【《数学归纳法在中学解题中的应用探究》9000字（论文）】

数学归纳法在中学解题中的应用研究想要在命题中进行合理论证，必须了解和掌握数学归纳法且通晓其基本原理。数学归纳法可以解决比较复杂的问题，贯穿着整个数学体系，为了更好的让中学生了解并应用数学归纳法，我从数学归纳法的概念、分类着手，然后给出数学归纳法在解决问题时的具体步骤，最后再列出数学归纳法在数学解题中的一些列子，在各种题型中的应用。让学生意识到数学归纳法的重要性并且让他们运用数学归纳法去解决数学题中一些复杂的问题。通过对归纳法的了解及其在数学解题中的一些应用的研究，让更多的人认识并了解数学归纳法思想，并能运用它解决一些难以直接解决的数学问题。随着对数学归纳法深入，不仅有利于锻炼逻辑思维能力，还可以提升学生的观察力、分析力、 21.1研究背景 31.2研究目的及意义 31.3研究方法 42数学归纳法的基本概述 42.1数学归纳法的概念 43数学归纳法在中学解题中的具体应用 5 5 6 73.2数学归纳法在等式上的具体应用 7 7 8 83.3数学归纳法在不等式中的应用 9 9 3.4数学归纳法在整除问题中的应用 3.5数学归纳法在几何问题中的应用 4数学归纳法在中学解题应用中的优化模式 4.1联系生活实际 4.2重视对问题的分类归纳 4.4创设学生学习数学归纳法的兴趣 参考文献 ²吴勇.数学“三种语言”转换能力的考查及启示——以2020年几道数学高考题为例南),2020(34):22-24.2数学归纳法的基本概述3数学归纳法在中学解题中的具体应用倒下的时候配第一块骨牌碰撞，从而倒下，多米诺骨牌无论是排列多少块，都是一个循环往复的过程，只要第一块倒下，便会引起连锁反应。运用在数学归纳法中，可以理解为，只要(1)(2)这两项是成立，那么式子可以推导出来，所以要保障两个数字之间具有一定的传递性4。当我们去掉多米诺骨牌的第三块，是无法推到多米诺骨牌的第四块的，因为两块骨牌之间失去了连续性，同样在整数的式子中，如果想要数学归纳法推导出来，需要保障两个数字之间有连续性，可以都是加上1,但是不能第一个数字加上1,第二个数字加上8.两者之间的连续性是为了保障假设成立。想要了解数学归纳法，必须要学习基础的推导方式，在此基础上，使用在不同的数学题型当中，才能得出最后的答案。但是总结来说，数学归纳法的应用和“拆、添、并、放”有关。不同的题型5,使用不同一般的，常用的步骤为综合(1)(2),对一切自然数n(≥nO),命题P(n)都成立。在推导的过程中，需要对于式子左边的步骤进行化简，达到最终运算的目的，在这这里为了讲述清楚，特别用左右进行标注初学者在进行数学归纳法的具体应用中，经常好出现的易错点为以下几步，这对于研究学生如何更好的学习数学归纳法有着重要的作用。数学问题的探索，虽然是为了寻求一般的规律。但是存在一些特例，对于最终的结果也会产生一定影响。所以需要先考察一些特例，进行归纳，才能形成进一步的猜想6,最终证明自己的猜想是否正确，也就是归纳特例规矩，进行猜想，最后论证的一个过程。数学归纳法可以证明一些等式，但是等式并不一定的直接给出的。弄不清n=k到n=k+1式子之间的变化。在上述的例子中，虽然是为了证明数学题的变化，但是大部分的学生知识简单的看后面的因式变化，并未将左边的因式的变化放入到学习当中。学生在使用数学归纳法的时候，容易忽略假设条件，没有使用到3.2数学归纳法在等式上的具体应用在数学上，无论变量如何取值，算式永远是可以成立的等式。这是两个解析是之间的一种关系，假设已经给定了两个解析式，如果对于他们的定义区域内的任一一组数或者数组，都是相等的值，这两个解析式就是恒等式。