8F=90。时，

QZAZ)F=60°,ZADB>ZACB=6Q°,

：.ZADF+NCDF+ZADB=210°>180°,

.•.NCDF=90°不成立，

4

综上，8£)=1或§；

4

故答案为：1或:.

【点睛】本题考查等边三角形中动点的旋转问题.通过旋转构造另外的等边三角形以及全等手拉手模型，

本题考查的知识较为综合，难度较大，通过分类讨论确定动点的位置，熟记旋转的性质、等边三角形的判

定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键.

10.已知任意直角三角形的两直角边和斜边c之间存在关系式:次+人力.如图，在△A8C中，NBAC=90。，

AB=AC,点。在8C上，BD=3,CD=4,以为一边作△AOE,使/D4E=90。，AD=AE.若点M是DE上

一个动点，则线段CM长的最小值为.

【分析】连接CE,过点C作CHLOE于点儿首先证明.54。丝.，.C4E,可推导CE=M=3,ZACE=NB,

再证明NECD=90。，在应中，由勾股定理计算上=江西涛=5，然后借助三角形面积求出

12

CH=(,根据“垂线段最短”可知，当CMJ_DE,即例、〃重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答

案.

【详解】解：连接CE,过点。作于点儿如卜.图，

BDC

,/ABAC=ZDAE=90°,即ZBAD+ADAC=ZDAC+ZCAE,

:.ZBAD=ZCAE,

\*AB=AC9AD=AE9

：.ABAD丝/XCAE(SAS),

:・CE=BD=3,ZACE=NB,

*/ZBAC=90°,

・♦.ZB+ZACB=180°-ZB/AC=90°,

AZACE+ZACB=ZB+Z4CB=90°,即NECD=90。，

・♦•在用△COE中，DE=dCE2+Clf=X2。=5,

\*CHA.DE,

：.SvcDE=gcD.CE=；DE.CH,g|jlx4x3=-x5xC/7,

12

解得CH：?,

♦••点例是。E上一个动点，则当CM_L3£,即历、，重合时，线段CW的长取最小值，

此时CM=C”=(.

12

故答案为：-y.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是

解题关键.

三、解答题

11.已知：如图，在RtAABC中，NC=9()?,AB=5cm,AC=4cm,动点尸从点B出发沿射线3c以Icm/s

的速度移动，设运动的时间为f秒.

⑴求BC边的长；

(2)当为直角三角形时，求，的值;

(3)当八4放为等腰三角形时，求f的值.

【答案】(l)3cm

(2)3或方2S

⑶5或6或325

0

【分析】(1)利用勾股定理即可求出结论；

(2)由题意可得：BC=tcm,N3W90。，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识

即可解答；

(3)当△/$产为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、

勾股定理等知识即可解答.

(1)

解：：在用A8C中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

BC=yjytg2-AC2=3cm-

(2)

解：BC=tcm,ZB^90°

当NAP3=90。时，点尸与点C重合，

BP=BC,

即f=3；

当NPAB=90。时，如下图所示：

CP=BP-BC=(t-3)cm.

AC2+CP2=A/5?=BP?-AB2，

，42+(r-3)2=r2-52,

解得：，=三.

综上：当八48尸为直角三角形时，/=3或胃;

(3)

解：当A5=AP时，如下图所示：

BP=2BC,

即，=2*3=6.

当A3=BP时，如下图所示:

/.t=5；

当AP=BP时，如下图所示:

则CP=8C-8P=（3-f）cm,AP=BP=t,

在R/.APCU」，AC^+C尸=A"，

即42+（3-/）2=产,

25

解得：

6

综上：当&W尸为轴对称图形时，r=5或6或325.

6

【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关

键.

12.如图，在矩形4BCO中，设AD=b,且a>6.

AB

⑴若a,6为方程--h+%+4=0的两根，且80=2m，求k的值.

(2)在(1)的条件下，尸为8上一点(异于C、D两点),P在什么位置时，与尸8为直角三角形？

(3)P为CD上一动点(异于C、。两点)，当a,匕满足什么条件时，使△神为直角三角形的P点有且只有一

个？请直接写出々匕满足的数量关系.

【答案】(l)k=8

(2)P在(3+百)或(3-括)位置时，A4PB为直角三角形

(3)a=2b

【分析】(1)根据矩形性质求出的一AD3斜边与两直角边的关系，根据两直角边又是一元二次方程的解，由

此即可求解；

(2)在矩形中，为直角三角形，则可找出根据对应边的比相等，即可求解；

(3)求唯一值，可以根据一元二次方程的判别式△=()来判断，主要是找出矩形的两直角边与点尸的数量关

系，由此即可求解.

