2024-2025学年重庆一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0<x<10,x∈Z}，B={x|x∉Z,x∈A}，则∁A.{1,4,9} B.{1,2,3} C.{4,5,6,7,8,9} D.{2,3,5,6,7,8}2.复数z=2i+1(i是虚数单位)，则zA.−1+3i B.−1−3i C.−1−i D.−1+i3.下列函数是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x B.y=tanx C.y=x3+cosx4.日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位；元)为c(x)=5284100−x(80<x<100)，则净化到纯净度为99%左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的A.10倍 B.25倍 C.50倍 D.100倍5.已知向量a,b,c满足：|b|=|A.1 B.2 C.2 D.6.已知数列{an}满足：a1=1，a2=2A.22 B.3 C.4 7.关于x的方程2sinx4=sin4xcosx4−A.1 B.2 C.3 D.78.已知β∈(−π2,0)，3sin(π−α)+cos(α−β)sinA.34 B.−34 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6，S9也成等差数列

B.数列{(a+1)n}(a∈R)可能是等比数列，也可能是等差数列

C.若等比数列{an}满足：a2a6+a10.已知函数f(x)=x+2−ln(kx)，下列说法正确的是(

)A.当k=−1时，f(x)在区间(−∞,−1)内有唯一零点

B.当k>0时，f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为23

C.当k=1时，若f(x1)=f(x2)(x1≠x11.已知函数f(x)=sin(ωx+2π3)(ω>0)在[0,π]上有且仅有A.f(x)的图象向左平移必须超过π4个单位才可能使其关于y轴对称

B.f(x)在区间(π2,5π7)上有可能单调递增

C.f(x)在三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(1,0)，点B(−3,1)，向量m=(k,5)，若AB//m，则实数k13.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π6,a=1,c=3，则14.在分形艺术中会有下面的操作：将一长度为1的线段均分为三段，去掉中间一段，记为第1次操作：将剩下的线段分别又均分为三段，并各自去掉中间一段，记为第2次操作；…，每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的线段分别均分为三段，同样各自去掉中间的一段；操作过程不断进行下去.设第n次操作去掉的线段总长为Dn，若kn=n2D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足：an+1=2an+1，a1=1，数列{bn}的前n项和为Sn，且2Sn=n2+log2(an+1)．16.(本小题15分)

连续抛掷一枚质地均匀的骰子n(n∈N∗)次.第k(k≤n,k∈N∗)次抛掷落地时朝上的点数记为ak，且ak∈{1,2,3,4,5,6}，

(1)记事件A为“a1+a2≤5”，事件B为“|a117.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，∠ACD=π2，若E是AD上一点，CD=CE，AC=mAE．

(1)证明：cos2∠ADC+sin∠ACE=0；

(2)若AB=1，BC=3，∠ACE=π6．

①求m的值；

18.(本小题17分)

已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的5倍，过C上一点P作C的两条渐近线的平行线，分别交y轴于S，T两点，且|OS|⋅|OT|=4．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过双曲线C的右焦点F的直线l1与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，点Q是线段AB的中点，过点F且与l1垂直的直线19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx．

(1)证明：当x>1时，f(x)>1−1x；

(2)若f(1+x)+sinx−ax≤0恒成立，求实数a的值；

(3)证明：sin1n参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.D

8.D

9.BCD

10.ABC

11.ABD

12.−20

13.12或−14.5

15.解：(1)由an+1=2an+1，a1=1，可得an+1+1=2(an+1)，

即有数列{an}是首项和公比均为2的等比数列，则an+1=2n，即an=2n−1；

由2Sn=n2+log2(an+1)，可得2Sn=n2+n，

即Sn=116.解：(1)将事件A用有序数对(a1,a2)表示，则满足a1+a2≤5事件A可以为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10种，

即n(A)=10，

若满足|a1−a2|=3的事件B为(1,4)，(4,1)，共2种，

即n(B)=2，

所以可得P(B|A)=n(AB)n(A)=210=15；

(2)依题意事件C为“ai≤ai+1(i=1,2,3)，需先确定n=4时骰子上出现的点数的数字个数，然后再从小到大排序即可，

则事件C包含以下4种情况：

第一种：抛掷4次出现的点数完全相同，共有C61=6种，

第二种：抛掷4次出现的点数有2个数字，共有C52=15种，

以出现的数字为1，2为例，则有1，1，1，2；1，1，2，2；1，2，2，2，共3种排序方式，

所以共有3C62=45，

第三种：抛掷4次出现的点数有3个数字，共有C53=20种，

以出现的数字为1，2，3为例，则有1，1，2，3；17.(1)证明：∵在△CDE中，CD=CE，

∴∠CED=∠ADC，可得∠DCE=π−(∠CED+ADC)=π−2∠ADC．

又∵∠ACD=π2，

∴∠ACE+∠DCE=∠ACE+π−2∠ADC=π2，整理得2∠ADC=∠ACE+π2，

∴cos2∠ADC=cos(∠ACE+π2)=−sin∠ACE，可得cos2∠ADC+sin∠ACE=0．

(2)解：①∵∠ACE=π6，∴∠DEC=π2−∠ACE=π3，

又∵△CDE中，CD=CE，∴△CDE是等边三角形，可得∠CED=π3．

∴∠AEC=π−∠CED=2π3，

∴在△ACE中，由正弦定理得ACsin2π3=AEsinπ6，可得ACAE=sin2π3sinπ6=3，即m=3．

②设∠ABC=θ，

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅18.解：(1)设P(x0,y0)，则x02a2−y02b2=1，即y02=b2a2x02−b2，

过点P作C的两条渐近线的平行线方程分别为：y−y0=ba(x−x0)，

y−y0=ba(x−x0),y−y0=−ba(x−x0)，

则不妨取S(0,y0−bax0)，S(0,y0−bax0),T(0,y0+bax0)，T(0,y0+bax0)，

于是|OS|⋅|OT|=|y0−bax0|⋅|y0+bax0|=|y02−bax02|=b2=4，

又c=5a，且a2+b2=c2，

可得a2=1，c2=5，

所以双曲线方程为x219.(1)证明：令函数m(x)=f(x)−1+1x=lnx−1+1x，则m′(x)=1x−1x2=x−1x2，

当x>1时，m′(x)>0，所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，则m(x)>m(1)=0，

所以f(x)>1−1x，证毕．

(2)解：f(1+x)+sinx−ax≤0恒成立，即ln(1+x)+sinx−ax≤0恒成立，

记n(x)=ln(1+x)+sinx−ax，则n′(x)=cosx+1x+1−a,x>−1，

若a>2，因此n′(0)=2−a<0，

当−aa+1<x<0时，由n′(−aa+1)=cosaa+1+1>0，

故存在s∈(−1,0)，使得n′(s)=0且任意的x∈(s,0)，总有n′(x)<0，

故n(x)在(s,0)上为减函数，故任意的x∈(s,0)，总有n(x)>n(0)=0，这与题设不合，舍；

故a=2，此时n′(x)=cosx+1x+1−2,x>−1，

当x∈(0,+∞)时，n′(x)<1+1−2=0，故n(x)在(0,+∞)上为减函数；