2024-2025学年安徽省合肥市高一（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥市高一（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|6x−3<3}，N={−2,0,1,3}，则M∩N=(

)A.{0,1,3} B.{−2} C.{−2,0} D.{−2,0,1,3}2.已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是(

)A.对任意的a∈A，都有a∉B B.对任意的b∈B，都有b∉A

C.存在a0，满足a0∈A，a0∉B D.存在3.设函数f(x)=x2+2x+1,x<03x+6,x≥0，则不等式f(x)>f(1)A.(−∞,−4)∪(1,+∞) B.(−∞,−2)∪(1,+∞)

C.(−∞,−4)∪(2,+∞) D.(−∞,−2)∪(2,+∞)4.下列命题是真命题的为(

)A.若a>b>0>c>d，则ab>cd B.若a>b，则ac2>bc2

C.若a>b>0且c<0，则ca5.命题“∃x∈[−1,2]，12x2+x−A.a≤0 B.a≤1 C.a≤52 6.已知函数y=f(x+1)的定义域为[−2,3]，则y=f(2x+1)x−1的定义域为A.[−5,5] B.(1,5] C.(1,32]7.如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm,∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间A.B.C.D.8.设正实数x，y，z满足x2−xy+4y2−z=0，则当xyzA.2 B.1516 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有以下判断，其中是正确判断的有(

)A.f(x)=|x|x与g(x)=1x≥0−1x<0表示同一函数

B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个

C.f(x)=x2−2x+110.不等式ax2−bx+c>0的解集是{x|−2<x<1}，则下列选项正确的是A.b<0且c>0

B.不等式bx−c>0的解集是{x|x>2}

C.a+b+c>0

D.不等式ax211.下列正确的有(

)A.当a>2时，a+a+7a−2的最小值是9

B.若x2+y2=1，则xy的最大值与最小值之和为0

C.y=x2+5x2+4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2x−1x+1在区间[−2,−1)∪(−1,0]的值域为______．13.已知函数f(x)=ax2+(a−3)x+1在区间[−1,+∞)上单调递减，则实数a14.已知函数f(x)=2x2−ax+a2−4，g(x)=x2−x+a2−31四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

设m为实数，集合A={x|−2≤x<4}，B={x|m≤x≤2m+1}．

(1)若m=2，求A∪B，∁R(A∩B)；

(2)若A∩B=⌀，求实数m16.(本小题12分)

设函数f(x)=ax2−ax+1．

(1)若不等式f(x)<0的解集为⌀，求a的取值范围；

(2)当a∈R时，求关于x的不等式f(x)≥2−x的解集；

(3)对于任意的x≥1，不等式f(x)≥x+1−4a恒成立，求实数17.(本小题12分)

科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润p(x)(单位：万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤40，单位：万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，p(x)=−110x2+8x−90；当投入月研发经费高于36万元时，p(x)=0.4x+54.对于企业而言，研发利润率y=p(x)x×100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．

(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；

18.(本小题12分)

设函数g(x)=x+1，函数ℎ(x)=1x+3,x∈(−3,a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)．

(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；

(2)当a=14时，求函数f(x)的值域；

(3)是否存在自然数19.(本小题12分)

已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n−1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(1)已知有两个集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由；

(2)对(1)中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.D

8.A

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.[5,+∞)∪(−∞,−1]

13.[−3,0]

14.(−∞,6)

15.解：(1)当m=2时，B={x|2≤x≤5}，A={x|−2≤x<4}，

所以A∪B={x|−2≤x<4}∪{x|2≤x≤5}={x|−2≤x≤5}；

A∩B={x|−2≤x<4}∩{x|2≤x≤5}={x|2≤x<4}，

所以∁R(A∩B)={x|x<2或x≥4}；

(2)因为A∩B=⌀，集合A={x|−2≤x<4}，B={x|m≤x≤2m+1}．

当B=⌀时，则有m>2m+1，解得m<−1；

当B≠⌀时，m≤2m+12m+1<−2或m≤2m+1m≥4，

解得m∈⌀或m≥4，

综上，m<−1或m≥4，

所以实数m的取值范围为{m|m<−116.解：(1)当a=0时，f(x)=1，此时f(x)<0的解集为⌀，成立；

当a≠0时，不等式f(x)=ax2−ax+1<0的解集为⌀，

则a>0(−a)2−4a≤0，解得0<a≤4，

综上，0≤a≤4，即a的取值范围是[0,4]；

(2)f(x)≥2−x，即为ax2+(1−a)x−1≥0，

当a=0时，x−1≥0，解得x≥1，即不等式的解集为{x|x≥1}；

当a≠0时，ax2+(1−a)x−1≥0即为a(x−1)(x+1a)≥0，

对应方程a(x−1)(x+1a)=0的解为x1=1，x2=−1a，

当a>0时，不等式为(x−1)(x+1a)≥0，且x1>x2，不等式的解集为{x|x≤−1a或x≥1}；

当−1<a<0时，不等式为(x−1)(x+1a)≤0，且x1<x2，不等式的解集为{x|1≤x≤−1a}；

当a=−1时，x1=x2，不等式为(x−1)2≤0，解得x=1，即x∈{1}；

当a<−1时，不等式为(x−1)(x+1a)≤0，且x2<x1，不等式的解集为{x|−1a≤x≤1}.

综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x≥1}；

当a>0时，不等式的解集为{x|x≤−17.解：(1)由已知，当15≤x≤36时，

y=−110x2+8x−90x=−110x−90x+8

≤8−2110x⋅90x=2，

当且仅当110x=90x，即x=30时取等号；

当36<x≤40时，y=0.4x+54x=0.4+54x，

∵y=0.4+54x在(36,40]上单调递减，∴y<0.4+5436=1.918.解：(1)f(x)=x+1x+3，其定义域为[0,a]；

(2)令t=x+1，则t∈[1,32]且x=(t−1)2，

∴y=f(x)=t(t−1)2+3=tt2−2t+4，

∴y=1t−2+4t

∵t−2+4t在[1,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，

∴tt2−2t+4在[1,32]上单调递增，

即此时f(x)的值域为[13,613]．

(3)令t=x+1，则t∈[1,1+a]且x=(t−1)2，

∴y=1t−2+4t，

∵t−2+4t在[1,2]19.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}⇒B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，

所以显然集合B={1,2,3,4}的最小两个元素为1，2，所以B+的最小元素为1+2=3；

对集合B={1,2,3,4}进行任意次自相加操作后，最小值在变大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，为所有偶数构成集合；

所以对C+={k|k=2n,n∈Z}再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，

故后面集合不管进行多少次相加都是与C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性质可知，对于集合B={1,2,3,4}，进行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，

得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；

所以对集合B={1,2,3,4}进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为3，4，最大的两个元素为6，7；

进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为7，8，最大的两个元素为12，13；

进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为15，16，最大的两个元素为24，25；

进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为31，32，最大的两个元素为18，49；

进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为63，64，最大的两个元素为96，97；

进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为127，128，最大的两个元素为192，193；

进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为255，256，最大的两个元素为384，385；

进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为511，512，最大的两个元素为768，769；

进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为1023，1024，最大的两个元素为1536，1537；

进行第十次自相