(1)

解：；8£>=2jid且是矩形ABC。的对角线，在自一458中，AB=a,AD=b,

BD=V«2+b2=2M，a2+b2=(a+b)2-2a6=40，

♦••a,b为方程Y-依+%+4=0的两根，根据韦达定理得，

/.a+h=-(-k)=k,ab=k+4,

・・・公―2伏+4)=40,解一元二次不等式得，

人=一6,攵2=8.

当々=-6时，原方程得d+6x-2=0,贝卜=口役也不符合题意，故舍去;

2

当k=8时，原方程得X2-8X+12=0,则二士正8）2宅二型,

22

：.a=6,b=2,符合题意,

故答案是：k=8.

(2)

解：根据（1）得，a=6,b=2,如图所示,

设OP=x,则CP=6-x,

若△4P8为直角三角形，在矩形ABCD41,Rt.CBP~Rt.DPA,

••・g=二，即J-=］，解分式方程得，用=3+石，飞=3—石，

CPDA6-x2

：.P在（3+0）或（3-石）位置时，AAPZJ为直角三角形.

(3)

解：根据题意

设储尸=加，则CP=a-x,

若△AP8为直角三角形，在矩形A8CO中，Rt.CBP~Rt.DPA,

即上=?，＞-的+匕24

CPDAa-mb

P点有且只有一个,

A(-a)2-4/r=0,即心心，

：・a=2b,

故答案是：a=2b,

【点睛】本题主要考查的矩形的性质，相似三角形的运用，理解和掌握矩形的性质，相似三角形的性质是

解题的关键.

13.如图，△A8C是边长是12cm的等边三角形，动点尸，。同时从A,B两点出发，分别沿A8,BC方向

匀速移动，其中点P运动的速度是Icm/s,点。运动的速度是2cm/s,当点。到达点C时，P、Q两点都停

止运动，设运动时间为f(s),解答下列问题：

(1)当点。到达点C时，PQ与A3的位置关系如何？请说明理由.

(2)在点P与点。的运动过程中，VBP。是否能成为等边三角形？若能，请求出r,若不能，请说明理由.

(3)则当，为何值时，VBPQ是直角三角形？

【答案】(1)PQ与垂直，见解析

(2)能，4

(3)f=2.4秒或f=6秒

【分析】(1)根据题意求出的的长度，则可知点P为AB的中点，根据等边三角形的性质即可得出答案;

(2)若VBPQ是等边三角形，则BP=PQ=BQ,列出相应方程求解即可；

(3)分两种情况进行讨论：当NBQP=90?时；当NBPQ=90。时.

(1)

当点Q到达点C时，尸。与A8垂直，

理由如下：

；AB=AC=BC=12cm,

当点。到达点C时，可得AP=6cm,

.••点P为AB的中点，

PQ1AB-.

(2)

假设在点尸与点。的运动过程中，7BPQ能成为等边三角形,

:.BP=PQ=BQ,

•*.12-t=2t,解得t=4,

・・・当，=4时，V3PQ是等边三角形;

(3)

根据题意得=BQ=2t,

：.BP=\2—t,

当N3QP=90?时，

•・•NP8Q=60?,

,/4BP。=30。，

BQ=^BP,即2f=g(12_),解得r=2.4秒；

当N8PQ=90。时，同理可得12T='x2r,解得f=6秒，

2

.•.当7=2.4秒或f=6秒，V8PQ是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了含30°的直角三角形，等边三角形的性质，几何动点问题，读懂

题意，根据题意列出相应的方程是解本题的关键.

14.已知△ABC是等边三角形，AOLBC于点。，点E是直线AO上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转

60°得到8尺连接EF、CF、AF.

⑴如图1,当点£在线段4。上时，猜想NAPC和N/=XC的数量关系；(直接写出结果)

(2)如图2,当点E在线段A。的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立,

请写出你的结论，并证明你的结论：

(3)点E在直线AO上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出/E8C的度数.

【答案］⑴证明见解析

(2)成立，理由见解析

(3)15。或75。

【分析】(1)山旋转的性质可得/E8b=60。，由“SAS”可证ABE丝CBF,可得/BAE=/BCF=30。，

由直角三角形的性质可得结论；

(2)由旋转的性质可得8七=3凡ZEBF=60°,由“SAS”可证工ABE会1c防，可得N8AE=N3。尸=30。，由

直角三角形的性质可得结论；

(3)由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得48=AE,再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求

解.

