2024-2025学年湖南省郴州市高三（上）月考数学试卷（一模）含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省郴州市高三（上）月考数学试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|(x−1)(x−6)<0}，B={x|x2<9}，则A∩B=A.(6,+∞) B.(−3,1) C.(−3,6) D.(1,3)2.设复数z=1−ii2024+i，则z的共轭复数zA.(0,1) B.(1,0) C.(−1,0) D.(0,−1)3.设x∈R，向量a=(x,−1)，b=(x,4)，则x=−2是a⊥bA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知sinα+cosβ=32，cosα=sinβ，则sin(α−β)=A.12 B.14 C.185.函数f(x)=ex+eA. B.

C. D.6.已知函数f(x)=x2−2ax+a,x<01ex−lnA.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,1] D.[1,+∞)7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F满足BEA.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形8.已知f(x)=memx−lnx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为A.(0,1e) B.(0,1e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(

)A.已知随机变量X～B(3,12)，则E(2X+1)=4

B.已知随机变量X～N(1,14)，f(x≤0)=f(x≥2)

C.数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8

D.样本甲中有m件样品，其方差为s10.已知曲线C：x2cosθ+y2sinθ=1，A.若cosθ=0，则曲线C表示两条直线

B.若cosθ>0，则曲线C是椭圆

C.若cosθ<0，则曲线C是双曲线

D.若cosθ=−sinθ，则曲线C的离心率为11.在正三棱台ABC−DEF中，AB=6，DE=2，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有(

)A.正三棱台ABC−DEF的高为43

B.正三棱台ABC−DEF的体积为523

C.AD与平面ABC所成角的正切值为1

D.正三棱台三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3+13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为i(i=1,2,3,4)，再从数字1，…，i中随机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是______．14.已知抛物线y2=4x，从抛物线内一点A(2,2)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若锐角△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为312(a2+c2−b2)16.(本小题15分)

如图，在四面体A−BCD中，AD=BD=3，AC=BC=2，AD⊥DB，∠CAD=30°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

(1)证明：PQ/​/平面BCD；

(2)求二面角A−PC−M的余弦值．17.(本小题15分)

已知椭圆E的离心率为22，椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为2−1．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM⊥ON，求18.(本小题17分)

已知函数f(x)=2alnx+12x2−(a+2)x，其中a为常数．

(1)当a>0时，试讨论f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，

(i)求a19.(本小题17分)

已知数列An：a1,a2,⋯,an(n≥2,n∈N∗)是正整数1，2，3，⋯，n的一个全排列，若对每个k∈{2,3,⋯n}都有|ak−ak−1|=2或3，则称An为H数列

(1)列出所有H数列A5的情形；

(2)写出一个满足a5k=5k(k=1,2,⋯,405)参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.D

7.B

8.A

9.ABC

10.ACD

11.BCD

12.48

13.74814.915.解：(1)由余弦定理得，a2+c2−b2=2accosB，

因为△ABC的面积为312(a2+c2−b2)，

所以S=12acsinB=312(a2+c2−b2)，即12acsinB=312⋅2accosB，

所以tanB=sinBcosB=33，

因为B∈(0,π2)，所以16.(1)证明：∵AD=3,AC=2，且∠CAD=30°，

由余弦定理可得CD2=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos30°，

即CD2=22+(3)2−2×23×32=1，即CD=1，

∴AD2+CD2=AC2，即AD⊥CD，又AD⊥DB，

且BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，

又BC=2,BD=3，则CD2+BD2=BC2，即BD⊥CD，

以D为原点，分别以DB,DC,DA为x，y，z轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(0,0,3),B(3,0,0),C(0,1,0)，M(0,0,32)，P(32,0,34)，

∵AQ=3QC，则AQ=34AC=34(0,1,−3)=(0,34,−334)，则Q(0,34,34)，

17.解：(1)设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距为c，

又椭圆E的离心率为22，椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为2−1，

则ca=22a−c=2−1a2=b2+c2，

解得b=c=1,a=2，

所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1．

(2)当直线OM不垂直于坐标轴时，直线OM的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx(k≠0)，

由y=kxx2+2y2=2，

消去y得x2=218.解：(1)由题设f′(x)=2ax+x−(a+2)=x2−(a+2)x+2ax=(x−2)(x−a)x，且x∈(0,+∞)，

当0<a<2时，在(0,a)上f′(x)>0，在(a,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0，

所以f(x)在(0,a)、(2,+∞)上单调递增，在(a,2)上单调递减；

当a=2时，在(0,+∞)上，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>2时，在(0,2)上，f′(x)>0，在(2,a)上，f′(x)<0，在(a,+∞)上，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,2)、(a,+∞)上单调递增，在(2,a)上单调递减．

综上，当0<a<2时，f(x)在(0,a)、(2,+∞)上单调递增，在(a,2)上单调递减；

当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>2时，f(x)在(0,2)、(a,+∞)上单调递增，在(2,a)上单调递减．

(2)(i)由f(2)=2aln2+12×22−(a+2)×2=2(aln2−a−1)<0，

若a>0时，f(a)=2alna+12a2−(a+2)a=a2(4lna−a−4)，

令y=4lna−a−4且a>0，则y′=4a−1=4−aa，

所以0<a<4时y′>0，a>4时y′<0，

故y=4lna−a−4在(0,4)上单调递增，在(4,+∞)上单调递减，则ymax=8ln2−8<0，

所以f(a)<0，

结合(1)中f(x)的单调性，易知a>0不可能出现两个不相等的零点，

又a=0时，f(x)=12x2−2x在(0,+∞)上只有一个零点，不满足，

所以a<0，此时，在(0,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，则f(x)min=f(2)=2(aln2−a−1)，

又x趋向于0或负无穷时，f(x)趋向正无穷，只需g(a)=a(ln2−1)−1<0成立，

显然g(a)在(−∞,0)上单调递减，且当a=1ln2−1时，g(a)=0，

所以1ln2−1<a<0时，g(a)<0恒成立，即a的取值范围为(1ln2−1,0)；

(ii)证明：由(i)，在1ln2−1<a<0时，f(x)存在两个不相等的零点x1，x2，

不妨令0<x1<2<x2，要证x19.解：(1)若a1=1，则a2=3或a2=4，

当a1=1，a2=4时，a3=2，a4=5，a5=3，此时A5为1，4，2，5，3，

当a1=1，a2=3时，a3=5，a4=2，a5=4，此时A5为1，3，5，2，4，

同理可得A5可能为：4，1，3，5，2或4，2，5，3，1或5，2，4，1，3或5，3，1，4，2，

或2，4，1，3，5或2，5，3，1，4或3，5，2，4，1或3，1，4，2，5；

(2)若将A5：3，1，4，2，5记为A2025的第一组数，

构造数列满足an+5=an+5，

则对任意的k∈{1,2,3⋯,405}，i∈{2,3,4,5}，

|a5k+i−a5k+i−1|=|(ai+5k)−(ai−1+5k)|=|ai−ai−1|=2或3，

当i=1时，|a5k+1−a5k|=|(a1+5k)−(a5+5k−5)|=|a1−a5+5|=3符合要求，

∴a5k+1=a1+5k=3+5k；a5k+2=a2+5k=1+5k；a5k+3=a3+5k=4+5k，

a5k+4=a4+5k=2+5k；a5k+5=a5+5k=5+5k．

综上所述：an=n+