云南省彝良县民族中2025届数学高二上期末综合测试试题含解析

云南省彝良县民族中2025届数学高二上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）A.10 B.11C.12 D.132．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.103．椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.4．已知直线与垂直，则为（）A.2 B.C.-2 D.5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.6．一组“城市平安建设”的满意度测评结果，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的（）A.平均数变小 B.平均数不变C.标准差不变 D.标准差变大7．已知圆M与直线与都相切，且圆心在上，则圆M的方程为（）A. B.C. D.8．已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A. B.C. D.10．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（）A. B.C. D.11．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）A.4 B.12C.15 D.1812．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设实数x，y满足，则的最小值为______14．若过点和的直线与直线平行，则_______15．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.16．已知圆C，直线l：，若圆C上恰有四个点到直线l的距离都等于1.则b的取值范围为___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的长轴长是6，离心率是.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．（12分）已知椭圆的短轴长是2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由19．（12分）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和20．（12分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴且焦点在轴上，抛物线：，若抛物线的焦点在椭圆上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率存在且不为零的直线满足：与椭圆相交于不同两点、，与直线相交于点.若椭圆上一动点满足：，，且存在点，使得恒为定值，求的值.21．（12分）已知函数，若函数处取得极值（1）求，的值；（2）求函数在上的最大值和最小值22．（10分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有且仅有2个零点，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，则由题意可得，解得，则.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.2、C【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.3、C【解析】先求出椭圆的离心率，再由题意得出双曲线的离心率，根据离心率即可求出渐近线斜率得解.【详解】椭圆：的离心率为，则，依题意，双曲线；的离心率为，而，于是得，解得：，所以双曲线的渐近线方程为故选：C4、A【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.【详解】因为直线与垂直，故选：A.5、A【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.6、B【解析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出，，…，，116的平均数、方差从而可得答案.【详解】，，…，的平均数为116分，则，，…，，116的平均数为设，，…，的方差为则所以则，，…，，116的方差为所以，，…，，116的平均数不变，方差变小.标准差变小.故选：B7、A【解析】由题可设，结合条件可得，即求.【详解】∵圆心在上，∴可设圆心，又圆M与直线与都相切，∴，解得，∴，即圆的半径为1，圆M的方程为.故选：A.8、D【解析】由题可知：，，，故选；D9、A【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.10、C【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.【详解】由题意可知，，因为，，则，，因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、，，，，因此，异面直线与所成的角为.故选：C.11、C【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项和为.故选：C.12、C【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】画出可行域和目标函数如图所示：根据平移知，当目标函数经过点时，有最小值为5.故答案为：5.14、【解析】根据两直线的位置关系求解.【详解】因为过点和的直线与直线平行，所以，解得，故答案为：315、【解析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，因为平面，所以，，于是有，底面为矩形，所以有，，因为平面，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因为，所以，故答案为：16、【解析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】圆C：的半径为3，圆心坐标为：设圆心到直线l：的距离为，要想圆C上恰有四个点到直线l的距离都等于1，只需，即，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.(2)当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、向量数量积运算，推理计算作答.【小问1详解】依题意，，半焦距为c，则离心率，即，有，所以椭圆E的标准方程为：.【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，，，，，要使为定值，必有，解得，此时，当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，当时，，即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，所以存在满足条件.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值18、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】(1)利用离心率，短轴长求出a，b，即可求得椭圆方程.(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算判定，由M为线段AB中点即可确定存在常数推理作答.【小问1详解】因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】存在常数，使恒成立，

由消去y并整理得：，设，，则，，又，，，则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有所以存在常数，使恒成立.19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；（2）运用错位相减法可求得.【小问1详解】解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，【小问2详解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）先求得椭圆的，代入公式即可求得椭圆的方程；（2）以设而不求的方法得到两根和，再由条件，得到四边形为平行四边形，并以向量方式进行等价转化，再与恒为定值进行联系，即可求得的值.【小问1详解】由条件可设椭圆：，因为抛物线：的焦点为，所以，解得因为椭圆离心率为，所以，则，故椭圆的方程为【小问2详解】设直线：，，，把直线的方程代入椭圆的方程，可得，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，得，即，得由在椭圆上可得，，即因为，又所以，所以将代入得，所以，即.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。21、（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）求出导函数，由即可解得；（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.【详解】解：（1