因式分解(一)四中

北京四中

撰稿:张红编审：赵云洁因式分解――提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。[知识要点]

1．了解因式分解的意义和要求

2．理解公因式的概念

3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）

1.(x+1)(x-2)=x2-x-22.ax-ay-a=a(x-y)-a

3.6x2y3=2x2·3y34.x2-4=(x+2)(x-2)

5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)

A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。

解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.

解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b

=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)

=-3a2评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3a2b(b2-2abc-1)是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2例3．分解因式3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)分析：因为y-2x=-(2x-y),就是说y-2x与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y).解：3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)

=3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y)

=3ab(2x-y)(a+2b)评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。例4．分解因式：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，因此(a-b)2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。解：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2

=2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2

=a(a-b)2[2(a-b)-a+b]

=a(a-b)2(a-b)

=a(a-b)3.评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。

当n为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n;

当n为偶数时，(x-y)n=(y-x)n.例5．不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3

=7y(x-3y)2+2(x-3y)3

=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]

=(x-3y)2(2x+y)∵∴原式=12×6=6评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。例6．求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。分析：先把32000-4×31999+10×31998因式分解证明：∵32000-4×31999+10×31998

=31998×(32-4×3+10)

=7×31998

∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。（三）、练习一、选择题：（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）

A、-5x2y3=-5xy(xy2)B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x

C、ab2-2ab=ab(b-2)D、(x-3)(x+3)=x2（2）49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）

A、7abc2B、7ab2c2C、7a2b2c2D、7a（3）把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（）

A、(x-y)(3m-2x-2y)B、(x-y)(3m-2x+2y)C、(x-y)(3m+2x-2y)D、(y-x)(2x-2y+3m)（4）在下列各式中：①a-b=b-a;②(a-b)2=(b-a)2;③(a-b)2=-(b-a)2;④(a-b)3=(b-a)3;⑤(a-b)3=-(b-a)3;⑥(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b)

正确的等式有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个（5）在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（）

A、5x3B、5x3+1C、5x3-1D、-5x3（6）下列各组代数式中没有公因式的是（）

A、5m(a-b)与b-aB、(a+b)2与-a-bC、mx+y与x+yD、-a2+ab与a2b-ab2（7）下列各题因式分解正确的是（）

A、3x2-5xy+x=x(3x-5y)B、4x3y2-6xy3z=-2xy2(2x2-yz+3)

C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a)D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz(8x2-2xy+3yz)（8）把(-2)1999+(-2)2000分解因式后是（）

A、21999B、-2C、-21999D、-1（9）把3an+2+15an-1-45an分解因式是（）

A、3(an+2+5an-1-15an)B、3an(a2+5a-1-15)

C、3an-1(a3+5-15a-1)D、3an-1(a3+5-15a)[答案]:1.C2.A3.B4.C5.C6.C7.D8.A9.D二、填空题：1．单项式-4a2b2c3，12ab2c,8ab2．多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。3．多项式8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是______。4．分解因式：x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_________.5．分解因式：x(x+y)(x-y)-x(y+x)2=________.6．2y(x-2)-x+2分解因式________。[答案]：1.4ab22.3xy,3x2-12y2+13.2xn-14.(m-n)(a-b)(x-y)5.-2xy(x+y)6.(x-2)(2y-1)三、解答题：1．把下列各多项式分解因式(1)a5b-a2b3+a2b(2)-7x2y-14xy2+49x2y2(3)(x+y)(a2+a+1)-(x-y)(a2+a+1)(4)18x2(x-2y)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3(5)x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y)(6)y(2x-y)2-2x(y-2x)22．计算下列各式(1)7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1(2)1011-5×1093．先化简，再求值。

(1)已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值。

(2)已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值。4．求证下列各题

(1)证明72000-71999-71998能被41整除

(2)求证：奇数的平方减去1能被8整除

(3)求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。[答案]：1．(1)a2b(a3-b2+1)(2)-7xy(x+2y-7xy)(3)2y(a2+a+1)(4)6x(2y-x)2(5x-8y)(5)(x+y-z)2(6)原式=y(2x-y)2-2x(2x-y)2

=(2x-y)2(y-2x)

=-(2x-y)32．(1)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)

=200.1×10

=2001(2)原式=109×(102-5)

=109×95

=9.5×10103．(1)解：∵2x-y=,xy=2,

∴2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=23·=.(2)解：∵4x2+7x+2=4

∴4x2+7x=2

∴-12x2-21x=-3(4x2+7x)=-3×2=-6.4．(1)证明：∵72000-71999-71998=71998(72-7