5.4.3+正切函数的性质与图象课 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象教学目标

能画出正切函数的图象.（重点）01

掌握正切函数的奇偶性、周期性.（重点）02

掌握正切函数的单调性，并能利用单调性解决相应的问题.（重点、难点）03

04学科素养

借助正切线作出正切函数的图像;

数学抽象

借助数形结合的思想，通过正切函数的图像研究正切函数的性质

直观想象

求正切函数的单调区间;；逻辑推理

利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性

数学运算

数据分析

借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge函数正弦函数余弦函数函数图像周期2π2π奇偶性奇函数偶函数对称性对称轴对称中心单调性递增区间递减区间最值点最小值最大值02知识精讲

ExquisiteKnowledge

其实研究函数，也可以从其定义（解析式）出发研究它的性质，再利用性质研究其图象.

根据研究正弦函数和余弦函数的经验，我们应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，再从代数的角度对性质作出严格表述.（图象→性质）

函数的解析式确定了函数的性质，但通过函数的图象，我们可以更直观的获得对函数性质的认识.

（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？正切函数：

由诱导公式可知，由诱导公式可知，表明正切函数的定义域关于原点对称正切函数是周期函数，周期是π.【1】周期性：【2】奇偶性：正切函数是奇函数.根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间

内的图象与性质即可．比如区间

内的图象与性质即可．

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

如图，设，在坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B.过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则

由此可见，当

时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数

的图象

如何画出函数y＝tanx，的图象呢？探究

观察图象可知：当

时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，

相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势，而且当x趋向于

时，AT的长度趋向于无穷大．且向右上方无限逼近直线

，但不会与该直线相交．第一步，因为正切函数是奇函数，第二步，根据正切函数的周期性，

只要画函数

图象关于原点的对称图形，就可得到

的图象；

只要把函数

图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数

的图象，我们把它叫做正切曲线.

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？探究③正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无数个形状相同的曲线组成的.①图象关于原点对称②图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸.正切函数的图象的特征xy0如何做正切函数的图象?利用三点:

,两线:

做画出一个周期内的大致函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。【3】单调性：由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间，上都单调递增.

观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增,

xy0【4】值域：观察正切曲线可知，当，时在内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R.

xy0【5】对称性：观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，关于点对称.

【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化在同一单调区间内.【例1】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小：【注】同一函数的两函数值可以利用单调比较大小，但两变量的取值必须化在同一单调区间内.【例2】求函数

的定义域、周期及单调区间．所以，函数的定义域是函数