2025届浙江省杭十四中数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届浙江省杭十四中数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．已知为偶函数，且，则___________.3．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.4．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则的值是（）A. B.C. D.5．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（）A.20 B.25C.40 D.506．设等比数列的前项和为，若，则（）A. B.C. D.7．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（）A. B.C. D.8．已知一质点的运动方程为，其中的单位为米，的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（）A. B.C. D.9．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（）A. B.C. D.11．若复数z满足（其中为虚数单位），则（）A. B.C. D.12．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值为______14．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________15．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温(单位：℃)为太阳落山后的时间(单位：)．当________时，蜥蜴体温的瞬时变化率为16．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.18．（12分）已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点.（1）求点和点的坐标；（2）求圆的方程.19．（12分）已知抛物线C:（1）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点20．（12分）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.（1）求圆C的方程；（2）当时，求线段AB的长；（3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围22．（10分）某高中招聘教师，首先要对应聘者的简历进行筛选，简历达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得4分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得3分，答错得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊来应聘，他们中仅有3人的简历达标，若从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人简历达标的概率；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响，求该应聘者的面试成绩X的分布列及数学期望

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.2、8【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【详解】为偶函数，且，.故答案为：83、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A4、D【解析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，由题意知，，，关于轴成对称分布，又，故所求的值为故选：D5、A【解析】根据系统抽样定义可求得结果【详解】分段的间隔为故选：A6、C【解析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.7、B【解析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共个基本事件，∴,而A、同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴，则在事件A发生的情况下，发生的概率为,故选:8、C【解析】求出即得解.【详解】解：由题意得，故质点在第1秒末的瞬时速度为.故选：C9、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.10、A【解析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值.【详解】设点与，则，，所以，，又点与在椭圆上，所以，，作差可得，即，所以，故选：A.11、B【解析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：B12、A【解析】利用对数的性质可得，，再构造函数，利用导数判断，再构造，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求解.【详解】由题意可得均大于，因为，所以，所以，且，令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，即，令，，当时，，所以在上单调递减，由，，所以，所以，综上所述，.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，∴，又，∴，即，∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：.14、【解析】由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，所有由题意可得，即，则，所以离心率,故答案为：.15、5【解析】求得导函数，令，计算即可得出结果.【详解】，，令，得：.解得：.时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为故答案为：5.16、4【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.【详解】由题意知：，，若，∴，，∴，而，则，而，∴当时，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2），a的取值范围为.【解析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结，由等边三角形可知：在中，，，，于是，故椭圆C的离心率为；（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，从而，故；当，时，存在满足条件的点.故，a的取值范围为.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.18、（1）A（1,7）,（2）【解析】（1）与的的交点为点D,与的的交点为点A,联立解方程即可得出结果.（2）设圆P的圆心P为，由，，计算求解即可得出点坐标，由求得半径，进而可得出圆的方程.【小问1详解】由题可得：与的的交点为点D,故由，解得：，故与的的交点为点A,，解得：，故A（1，7）【小问2详解】设圆P的圆心P为，由与圆相切于点A，且的斜率为,则即，即，①又圆P为的外接圆，则BC为圆P的弦，又边BC所在直线的科率为,故根据垂径定理，有进而，即②，联立①②，解得：，即故，则圆P的方程为：.19、（1）（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义，可得点的坐标；（2）可设直线的方程为，，，，与抛物线联立，消，利用韦达定理求得，，再根据，可得，从而可求得参数的关系，即可得出结论.【小问1详解】解：设，，由抛物线的定义可知，即，解得，将代入方程，得，即的坐标为；【小问2详解】证明：由题意知直线不能与轴平行，可设直线的方程为，与抛物线联立得，消去得，设，，，则，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直线方程为，当时，，所以直线过定点20、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根据圆圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.【小问1详解】由题，设圆C的标准方程为，则，解得.故圆C方程为；【小问2详解】根据题意可知，直线的方程为，即，圆心C到直线的距离为，故弦长；【小问3详解】设，则，又直线方程为：，故直线过定点Q，设圆心C到直线距离为，则，故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，∴线段长度的最小值4.21、（1），（2）【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为，焦点坐标为【小问2详解】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），因为，所以，即，所以①，因为线段MN的垂直平分线过点A（0，1），所以，即②，联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，