(1)

解：NAR7+/E4c=90?,理山如下：

•••△A8C是等边三角形，

：.AB=AC=BCtZABC=ZBAC=ZACB=60°,

'：AB=ACfAD1BC,

・・・ZBAD=30°,

:将3E绕点B顺时针方向旋转60。得到BF,

：.BE=BFfZEBF=60°,

：.NEBF=NABC,

：.ZABE=ZFBCf且AB=BC,BE=BF,

：・LABE—CBF(SAS)

・・・NBAE=/BCF=30。,

・♦・N4c尸=9()。，

；・ZAFC+ZMC=90°；

(2)

(1)的结论仍然成立，理由如下：

,.•△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BCfZABC=ZBAC=ZACB=60°,

9：AB=AC,AD±BC,

：.ZBAD=30°,

•.•将3E绕点3顺时针方向旋转60。得到BF,

:・BE=BF,ZEBF=60°f

：./EBF=NABC,

:,/ABE二/FBC,KAB=BC9BE二BF,

:•一AB®一CBF(SAS)

；・NBAE二NBCF=30。,

・・・ZACF=90°,

・・・ZAFC+ZMC=90°；

•••△Ab是等腰直角三角形,

:・AC=CF,

,:△ABE^ACBF,

：.CF=AE,

:・AC=AE=AB,

.•“密咽:墓?，

2

NEBC=/ABE-NABC=15?,

如图，当点E在点A上方时，

同理可得：/8AQ=30?43=AC=AE,

二NABE=15?,

：.ZEBC=15°.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性

质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

15.如图，在三角形43C中，AB=3,BC=3也,AC=6,点。是AC上一个动点，过点。作。口L8C于

点尸，过点尸作尸£〃AC,交AB于点£

(1)当四边形AOFE为菱形时，则NAE£>=.

(2)当△£>£尸为直角三角形时，则C£)=.

【答案】60°3或4.8

【分析】(1)根据勾股定理逆定理可得NABgO?,利用菱形的性质即可得出答案：

(2)利用分类讨论结合①当“密口0。时.②当NEDE=90。时，③当NDEQ90。时，分别分析得出符合

题意的答案.

【详解】解：(1)；4B=3,BC=3&AC=6，

•；32+(3A/3)2=36=6"

二AB2+BC2^AC2,

/.ZABC=^P.,

：.ZC=30°,ZA=60°,

FE//AC,

：.NBEF=/A=60?,

•••四边形4。尸E为菱形，

Z.ZAEF=1800-60o=120°,

ZAED=-ZAEF=60°.

2

故答案为：60?；

(2)①当NDEE=90。时.

VFE//AC,ZC=30°,

・•・ZEFB=ZC=30°,

・♦.ZDFE=l80°-90°-30°=60°90°,

・,,这种情况不存在；

②当N&)£=90。时，如图2,

图2

*：DF1.BC,ZB=90°,

：./DFC=/B=90°,

:，DF//AB,

丁EF//AC,

・・・四边形AEFD为平行四边形,

AE=DF=-CD,

2

NDFC=NFDE=90?,

:.DE〃BC,

：.ZADE=ZC=30°,ZAED=ZB=90°.

在R/AADE中，ZAED=90°,ZADE=30°,

AAE=^AD=^(6-CD),

即;所;(6-CO),

解得：CD=3,

③当/£>£尸=90。时，如图3,

A

图3

VEF//AC,ZC=30°,

JZEFB=ZC=30°,

,/ZDFC=90°,

:.ZDFE=60°,

,//DEF=90。,

・・・NFDE=30。,

ZB=90°,

・・・ZFEB=60°,

*/ZDEF=90°,

・・・ZAED=30°,

/.ZA£)E=90°,ZAED=ZFDE=30°,

:.FD//AE,

・♦・四边形AEFD为平行四边形，

:.AE=DF=-CD,

2

在R&QE中，

ZADE=900,ZAED=30°.

：.AD=-AE,

2

^6-CD=-x-CD,

22

解得：CD=4.8.

综上所述，当△尸石。是直角三角形时，CD的值为3或4.8.

故答案为:3或4.8.

【点睛】本题考查三角形和平行四边形综合应用.熟练掌握直角三角形的判定和含30。的直角三角形的性

质，以及平行四边形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键.

16.如图，矩形0A8C顶点8的坐标为(8,3),定点。的坐标为(12,0),动点P从点O出发，以每秒2个

单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点。从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方

向匀速运动，P、。两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角

形PQR,设运动时间为f秒，△PQR和矩形O48C重叠部分的面积为S.

⑴当/=时，△PQR的边QR经过点B

(2)求S关于，的函数关系式，并写出/的取值范围.

【答案】⑴1

39

y-6r(0<r<1)?

