数学自主练习：导数在实际生活中的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为（）A。B.C.D.思路解析:设底面边长为x，则表面积S=（x＞0),S′=（x3—4V）,令S′=0,得唯一极值点x=.答案：C2.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时,其梯形的上底长为（）A.B.C。D。r思路解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S.∵h=，∴S==(r+x）·。∴令S′=.令S′=0，得x=,h=，当x∈（0,）时，S′＞0；当＜x＜r时，S′＜0.∴当x=时，S取极大值，当梯形的上底长为r时，它的面积最大.答案:D3.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为（）A.10B。15C.25思路解析：如下图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ。故Smax=25.答案:C4。有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为___________.思路解析：设矩形长为x，则宽为8—x，矩形面积S=x（8—x）(x＞0)，令S′=8-2x=0,得x=4.此时S最大=42=16。答案:165。函数y=的值域为______________。思路解析：f′(x）=。令f′（x)=0,得x=，又定义域为［—1，1],且f(±1)=0，f（）=。答案:［0，］6。将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段变成圆形一段弯成正方形,问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.思路分析:设其中一段长为x,然后列出S关于x的函数式。解:设弯成圆的一段长为x,则另一段为100-x。设正方形与圆的面积之和为S,则S=π·（）2+(）2（0＜x＜100）.S′=（100-x）。令S′=0，得x=≈44(cm)。由于在（0，100）内函数只有一个导数为0的点，故当x=时，S最小。此时S=,即截成圆形的一段长为时面积之和最小,最小值为.我综合我发展7。设A、B两地相距30千米(如图1-4-4),在它们之间铺设一条铁路,A、B两地到x轴的距离为5千米，由于地质条件不同,在y＞0地质铺设费用为105元/千米,而y＜0地质为6×104元/千米。求最经济的铺设线路.图1-4—4思路分析：建立相应的数学模型，将铺设费用表示成关于变式θ的函数式.解:由图及对称性,研究y轴一侧即可，CD=5cotθ,AC=，设铺设费用为p，则p=(15—5cotθ)×6×104+×105.∴p′=3×105·.令p′=0，则cosθ=，CD=.∴在x轴上取点C(,0）和点E(，0),则AC→CE→EB为最佳经济线路.8.某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量θ(万件）与广告费x（万元)之间的函数关系为θ=（x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每年售价为“年平均每件成本的150％"与平均每件所占广告费的50%之和；（1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？思路分析：年利润=(年收入）-(年成本）-（年广告费)，找出x与y的关系式（注意定义域)。解：（1）由题意,每年产销θ万件，共计成本为(32θ+3)万元。销售价是（32θ+3)·150%+x·50%。∴年利润y=(32θ+3-x）=(32×+3-x）=（x≥0).∴所求函数关系式为y=（x≥0）。当x=100时,y＜0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由y=（x≥0）可得y′=.令y′=0,则x2+2x—63=0。∴x=—9（舍)或x=7。又x∈（0,7)时，f′（x)＞0;x∈（7，+∞）时，f′(x）＜0，∴f(x）极大值=f(7）=42.又∵在（0，+∞）上只有一个极值点，∴f(x)max=f(x）极大值=f(7)=42.∴当年广告费投入7万元时,企业年利润最大.9.随着我国加入WTO，某地方企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下:（资金单位:万美元）年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产件数无关，a为常数,且3≤a≤8.另外,年销售x件乙产品时需上交0。05x2万美元的特别关税.在不考虑其他因素的情况下:(1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与相应生产件数x（x∈N*）之间的函数关系式；（2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润;（3)如何选择投资方案可获较大年利润？思路分析:本题仍然是考查导数求最值在实际生活中的应用，按照一般解应用题的几个步骤求解即可.解：(1)y1=（10—a)x-20(1≤x≤20,x∈N＊），y2=-0。05x2+10x—40（1≤x≤120,x∈N*）.（2）当x=200时，y1获得最大值S1=1980—200a（万美元）,y2′=—0.1x+10，由y′=0，得x=1