数学自主广场：三角函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。(浙江杭州二模,文2函数）f(x）=cos4x，x∈R是()A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C。最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数思路解析：T===,f(-x)=cos(—4x)=cos4x=f（x)，即f(x)是偶函数。答案：C2.若函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f(x)是(）A.y=sin（2x+)+1B。y=sin（2x—）+1C.y=sin(2x-)+1D。y=sin（2x+）+1思路解析:逆向法解决，将y=sinx的图象沿y轴向上平移1个单位得函数y=sinx+1的图象；再将函数y=sinx+1的图象向右平移个单位得函数y=sin（x—）+1的图象;再将函数y=sin(x-）+1的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的得函数y=sin(2x—）+1.这就是函数y=f（x)的解析式.这样由后至前,等于把y=sinx进行“逆变换"倒推出所求的函数解析式,逆变换时，相应地将向左改为向右,向上改为向下,伸长变为缩短即可.答案：B3.已知图1-3-图1-3-5A。ω=,φ=B.ω=，φ=-C.ω=2，φ=D。ω=2，φ=-思路解析：曲线与y轴的交点为（0,1），说明当x=0时，函数值y=1,则2sinφ=1即sinφ=。∵—＜φ＜，∴φ=。又曲线与x轴的一个交点是（，0),说明当x=时,函数值y=0，即sin(ω+）=0，∴ω+=kπ（k∈Z）。∵这点是曲线与x轴正方向的第二个交点,其相位是2π,即ω·+=2π，解得ω=2，即ω=2，φ=。答案:C4.(2006江苏高考卷，4为了得到函数）y=2sin（+）,x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（)A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变）B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变)D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变)思路解析：本题主要考查三角函数的图象变换。先将y=2sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y=2sin（x+),x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）得到函数y=2sin(+）,x∈R的图象.答案：C5。（2006全国高考卷Ⅰ,理5)函数f(x）=tan（x+）的单调增区间为(）A.（kπ-,kπ+)，k∈ZB.(kπ,（k+1)π）,k∈ZC.（kπ—,kπ+),k∈ZD.(kπ—，kπ+），k∈Z思路解析:利用整体性策略，令kπ—＜x+＜kπ+，k∈Z,解得单调增区间.答案：C6。函数y=（x∈R)的最大值是_________________。思路解析：思路一：（换元法）设cosx=t，x∈R，则函数y=(x∈R)的最大值即函数y=,-1≤t≤1的最大值。可以证明当-1≤t≤1时，函数y=是增函数，所以函数的最大值是3.思路二：由y=（x∈R），得cosx=。∴｜|≤1.∴≤y≤3.答案:37.(2006北京高考卷，文2）函数y=1+cosx的图象（)A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D。关于直线x=对称思路解析：函数y=1+cosx是偶函数,其图象关于y轴对称.答案:B8.函数f（x)=2sin(2x+），(1)求f（x)的最大值M、最小值N和最小正周期T。(2）由y=sinx的图象经过怎样的变换得到y=f（x）的图象?（3)写出函数的对称轴和对称中心？思路解析：利用公式直接得结论。解：(1）M=2，N=—2，T==π.(2）变换步骤是：①把y=sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位,得函数y=sin(x+)的图象；②把函数y=sin（x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），得函数y=sin(2x+）的图象；③把函数y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变），得函数f（x）=2sin(2x+)的图象.（3）令2x+=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z），即对称轴是直线x=+(k∈Z)。令2x+=kπ（k∈Z）,得x=-（k∈Z），即对称中心是(-，0）(k∈Z）。我综合我发展9。下列等式中正确的有______________________。①arcsin（-)=-arcsin②arccos（—)=arccos③arctan（-1)=—arctan1④arcsin1=⑤arccos0=0⑥arctan(—）=思路解析:①arcsin(—）=-,-arcsin=—，∴arcsin（—)=-arcsin。②arccos(-)=，arccos=，∴arccos(-)≠arccos。③arctan(—1)=—，—arctan1=-,∴arctan(—1)=-arctan1.④由sin=1，且∈［—，］,∴arcsin1=.⑤由cos=0,且0∈［0，π］,∴arccos0=≠0。⑥由tan(—)=-3，且—∈［—，］,∴arctan（—3）=—≠.答案:①③④10.函数y=5sin（-2x）的单调递增区间是________________。思路解析:函数y=-5sin(2x—）=5sin(2x+），令2kπ—≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得2kπ-≤2x≤2kπ—，即kπ—≤x≤kπ—.答案：[kπ-,kπ—］（k∈Z)11。已知cos（2x+）=—,x∈［0，2π],求角x的集合。思路分析：先由x的范围确定2x+的范围，然后判断角的个数，再求出角。解:∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.∵cos(2x+)=-,∴2x+=或2x+=或2x+=或2x+=.∴x的集合为｛,，，}.12.已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a)与最小值m(a)。思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.解:设cosx=t，∵0≤x≤,∴0≤t≤1。∵y=t2—2at=(t—a)2-a2，∴当a＜0时，m(a)=0,M(a）=1-2a；当0≤a＜，m(a)=-a2,M（a）=1-2a；当≤a＜1，m(a）=-a2，M（a)=0；当a≥1时，m(a）=1—2a，M(a)=0.13.(经典回放)如图1—图1-3-6（1）求这段时间的最大温差；(2）写出这段曲线的函数解析式。思路分析：图象最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方点的纵坐标是温度的最小值.解：（1）由图知，这段时间的最大温差是30—10=20(℃)。（2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，即=2（14-6），∴ω=。