1,

⑵5="--z2-5r+19(l<r<2)

7,

-z2-14r+28(2<?<4)

【分析】(1)当点5在QR上时，根据AAB。是等腰直角二角形求出AQ的长度，进而求出0Q的长度，

从而得出结果.

(2)由点P和点。的运动情况可知，-PRQ和矩形04BC的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特

点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可.

(1)

解：PRQ为等腰直角三角形

ZRQA=45°

•••四边形OA8C为矩形

...当QR经过点8时，△AB。为等腰直角三角形

•点B的坐标为(8,3),点。的坐标为(12,0)

AAQ=AB=3,OQ=OA+AQ=8+3=11

00-0。=12-11=1

此时，运动时间r="l=l

(2)

解：①当04Y1时，

如图，设网交BC于点G,过点尸作于点H

则C〃=OP=2r,GH=PH=3

*•S=S梯形ABGP=S矩形OABC_S梯形O?GC

②当l<r«2时，

如图，设PR交8c于点G,RQ交BC、4B丁点S、T,

则AT=A2=4-f,BS=BT=3-(4-t)=t-\

••5=5^,2480_SBST

=--6r-i(r-l)2

22

1

=—1~?—5t+19.

2

③当2a«4时，

如图，设HQ与A8交于点八则AT=AQ=4T,

PQ=12-3f,PR=RQ=M(12-3f).

S=SgQR-S&AQT

1,17

--(12-3Z)2--(4-Z)2

7、

=-r-14z+28

4

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、函数与图像、矩形的性质；其中根据图像的变化情况对重合部分

的面积进行分类讨论是解决此题的关键.

17.如图，在二A8C中，AB=A,3c=6,尸是BC边上一动点，=/3=60。，过A点作射线A/〃8C,

备用图

(1)求AC的长；

(2)求证：AP1^BPAD-,

(3)连接C£>,若；AC。为直角三角形，求BP的长.

【答案】(I)AC=2J7

(2)证明见解析

(3)满足条件的PB的长为4或吐巨

2

【分析】(1)如图1中，作A〃_LBC于〃，根据含30。的直角三角形的性质求出8”、AH,再利用勾股定理

求出AC即可；

(2)证明a/WP〜即可证明；

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

(1)

如图1中，作于”，

图1

在Rt4?”中，

,.N8=60°,AB=4,

：.BH=^AB=2,AH=&H=2日

CH=BC-BH=6-2=4

在Rt一AC”中，AC=>jAH2+CH2=42厨+U=2币,

(2)

图2

AM//BC,

：.NDAP=/APB,

NAPD=NABP/)°,

AABP-DPA.

.PAPB

••=~~，

DAPA

AP-^BPTAD-,

(3)

①如图3中，当NAPC=90。时，作A〃_LBC于，，连接C£>,

图3

二四边形是矩形,

在Rt_A3〃中,

AB=4,4=60°,-4/78=90。,

二4AH=30。，

ABH=^AB=2,AH=2y/3

"BC=6,

二CH=4,

•四边形是矩形，

AD=CH=4,

,:AP2=BP1AD，

‘Ap2=4BP，

又：AP2=AH2+PH2=12+(PB-2y,

二4尸3=12+(PB-2「

解得PB=4；

如图4中，当_ZAC£>=90。时，作A//L8C于”，CG_LA£)于G,连接CZ),

则有B，=2,CH=4,AH=2拒

图4

丁/ACD=90。，/AGC=90。，

/.XADC+XDAC=90°fND4C+/ACG=90。，

・・・ZADC=ZACG,

:・，CGA~__DGC,

.CGGA

..-----=-----,

DGCG

:.CG2=GA?DG，

/.12=42DG,

，DG=3,AD=7,

222

・；PA?=BPAD,PA=AH+PH9PH=BH—BP,

・・・7BP=12+(2-

解得P8二I1一病或尸8="十灼(舍去)，

22

.••满足条件的PB的长为4或I1一质.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、含30。的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是

灵活运用所学的知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角二角形解决问题.

18.矩形ABCD的边A8在x轴上，点C、D在第一象限，且4)=3,AB=4,点4的坐标为(2,0),如图(1).

(2)过点A的直线I与矩形ABCD的一条边交于点E,如果直线I把矩形A8C£)分成两部分图形的面积比为

1:2,求直线，的解析式；

(3)尸是线段C。上动点，DP=m,连接尸3,以尸B为直角边在心的逆时针方向作等腰直角三角形PBQ,且

PB=PQ,NBPQ=9Q°,如图(2).

