2025届河南省扶沟县数学高二上期末质量检测试题含解析

2025届河南省扶沟县数学高二上期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若数列满足，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.2．下列曲线中，与双曲线有相同渐近线是（）A. B.C. D.3．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）A.10 B.11C.12 D.134．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A. B.C. D.5．函数的最小值为（）A. B.1C.2 D.e6．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.7．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8．若等比数列中，，，那么（）A.20 B.18C.16 D.149．函数的值域为（）A. B.C. D.10．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.11．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B.C.1 D.12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知离心率为，且对称轴都在坐标轴上的双曲线C过点，过双曲线C上任意一点P，向双曲线C的两条渐近线分别引垂线，垂足分别是A，B，点O为坐标原点，则四边形OAPB的面积为______14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.15．数列满足，，其前n项积为，则______16．已知等差数列中，，，则______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.18．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值20．（12分）年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号年份单价（元/公斤）经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由附：，21．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程22．（10分）已知直线，圆.（1）证明：直线l与圆C相交；（2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式；【详解】解：因为①，当时，，当时②，①②得，所以，当时也成立，所以；故选：D2、B【解析】求出已知双曲线的渐近线方程，逐一验证即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.故选：B3、C【解析】根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，则由题意可得，解得，则.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.4、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.5、B【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值【详解】化简可得：令，故的最小值即为的最小值，是关于的单调递增函数，易知对求导可得：当时，单调递减；当时，单调递增则有：故选：B6、D【解析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，故选：D，7、D【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断【详解】若，，则，，充分性不成立；反过来，若，，则时，必要性不成立；因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.故选：D8、B【解析】利用等比数列的基本量进行计算即可【详解】设等比数列的公比为，则，所以故选：B9、C【解析】根据基本不等式即可求出【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为故选：C10、A【解析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量的运算求出线面角的正弦值【详解】取AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设三棱柱的棱长为2，则，∴设为平面的一个法向量，由故令，得设直线AD与平面所成角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为故选A【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理．在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角．解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误11、B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离【详解】解：抛物线的焦点准线方程，设，，，解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为，故选：B【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题12、C【解析】依题意，直线与直线互相垂直，，，故选二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，可得双曲线方程为，设，则到两渐近线的距离为，，从而可求四边形的面积【详解】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，又双曲线过点，，∴，故双曲线方程为，∴渐近线方程为，设，则到两渐近线的距离为，，且，∵渐近线方程为，∴四边形为矩形，∴四边形的面积为故答案为：214、【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因为，所以①②两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.15、【解析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.【详解】由，，可得，，，，，，由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为故答案为：16、【解析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，由题意可得，又，，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，，由得：，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为联立椭圆方程，得：，整理得：，得：，将代入得，所以的面积.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.【详解】（1）令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，，故有.（2）由①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；②当时，令可得，此时函数的增区间为，减区间为.若函数有两个零点，必须且，可得，此时，又由，当时，由(1)有，取时，显然有，当时，故函数有两个零点时，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意20、（1），元/公斤；（2）应该种植经济作物；理由见解析【解析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解.【详解】（1），，则关于回归直线方程为当时，，即估计年经济作物的单价为元/公斤（2）利用频率和为得：，所以经济作物的亩产量的平均值为：，故经济作物亩产值为元，经济作物亩产值为元，应该种植经济作物21、（1）；（2）.【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.22、（1）证明见解析；（2）；（3）点Q恒在直线上，理由见解析.【解析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆方程，联立