2021年初中数学三角形专项提升训练习题

2021年初中数学三角形专项提升训练

一、单选题

1.如图，AB//CD,以点8为圆心，小于OB长为半径作圆弧，分别交84、BD于点、E,F,再分别以点E、F

为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G,作射线8G交于点儿若ND=116°,则的大

2

小为（）度.

A.8B.16C.32D.64

2.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若Nl=19。，则N2的度数为（）

3.a、b、c是三角形的三边长，化简|a—人一c|+1a-c|+|c—。一。|后等于（）

A.b+a—3cB.a+b+cC.3a+3b+3cD.a+b-c

4.如图，在RSABC中，NACB=90。，AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上

的动点，则PC+PQ的最小值是（）

5.如图，点A，A，4,4,…在同一直线上，==AiA2,A2B2=A2A3,人员=人儿，……，若£）8的

度数为％,则NA,纥4+1的度数为（）

B

A.击（180。—x）B.^（180°-x）

c-击（180。-力D-^-（180°-%）

6.如图，在中，ZAC5=90°,按以下步骤作图：①以3为圆心，任意长为半径作弧，分别交84、BC

于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于‘MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线50，交

2

边AC于。点.若AB=10,BC=6,则线段CO的长为（）

7.如图，在△ABC中，NC=90。，BC=1,AC=2,8。是NABC的平分线，设△ABO,△BCD的面积分别是Si,

S2,则S1:S2等于（）

A.2：1B.75：1C.3：2D.2：73

8.如图，在RtZXABC中，NC=90°,直线MN垂直平分A8交AB于M,交BC于N,且N3=15°,AC=2cm,

则BN的长为（）

3cmD.4.5cm

9.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,NA=90。，点。在△ABC内，且08平分NABC,OC平分N4C8,过点O

试卷第2页，总8页

作直线P。，分别交48、AC于点P、Q,若△APQ与△ABC相似，则线段尸。的长为（)

10.下列长度的三条线段，能首尾相接组成三角形的是（

A.1,2,3B.2,5,8C.3,3,3D.1.3,1.2,2.5

11.如图，NMON=30°点A],劣，4,…在射线ON上，点用，B2,鸟,…在射线上，,

△A383A4,…均为等边三角形，若。4=1,则边线与的长为（）

B"

414曲

A.B.1273C.32百D.64V3

12.如图，AB=AC,CD=CE.过点C的直线fG与OE平行，若NA=38°,则/1为（）

A.42°B.54.5°C.58°D.62.5°

13.在中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点P是所在平面内一点，则PA?+「加+PC?取

得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是AABC三边垂直平分线的交点B.点P是AABC1三条内角平分线的交点

C.点P是AABC三条高的交点D.点P是AABC三条中线的交点

14.如图，AABC为等边三角形，8。为中线，延长BA至。，使A£>=AO,则的度数为（）

c

A.105°B.120°C.135°D.150°

15.如图，等边AAOB中，点8在x轴正半轴上，点A坐标为（1,G卜将^AOB绕点。逆时针旋转30°,此时点

C.(0,2)D.(73,1)

第H卷（非选择题）

请点击修改第n卷的文字说明

二、填空题

16.如图，点P是三角形三条角平分线的交点，若NBPC=100。，则NBAC=

17.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,AD1BC,垂足为D,点E，b分别是线段AB，AO上的

动点，且3E=AF，则线段3b+CE的最小值为.

18.在△A8C中，ZB=90°,BC=3,AB=5,在4?边上取一点E，使得CE=J16，连结CE,过点E作

试卷第4页，总8页

DELCE交AC于点D,则ACDE的面积为

19.如图，在正方形ABC。中，将A。、BC分别沿A产、8E折叠，折叠后点。与点C重合于点G,作AABG的

外接圆，若AB=6,则阴影部分的面积为.

20.如图，△ABC的面积是21,点。、E、F分别在边BC、AB、AC上，且AE=2,EB=4.若△ABO与四边形

DFEB面积相等，则4ADC的面积=.

