2025届甘肃省张掖市数学高二上期末检测试题含解析

2025届甘肃省张掖市数学高二上期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的个数有（）（ⅰ）命题“若，则”的否命题为：“若，则”；（ⅱ）“，”的否定为“，使得”；（ⅲ）命题“若，则有实根”为真命题；（ⅳ）命题“若，则”的否命题为真命题；A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）A. B.C. D.3．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知实数，满足，则的最小值是（）A. B.C. D.5．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）A. B.C. D.6．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝17．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（）A.越大，双曲线开口越小 B.越小，双曲线开口越大C.越大，双曲线开口越大 D.越小，双曲线开口越大8．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（）A.8 B.10C.12 D.149．抛物线的准线方程是，则a的值为（）A.4 B.C. D.10．以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是（）A.0 B.1C.2 D.311．已知，则条件“”是条件“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则的最小值是其中正确结论的个数为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列an满足，则__________14．已知离心率为，且对称轴都在坐标轴上的双曲线C过点，过双曲线C上任意一点P，向双曲线C的两条渐近线分别引垂线，垂足分别是A，B，点O为坐标原点，则四边形OAPB的面积为______15．已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________16．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值19．（12分）设为数列的前n项和，且满足（1）求证：数列为等差数列；（2）若，且成等比数列，求数列的前项和20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）（1）求抛物线的标准方程；（2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点21．（12分）如图，四边形是正方形，平面，，（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值22．（10分）设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据四种命题的结构特征可判断（ⅰ）（ⅳ）的正误，根据全称命题的否定形式可判断（ⅱ）的正误，根据判别式的正误可判断（ⅲ）的正误.【详解】命题“若，则”的否命题”为“若，则”，故（ⅰ）错误.“，”的否定为“，使得”，故（ⅱ）正确，当时，，故有实根，故（ⅲ）正确，“若，则”的否命题为“若，则”，取，则，故命题若，则为假命题，故（ⅳ）错误.故选：B2、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.3、C【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；若命题为真，则的值域包含，则或，；为真，为假，一真一假，若真假，则；若假真，则；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.4、A【解析】将化成，即可求出的最小值【详解】由可化为，所以，解得，因此最小值是故选：A5、D【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，，取AC的中点O，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以在上的投影的长度为，故点C到直线距离为：.故选：D6、A【解析】根据双曲线定义求解【详解】,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选：A第II卷（非选择题7、C【解析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C.8、C【解析】利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，过焦点F，准线方程为：，作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，则，，，，故选：C9、C【解析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，又准线方程是，所以，所以.故选：C10、C【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.11、A【解析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【详解】因为，所以，所以.故选：A12、C【解析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2019【解析】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.【详解】由知故所以故答案为：201914、2【解析】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，可得双曲线方程为，设，则到两渐近线的距离为，，从而可求四边形的面积【详解】由离心率为，∴双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，又双曲线过点，，∴，故双曲线方程为，∴渐近线方程为，设，则到两渐近线的距离为，，且，∵渐近线方程为，∴四边形为矩形，∴四边形的面积为故答案为：215、107【解析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.【详解】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.【点睛】本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.16、【解析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，即；【小问2详解】设平面的法向量为因为，由，得，令，则所以平面的一个法向量为，又所以故直线与平面所成角的正弦值为19、（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答.（2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，有，两式相减得：，同理可得，于是得，即，而当时，，所以数列为等差数列.【小问2详解】由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d，依题意，，解得或，当时，，当时，.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由点在抛物线上可得出，再利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点、，利用斜率公式结合已知条件可得出的值，分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：抛物线的焦点为，由已知可得，则，，，解得，因此，抛物线的方程为.【小问2详解】证明：设点、，则，可得.若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，可得，此时，合乎题意.所以，直线的方程为，故直线恒过定点.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接与交于点O，易得平面，取的中点M，易得为平行四边形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据与平面所成角为，由，解得，然后分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点O，因为为正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中点M，连接，注意到为的中位线，故，且，因此，且，故为平行四边形，即，因此平面，而平面，故平面平面（2）以A坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，由（1）可知平面，因此平面的一