湖北省枝江市部分高中2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析

湖北省枝江市部分高中2025届高二数学第一学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）A. B.C. D.2．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G、H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.4．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x5．与的等差中项是（）A. B.C. D.6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）A.-18 B.-6C. D.7．“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.69．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表：年份20162017201820192020年份代号x01234年销量y1015m3035若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m的值为（）A.22 B.20C.30 D.32.510．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为A.3 B.2C.4 D.11．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.12．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，满足不等式组，则的最大值为________.14．经过点作直线，直线与连接两点线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是________15．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________16．函数的图象在处的切线方程为，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若,,求18．（12分）已知数列的前n项和为，，且（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为，求证：19．（12分）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由20．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值21．（12分）已知是函数的一个极值点.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.22．（10分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.2、B【解析】根据是等腰三角形且为锐角三角形，得到，即，解得离心率范围.【详解】，当时，，，不妨取，，是等腰三角形且为锐角三角形，则，即，，即，，解得，故.故选：B.3、C【解析】设，代入双曲线方程相减后可求得，从而得渐近线方程【详解】设，则，相减得，∴，又线段的中点为P(2，4)，的斜率为1，∴，，∴渐近线方程为故选：C【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，已知弦的中点（或涉及到中点），可设弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差，作差后式子中有直线的斜率，弦中点坐标，有．这种方法叫点差法4、C【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选：C.5、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A6、A【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.【详解】由题设，，，则，又，，所以.故选：A7、A【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.【详解】根据题意，由直线与圆相切，知圆心到直线的距离，解得或，因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.8、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.9、B【解析】求出样本中心的横坐标，代入回归直线方程，求出样本中心的纵坐标，然后求解即可【详解】因为，代入回归直线方程为，所以，，于是得，解得故选：B10、A【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.11、B【解析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.所以.故选：B.12、C【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，同理，由图可知，故D不正确.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10【解析】作出不等式区域,如图所示:目标最大值,即为平移直线的最大纵截距,当直线经过点时最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14、【解析】求出的斜率，结合图形可得结论【详解】，，而，因此，故答案为：15、【解析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标【详解】设，由题意知，所以，则，由题意可得，把代入，得，所以P点坐标为故答案为：16、【解析】根据导数的几何意义可得，根据切点在切线上可得.【详解】因为切线的斜率为，所以，又切点在切线上，所以，所以，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又单调递增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可证明；【小问1详解】解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；19、（1）；（2）①；②定点有两个，【解析】（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由、的方程求，坐标，若在为直径的圆上点，由结合向量垂直的坐标表示列方程，进而求出定点坐标.【小问1详解】由题设，若，且，又△为等腰直角三角形，∴，即，则又，可得.【小问2详解】由题设，，由（1）有，则，即，①由上可知：双曲线方程为.②由①知：，且直线的斜率不为0，设为，，，联立直线与双曲线得：，∴，，则，∴，∴直线为；直线为；∴，，若在为直径的圆上点，∴，且，∴，令，则，∴，即，∴或，即过定点.【点睛】关键点点睛：第二问的②，设直线为，联立直线与双曲线，应用韦达定理求，，，，进而根据、的方程求，坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.20、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量