数学归纳法在恒等式中应用较多，其主要的目的是为了证明等式左右两边是相等的。证明过程(1)当n=1时，左边=1=(2×1-1)2=右边，等式成立那么,当n=k+1时有(k+1)+(k+2)+...+(3k-2)+(3数学恒等式应用数学归纳法的过程中，需要注意以下两点：命题的关键在于“先看项”,需要了解清楚两边之间的构成规律，在进行数学的题目解析。等式两边“项”的多少，这是决定了“n”的取值的一个重点项目。在n=k到n=k+1式子之间。可以发生多少的变化，增加的多少项，减少多少项。在进行递推过程中，也就是在第二步进行n=k到n=k+1的推导过在第二步骤中，需要突出假设和结论，明确目标，充分考虑到命数学的基本思维是归纳和推理，因此在不等式证明中，数学证明法可以充分的利用这一思维，进行不等式的证明。在中学生时期，学生解答不等式的问题可以说是不可或缺的，不等式的解答能够让学生新课改的实施为不等式的学习打开了新的路径，数学的学习途径更多，对于不等式这类较为复杂的学习模式，教师开始潜移默化的将数学归纳法的解题步骤应用在不等式当中。虽然数学不等式通常会以隐形的模式进入到数学归纳法的详细解析当中。在解答不等式的过程中，数学归纳法是不可缺少的方法之一，他可以通过无限次的假设和验证替代无限次的验证，以此来证明不等式命题之间的合理性，从理论上正式不等式的规律性，总结特定条件下，食物的规律，用这一方法也可以证明和不等式有关的大部分的问题。通过数学归纳法在解析不等式的过程中，可以通过分析不等式两边的形式，尤其是左边算式的形式构成等，找到两者之间的差异，为了弄清这一方式，通常可以7程晓亮，曾琬婷.师范生培养模式的探索与实践——以数学学科为例[J].吉林师范大学学报：人文社会科学数学归纳法应用在不等式的解析中，相较于其他的算是，不等式的证明较为复杂，(2)假设当n=k时，(k≥2,k∈N)不等式成立由(1)(2)数学归纳法中可以得知，即当n=k+1时，不等式也成立，故对于任意正整数n,不等式都成立归纳假设的利用可以尝试寻找不同的方式，在证明不等式的过程中，有时候需要使用不等式中的某些项，从而形成一个替代，使得问题可以成立例3:求证3n>3n+1(n≥4,n∈N)证明：(1)当n=4时，34>3*4+1,原不等式成立由(1)(2)数学归纳法中可以得知，综上所述，当(n≥4,n∈N),原不数学不等式运用数学归纳法进行解题，其核心是为了理解，帮助学生并不能很好的理解3n>3n+1两者之间的联系，不理解数学归纳法的具于中学阶段的学生已经开始初步建立自己的思维，在这一过程中，学其中的关键核心，进而影响了最终的使用效果。3.4数学归纳法在整除问题中的应用整数性问题的运用上有一定的局限性，只能证明命题是正确的。在使例4:证明f(n)=5n+2·3n+1能被8整除。(2)假设当n=k时，原命题成立，即f(k)=5k-1+2·3k+1能被8整除，=5·5k+6·3k+1+4·3k-1由(1)(2)数学归纳法中可以得知，整除性问题成立。3.5数学归纳法在几何问题中的应用例5:证明凸n边形的对角线的条数f(n)=n(n-3).(n≥3)(2)假设：当n=k(n≥3)时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f(k)=k(k-3)。那么当n=k+1,凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k-2个顶点A2,A3,A4,.,Ak—1可画出k-2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸边形的对角线条由(1)(2)数学归纳法中可以得知，当n=k+1时，命题也成立。虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关命题的重要方法，但是由于使用数学归纳法证明过程中，过程较为繁琐，且难以操作。因此中学生在使用数学归纳法分析正整数问题的过程中能够，需很难避开数学的思维定式，无法参透命题个本身的特点。步骤的繁多性容易导4数学归纳法在中学解题应用中的优化模式大部分学生认为数学学习起来比较困难，其中最根本的原因是因为数学课程的教授比较抽象。特别是在讲授数学归纳法的学习中，大部分的学生一开始是完全听不懂的，并不能理解其中的内在含义，因通过多米诺骨牌在学生的思维中建立一个具体的形象，进而帮助学生学生在学习数学的过程中，不应陷入抽象的困境中，将生搬硬套作为自己的学习中心，这样做的问题一是对于学习中等的学生而言，难以真正理解数学归纳法的内在含义。所以需要做大量的习题，不但浪费了时间，降低了数学学习的效率，还可能导致学生产生畏难的心甚至开始便不能理解，即使后期认真学习了，学生对于数学归纳法的印象也仅仅停留在抽象的学习当中，对于数学归纳法的学习无法得到学生需要理解数学归纳法中的具体知识，进而进行具体的应用。10黄东锋，姚顽强，史经检，张静，阮青山.序贯平差迭代公式再探讨[J].测绘地理信息，2018,43(4):88-91解题之间个步骤之间的联系运用，帮助学生更好的运用数学归纳法解4.3构建数学归纳法的学习网络想要学习好数学归纳法，最重要是构建出数学归纳法的详细学习网络，中学生在利用数学归纳法解题的过程中，初期可能运用的不够熟练，认为数学归纳法学习起来较为困难，因此可以采用构建自己学习网络的方式，正确的帮助自己学习数学归纳法的使用。一是详细的了解数学归纳法的具体含义，对于其中涉及到的基础知识牢记于心，这需要学生在学习的过程中打好基础；二是参透基础题型的含义，在学好数学归纳法之后，学生需要从简单的习题运算开始学生，如属于较为简单的例子，学生可以尝试推导此项题目，反复的将基础题型中的问题进行仔细的琢磨，探索每一步骤之间的联系，构建出自己的数学归纳法的学习网络，并非需要从一开始就主动的使用高考题进行练习，高考题目可能是学生学习的终极目标，但是高考题目大多设计比较复杂，需要大量的步骤推算，学生在推算的过程中及其容易混乱，最终难以掌控学习归纳法中每一个步骤的具体含义，因此学生在学习的过程中，需要根据自己的水平结合教师的建议，从基础的题型进行学习12。只有探索知识间的联系，并且构建出属于自己的知识网络，才能使得学生在使用数学归纳法在证明不同的题型时，能清楚的考虑到其中的考点，选择合适的方法帮助自己解答题目。中学生在进行数学归纳法进行解题的过程中，由于数学归纳法学习较为困难，因此在初期的练习中，因为联系较为困难，所以学生常会有思路错误或者没有思路的困扰。因此除了解题之外，学生的兴趣也是学习的关键内容之一，学生将数学归纳法和自己感兴趣的事物联如在学习数学归纳法在整除问题中的应用是，因为设计到整除性的知识，所以学习起来较为困难，对于学生而言，如果想要更有兴趣的将数学归纳法运用到整除数中，可以为自己设立一个目的，即自己如果能够正确的运用数学归纳法完成数学题目的详细解答之后，学生可以通过给自己奖励的方式，更好提升自身对于数学归纳法的兴趣，5结语综上所述，数学归纳法的学习并非一个生搬硬套的学习过程，需要仔细的探索其中的详细解题步骤，进而找出在不同题型中的解题方式。以上为数学归纳法的基本形式，并且就数学归纳法的学习进行了一个简单的整理，使得中学生能在学习过程中，有了更为仔细的了解到数学归纳法的方式和方法。随着随带的发展，数学归纳法的学习正在不断的优化当中，但是其中的学习核心还是