北京市西城区第四中学2025届高二上数学期末联考试题含解析

北京市西城区第四中学2025届高二上数学期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）A. B.C. D.2．已知分别是等差数列的前项和，且，则（）A. B.C. D.3．方程表示的曲线是A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线4．数列满足，，，则数列的前10项和为（）A.60 B.61C.62 D.635．下列命题中，正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<bC.若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D.若，则a<b6．抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A.1 B.2C. D.47．已知为等比数列的前n项和，，，则（）A.30 B.C. D.30或8．在单调递减的等比数列中，若，，则（）A.9 B.3C. D.9．定义在区间上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则A.B.C.D.10．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，11．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）A.1 B.C. D.12．已知集合，，则A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______14．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.15．已知，，，若，则______.16．已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数R)（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间18．（12分）设数列的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）设且前项和为，求19．（12分）已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由20．（12分）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）证明：；（2）若点E是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值21．（12分）某高中招聘教师，首先要对应聘者的简历进行筛选，简历达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得4分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得3分，答错得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊来应聘，他们中仅有3人的简历达标，若从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有2人简历达标的概率；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响，求该应聘者的面试成绩X的分布列及数学期望22．（10分）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率故选：A.2、D【解析】利用及等差数列的性质进行求解.【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，故选：D3、D【解析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线在求解方程时要注意变量范围.4、B【解析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.【详解】当且为奇数时，，则，当且为偶数时，，则，∴.故选：B.5、D【解析】运用不等式性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.故选：D6、B【解析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.7、A【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.【详解】由得，则等比数列的公比，则得，令，则即，解得或（舍去），，则故选：A8、A【解析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.【详解】设等比数列的公比为，则由，，得，解得或，又单调递减，故，.故选：A.9、D【解析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出【详解】令，，，，恒成立，，，，函数在上单调递增，，令，，，，恒成立，，函数在上单调递减，，．综上可得：，故选：D【点睛】函数的性质是高考的重点内容,本题考查的是利用函数的单调性比较大小的问题,通过题目中给定的不等式,分别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系．在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则．对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响10、C【解析】根据空间向量共面的条件即可解答.【详解】对于A，由，所以，，共面；对于B，由，所以，，共面；对于D，，所以，，共面，故选：C.11、C【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，因为平行四边形也是中心对称图形，所以也是椭圆上关于原点对称的两点，所以不妨设，即，，得：，即，故选：C12、B【解析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，可得∥，从而可得，代入坐标列方程可求出，从而可求出【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，所以，故答案为：14、【解析】利用正弦定理求得甲驱逐舰与乙护卫舰的距离.【详解】，设甲乙距离，由正弦定理得.故答案为：15、【解析】根据题意，由向量坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.【详解】因为，，，若，则，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.16、【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减，由已知可得，由可得，可得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析【解析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程；(2)求导，分类讨论可得.【小问1详解】当时，，，，则，所以在处的切线方程为【小问2详解】，，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；（2）计算，利用并项求和法可求得.【小问1详解】证明：对任意的，，则，且，故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.【小问2详解】解：，所以，，因此，.19、（1）；（2）是定值，理由见解析.【解析】（1）由题意有，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有，即可写出椭圆方程；（2）直线与椭圆交于两点，联立方程结合韦达定理即有，已知应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明的面积是否为定值；【详解】（1）椭圆离心率为，即，∵点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，∴，综上有：，，故椭圆方程为，（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：，整理得，设，则，，，，原点到的距离，为定值；【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证出平面，即可证得；（2）以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式即可求出【小问1详解】如图，连接，由已知可得四边形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交线为，在中，可知，所以平面，于因为，所以平面，而平面，所以【小问2详解】如图所示，以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，于是设平面的法向量为，则，可取而平面的一个法向量为，所以故平面与平面所成锐二面角的余弦值为21、（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出对应的概率，