①求出点。的坐标(用含，〃的式子表示)；②连接。。，当线段。。的长度最短时，求机的值；

【答案】(1)(6,3)；

991

(2)y=-x--^y=-x-l；

(3)°(机+5,7—〃。，m=l.

【分析】(1)求出。8和3c的值即可求出点C的坐标.

(2)分类讨论，当点E在CO上和当点E在2c上时，两种情况，求出点E坐标，利用矩映88即

可求出点E的坐标，再由4、E两点确定直线表达式.

(3)添加辅助线，构造“三垂直”全等，表示VP=BN=4-m,即可表示点。的坐标；再用配方法确定当发

最小时，m=l.

(1)

解：由题意知:

08=2+4=6,BC=AD=3,

C(6,3)；

(2)

如图:

贝ijOE=〃—2,

由题意得:

SgDE=§S矩形ASCD»

即LOE・A0='X12,

23

设直线/的表达式为:y=k1x+b1

3=—k,+b.

则：311,

0=2k]+”

I1

,18

h9，

，产工_2,

84

②当点E在BC上时,如图：

]

卜0|----------lc

Ci^AB

设：E(6,a),

则5E=a,

由题意得：

SgBE=2S矩形ABC。»

B|J-ABBE=-xl2,

23

—x46?=4,

2

:.a=2,

E(6,2),

设直线/的表达式为:y=k2x+h2,

2=6kz+b2

0=2&2+b、

.•・「2

A=-i

ii

y=-x-l,

2

991

综上可知直线/的表达式为：y=-x-^y=-x-l；

o42

(3)

①如图作PNJ_A8,交AB于点、N,作。垂足为点M,

・・・N1+N3=9O,Zl+Z2=90,

.\Z3=Z2,

在AQMP与,PNB中,

/QMP=/PNB

«Z3=Z2,

PQ=PB

QMP=..PNB

:.MQ=PN=3,

DP=m,

：.MP=BN=4—m,

「.Q(m+5,7-〃2),

@OQ=J(W+5)2+(7_〃?)2=yj2m2-4m+74=j2(m-l)2+722屈=6五，

当。。最小时,m=\.

【点睛】本题主要考查了利用几何图形求点的坐标，确定一次函数表达式，三角形全等转化线段，二次函

数求最值，转化思想和添加合适的辅助线是解题的关键.

19.问题的提出：如果点尸是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离

之和PA+PB+PC的值为最小？

⑴问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60。得到△APC,连接P产，这样就把确定以+PB+PC

的最小值的问题转化成确定8P+PP+PC'的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示

意图，并证明：PA+PB+PC=BP+PP+PC；

图1

(2)问题的解决：当点P到锐角AABC的三顶点的距离之和以+PB+PC的值为最小时，贝IJ/AP8的度数是

,NAPC的度数是；

⑶问题的延伸：如图2是有一个锐角为30。的直角三角形，如果斜边为2,点P是这个三角形内一动点，请

你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

图2

【答案】(1)画图见解析：证明见解析

(2)120°；120°

【分析】(1)问题的转化：根据旋转的性质证明A4P尸是等边二角形，则以=尸产，可得结论；

(2)问题的解决：运用类比的思想，把△近绕点A逆时针旋转60。得到八4尸。，连接PP,由“问题的

转化”可知：当B,P,9,C'在同•直线上时，R4+P8+PC的值为最小，当满足NAP3=NAPC=120。时，满

足三点共线；

(3)问题的延伸：如图3,作辅助线，构建直角△ABC',利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角

形各顶点的距离之和的最小值.

(1)

解：如图1,

图1

由旋转可知，/P4P=60。，PA=PA,

△APP是等边三角形,

:.PA=PP,

PC=P'C,

：.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C；

(2)

满足NAP8=NAPC=120。时，以+P8+PC的值为最小，理由如下:

图2

如图2,把△APC绕点A逆时针旋转60。得到△月产C,连接PP，由“问题的转化”可知:

当B,P,产,C'在同一直线上时，B4+P8+PC的值最小.

由旋转可知，ZPAP,=60°,PA^P'A,ZAPC=ZAP'C'

二△APP'是等边三角形，

二ZAPP=ZAP,P=M0,

：.ZAPB=1800-ZAPP=120°,ZAPC=ZAPC=180°-ZAP1P=120°,

故答案为：ZAPS=120°,ZAPC=120°；

(3)

如图3,

A

图3

在Rt&WC中,

:AB=2，2ABC=30?,

,•AC=1,BC-\lAB2—AC2-6'

把△8PC绕点B逆时针旋转60。得到ABPC,连接PP.

由旋转可得，BP=BP,NPBP=60。,