2024-2025学年天津一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津一中高三（上）10月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则集合A∩(∁UB)=A.{1} B.{2} C.{1,2,5} D.{1,2,3,4}2.“lga>lgb”是“(a−2)3>(b−2)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.设a=0.60.5，b=log0.60.4，c=log30.4，则aA.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a4.已知函数f(x)=2x3ex−1A. B.

C. D.5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且它的图象关于直线x=2π3对称，则下列说法正确的个数为(

)

①将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y=2sinωx的图象；

②f(x)的图象经过点(0,1)；

③f(x)的图象的一个对称中心是(5π12,0)A.1 B.2 C.3 D.46.已知两不共线向量a→=(cosα,sinα)，b→=(cosβ,sinβ)A.(a→+b→)⊥(a→−b→) B.a→与b7.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2⋅A.1 B.22 C.−8.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A.[19π4,27π4) B.[9.已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R，且x≠0)，若实数aA.45 B.34 C.1 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.复数3+4i2+i=______．11.在(2x3+1x12.已知2x=24y=313.若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数14.已知平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AC⋅AD=8，则|AC|=______；若CE=ED15.已知函数f(x)=|x2+ax−2|−6.若存在a∈R，使得f(x)在[2,b]上恰有两个零点，则实数b的最小值是

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足已知ccosB+bcosC=a2cosA．

(1)求角A的大小；

(2)若cosB=33，求sin(2B+A)的值；

(3)若△ABC的面积为417.(本小题12分)

已知向量a=(cosωx−sinωx,sinωx)，b=(−cosωx−sinωx,23cosωx)，设函数f(x)=a⋅b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12,1)

(1)求函数f(x)的最小正周期；

18.(本小题12分)

已知四棱锥ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/​/CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是DD1的中点．

(1)求证：D119.(本小题12分)

已知等差数列{an}(n∈N+)中，an+1>an，a2a9=232，a4+a7=37．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若将数列{an}的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b1=a120.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2lnx．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)证明：对任意的x∈(0,+∞)，有f(x)≥x−1；

(3)若x1，x参考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.C

9.A

10.2+i

11.60

12.−1

13.514.27

15.2+216.解：(1)∵ccosB+bcosC=a2cosA，

由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sinA2cosA，

从而有sin(B+C)=sinA2cosA⇒sinA=sinA2cosA，

∵sinA≠0，

∴cosA=12，

∵0<A<π，

∴A=π3；

(2)由已知得，sinB=1−cos2B=63，

∴sin2B=2sinBcosB=223，17.解：(1)∵f(x)=a⋅b+λ=(cosωx−sinωx)×(−cosωx−sinωx)+sinωx×23cosωx+λ

=−(cos2ωx−sin2ωx)+3sin2ωx+λ

=3sin2ωx−cos2ωx+λ=2sin(2ωx−π6)+λ

∵图象关于直线x=π对称，∴2πω−π6=π2+kπ，k∈z

∴ω=k2+13，又ω∈(1218.(1)证明：取CB1中点E，连接NE，ME，

由N是B1C1的中点，得NE//CC1，且NE=12CC1，

由M是DD1的中点，得D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

则D1M//NE，D1M=NE，

所以四边形D1MEN是平行四边形，

所以D1N//ME，

又ME⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，

故D 1N//平面CB1M.

(2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，

则CB1=(1,−1,2)，19.解：(1)因为an+1>an，可得等差数列{an}为递增数列，设公差为d，则d>0，

由a2a9=232，a4+a7=a2+a9=37，可得a2=8，a9=29，

则d=a9−a29−2=29−87=3，

所以an=20.解：(1)因为f(x)的定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)，

当0<x<1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的极小值为f(1e)=−12e，无极大值；

(2)证明：令t(x)=xlnx−1+1x，函数定义域为(0,+∞)，

可得t′(x)=lnx+1−1x2，

令m(x)=lnx+1−1x2，函数定义域为(0,+∞)，

可得m′(x)=1x+2x3>0，

所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，且m(1)=0，

当0<x<1时，m(x)<0，t′(x)<0，t(x)单调递减；

当x>1时，m(x)>0，t′(x)>0，t(x)单调递增，

所以t(x)min=t(1)=0，

此时t(x)=xlnx−1+1x≥t(1)=0，

则xlnx≥1−1x，

即x2lnx≥x−1，

故f(x)≥x−1；

(3)证明：对任意的x1，x2∈(0,1)，令ℎ(x)=f(x)−x=x2lnx−x，

可得ℎ′(x)=2xlnx+x−1