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试卷第=page11页,共=sectionpages33页江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.若在区间上单调递增,则实数a的最大值为(
)A. B. C. D.π2.加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有(
)种加工方法.A.24 B.32 C.48 D.643.某校安排5名同学去A,B,C,D四个爱国主义教育基地学习,每人去一个基地,每个基地至少安排一人,则甲同学被安排到A基地的排法总数为(
)A.24 B.36 C.60 D.2404.的展开式中,含的系数为(
)A.51 B.8 C.9 D.105.的展开式中的常数项为(
)A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是(
)A. B.C.或 D.或7.已知直线是圆在点处的切线,则直线的方程为(
)A. B. C. D.8.双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍,则双曲线的标准方程为(
)A. B.C. D.二、多选题9.已知直线,,则(
)A.直线m恒过点 B.若,则C.若m⊥n,则 D.当时,直线n不经过第三象限10.已知圆,则下列说法正确的是(
)A.圆的半径为B.圆截轴所得的弦长为C.圆上的点到直线的最小距离为D.圆与圆相离11.已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线C交于M,N两点,且,,则的取值可以为(
)A. B. C.2 D.312.已知双曲线)的左,右两个顶点分别是,左、右两个焦点分别是,是双曲线上异于的一点,给出下列结论,其中正确的是(
)A.存在点,使B.存在点,使得直线的斜率的绝对值之和C.使得应为等腰三角形的点有且仅有四个D.若,则三、填空题13.若,则x的可能的值是.14.已知是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P满足,则△的面积是.15.双曲线C:(,)的焦点为、,P在双曲线右支上,且,为C的渐近线方程,若的面积为,则双曲线C的焦距长为.16.设抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点,若,则直线的方程为.四、解答题17.已知直线l过点A(﹣3,1),且与直线4x﹣3y+t=0垂直.(1)求直线l的一般式方程;(2)若直线l与圆C:x2+y2=m相交于点P,Q,且|PQ|=8,求圆C的方程.18.(1)已知点在圆上运动,定点,点为线段的中点,求点的轨迹方程;(2)已知两定点,动点满足,求点的轨迹方程.19.如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.20.已知抛物线,其中,过B的直线l交抛物线C于M,N两点.(1)当直线l垂直于x轴,且为直角三角形,求实数m的值;(2)若四边形是平行四边形,当点P在直线l上时,求实数m,使得.21.已知抛物线的焦点为坐标原点,是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线的斜率之积为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.22.已知椭圆方程E:的左焦点为F,直线()与椭圆E相交于A,B,点A在第一象限,直线与椭圆E的另一点交点为C,且点C关于原点O的对称点为D.(1)设直线,的斜率分别为,,证明:为常数;(2)求面积的最大值.答案第=page11页,共=sectionpages22页参考答案:1.A2.A3.C4.A5.A6.C7.D8.C9.BD10.BC11.BC12.AD13.1或2或3.14.215.16.17.(1)3x+4y+5=0(2)x2+y2=17【分析】(1)由垂直关系得过直线l的斜率,由点斜式化简即可求解l的一般式方程;(2)结合勾股定理建立弦心距(由点到直线距离公式求解),半弦长,圆半径的基本关系,解出,即可求解圆C的方程.【详解】(1)因为直线l与直线4x﹣3y+t=0垂直,所以直线l的斜率为,故直线l的方程为,即3x+4y+5=0,因此直线l的一般式方程为3x+4y+5=0;(2)圆C:x2+y2=m的圆心为(0,0),半径为,圆心(0,0)到直线l的距离为,则半径满足m=42+12=17,即m=17,所以圆C:x2+y2=17.18.(1);(2)【分析】(1)设,根据题意得代入圆的方程解决即可;(2)设,得,,根据题意解决即可.【详解】(1)由题知,点在圆上运动,定点,设,因为点为线段的中点,所以,即,因为点在圆上,即,所以,化简得所以点的轨迹方程为;(2)由题知,两定点,动点满足,即,设,所以,因为,所以,化简得,所以点的轨迹方程为;19.(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直,然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可;(2)方法二:利用几何关系找到二面角的平面角,然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】(1)因为,O是中点,所以,因为平面,平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以.(2)[方法一]:通性通法—坐标法如图所示,以O为坐标原点,为轴,为y轴,垂直且过O的直线为x轴,建立空间直角坐标系,则,设,所以,设为平面的法向量,则由可求得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,所以,解得.又点C到平面的距离为,所以,所以三棱锥的体积为.[方法二]【最优解】:作出二面角的平面角如图所示,作,垂足为点G.作,垂足为点F,连结,则.因为平面,所以平面,为二面角的平面角.因为,所以.由已知得,故.又,所以.因为,.[方法三]:三面角公式考虑三面角,记为,为,,记二面角为.据题意,得.对使用三面角的余弦公式,可得,化简可得.①使用三面角的正弦公式,可得,化简可得.②将①②两式平方后相加,可得,由此得,从而可得.如图可知,即有,根据三角形相似知,点G为的三等分点,即可得,结合的正切值,可得从而可得三棱锥的体积为.【整体点评】(2)方法一:建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法,是此类题的通性通法,其好处在于将几何问题代数化,适合于复杂图形的处理;方法二:找到二面角的平面角是立体几何的基本功,在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识,该法为本题的最优解.方法三:三面角公式是一个优美的公式,在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.20.(1)(2)【分析】(1)根据向量垂直,即可利用坐标运算求解,(2)根据平行得斜率关系,进而联立方程得韦达定理,结合向量垂直由坐标运算即可求解.【详解】(1)由题意,代入中,解得,不妨取,则,为直角三角形,故只能是为直角,即,故或1,易知不合题意,舍去,故.(2)由题意四边形为平行四边形,则,设直线,联立得,由题意,判别式,,要使,则,又,即,化简,得,即,代入得故.故时,有.21.(1),(2)证明见解析,定点【解析】(1)利用抛扔线的焦点坐标,求出,然后求抛物线的方程;(2)通过直线的斜率是否存在,设出直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理以及斜率乘积关系,转化求解即可【详解】解:(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以,得,所以抛物线的方程为,(2)①当直线的斜率不存在时,设,因为直线的斜率之积为,所以,化简得,所以,此时直线的方程为,②当直线的斜率存在时,设其方程为,,由,得,则,因为的斜率之积为,所以,即,即可,解得(舍去),或,所以,即,所以,即,综上所述,直线过轴上的一定点【点睛】关键点点睛:此题考查直线与抛物线的位置关系的应用,抛物线的方程的求法,解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得,再利用根与系数的关系可得,再结合直线的斜率之积为,可得到的关系,从而可得答案,考查计算能力,属于中档题22.(1)证明见解析(2)3【分析】(1)设出,,则,表达出,,由点差法得到证明;(2)三角形面积等于三角形的面积2倍,设直线方程为,联立椭圆方程,得到两根之和,两根之积,求出,换元后,结合对勾函数性质求出最值,得到答案.【详解】(1)由题意知,,若,此时直线的斜率不存在,不合要求,舍去,设,,,此时,则,,,又①,②,式子①-②得,所以;(2)由题意可知,三角形面积等于三角形的面积2倍,椭圆左焦点F为,可设直线方程为,联立方程组,即,故,,所以三角形的面
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