河南省灵宝实验高级中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

河南省灵宝实验高级中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.2．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺3．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A. B.C.8 D.125．对于两个平面、，“内有三个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书A.76石 B.77石C.78石 D.79石8．椭圆与(0<k<9)的（）A.长轴的长相等B.短轴的长相等C.离心率相等D.焦距相等9．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A. B.C. D.10．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.11．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.内切C.外切 D.外离12．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若有两个零点，则的范围是______14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________15．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.16．已知抛物线，则的准线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值18．（12分）已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值19．（12分）已知圆.（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.20．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,21．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样的方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.22．（10分）如图1，在四边形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BF折起至的位置，使得二面角的大小为120°（如图2），M，N分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.【详解】由题意，可得，因为，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，则，即，解得，因为，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.2、C【解析】设等差数列，用基本量代换列方程组，即可求解.【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，则有，即，解得：，即冬至的日影长为16.1尺.故选：C3、B【解析】首先求出直线与圆相切时的取值，再根据充分必要条件的定义判断.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，则，解得，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，充分必要条件，重点考查计算，理解能力，属于基础题型.4、B【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为：，正三角形边上的一条高为：，所以一个正三角形的面积为：，所以多面体的表面积为：.故选：B5、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有三个点到的距离相等，当这三个点不在一条直线上时，可得；当这三个点在一条直线上时，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有三个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.6、D【解析】设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可【详解】解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),则，解得：，故选：D7、C【解析】设出未知数，列出方程组，求出答案.【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故选：C8、D【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.【详解】椭圆与(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则显然只有D正确故选：D9、B【解析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则故新直线的斜率是.故选：B.10、D【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D11、B【解析】求出两圆的圆心与半径，根据两圆的位置关系的判定即可求解.【详解】已知圆的圆心到直线的距离，即，解得或,因为,所以,圆的圆心的坐标为，半径，将圆化为标准方程为，其圆心的坐标为，半径，圆心距，两圆内切，故选：B12、C【解析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.【详解】,当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极小值为，也是最小值，因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，所以要使有两个零点，只要，即就可以了.所以的范围是故答案为：.14、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，则所以又因为所以故答案为：15、【解析】由三角形面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【详解】由题意可得，解得，设，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案为【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、##【解析】根据抛物线的方程求出的值即得解.【详解】解：因为抛物线，所以，所以的准线方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取PD的中点E，连接ME，CE，因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小问2详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面MBC的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面ABCD的一个法向量为：，所以，所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.18、(1)（2）【解析】（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b；（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积S=∴当t=0，△OAB面积的最大值为.19、（1）或；（2）.【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.【小问1详解】因为直线不过原点，设直线的方程为，圆的标准方程为，若直线与圆相切，则，即，解得或者3，所以直线的方程为或者；【小问2详解】因为，所以直线与圆相离，所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圆的方程为.20、（1）（2）85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元21、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）构造中位线，利用面面平行，可以证明;（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法即可.【小问1详解】