21.如图在AABC中，AG=BG,BD=DE=EC,AC=4AF,若△ABC面积为48,则四边形。EFG的面积为

22.4,A2,A3,…A“+i,04=1,A2A3=4,A,4+i=2",A”

如图，直线上有点且AIA2=2,分别过点

3

h

Ai,A3,…4+i作直线y=X-x的垂线，交y轴于点Bi,B2,…&+i,依次连接A1B2,A2B3,A3B4,…

3'

得到△A1B1B2,AA2B2B3,△A3B3&,…，△AnBiiBn+i,则△A4&B5的面积为.

23.如图，B、C、。在同一直线上，ZB=ZD=90°,AB=CD=1,BC=DE=3,则△ACE的面积为

三、解答题

24.如图，在AABC中，ZABC=70°,AB=AC=S,。为A3中点，点N在线段AO上，MMI/AC交AB于

点MBN=3.

A

(1)求NC4D度数；

(2)求的周长.

25.如图，AB=AC,直线/过点4,直线/,CN上直线I,垂足分别为M、M且

(1)求证AAMB丝/XCNA；

(2)求证NB4C=90°.

试卷第6页，总8页

26.已知AABC的两边长a和b满足6-4f=0.

（1）若第三边长为c,求c的取值范围.

（2）若AABC是等腰三角形，求AABC的周长.

27.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成

的角N8AC,且AB=AC,从而保证伞圈。能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈。

已滑动到点仪的位置，且4,B,以三点共线，AD'=40cm,3为AO中点，当N&4C=140。时，伞完全张开.

（1）求的长.

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈力沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据：

sin700-094,cos70°«0.34,tan70°。2.75）

28.如图，在△ABC中，AB=AC,点。、E、尸分别在8C、A8、AC边上，且BE=CF,AD+EC=AB.

⑴△DEF是____________三角形；当/A=40。时，NZJEF的度数为°；

（2）请你猜想：当乙4为多少度时，ZEDF+ZEFD=\20°,并请说明理由.

29.如图，是一个地下排水管的横截面图，已知。O的半径04等于50cm,水的深度等于25CTM（水的深度指的

中点到弦AB的距离）.

求：（1）水面的宽度AB.

（2）横截面浸没在水中的AB的长（结果保留兀）.

30.如图，AABC中，/ABC与NACB的平分线交于点F,过点F作DE〃BC交AB于点D,交AC于点E,

(1)求证：DE=BD+CE；

(2)若AB=5cm,AC=4cm,求△ADE的周长.

31.如图，正方形ABCD中，点E、尸分别在BC、CD上,且尸是等边三角形.

求证：CE—CF.

32.如图，已知等边△ABC,点P在AA3c内，点。在AABC外，分别连接AR8P,

AQ,CQ,NABP=ZACQ,BP=CQ.

(1)求证：AABP丝AACQ；

(2)连接PQ,试判断AAPQ的形状，并说明理由；

(3)连接PC,设ACPQ是以NPQC为顶角的等腰三角形，且NBPC=100。，求Z4尸3的度数.

试卷第8页，总8页

2021年初中数学三角形专项提升训练参考答案

1.C

【分析】

先根据平行线的性质得出结合角平分线的性质得出再利用三角形的内角和计算即

可.

【详解】

解：由题意可知：BG是的角平分线

NABH=NDBH

,/ABIICD

NABH=NDHB

：.NDHB=NDBH

•••ZD=116。

:.ZDHB=(18O°-1I6°)+2=32°

故选：C.

【点睛】

本题考查平行线的性质、角平分线的性质、尺规作已知角的角平分线、等腰三角形、三角形的内角和，熟练进行角

的转换是关键.

2.A

【分析】

先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解.

【详解】

解：•••正六边形的每个内角等于120。，每个外角等于60。，

.,.ZMD=120°-Zl=101°,ZADB=60°,

：.ZABD=101°-60°=41°

；光线是平行的，

Z2=ZABD=41°，

故选A

答案第1页，总27页

B/及,J

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解

题的关键.

3.B

【分析】

由三角形的三边关系，得到a+c>。，b+c>a,a+b>c,然后根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案.

【详解】

解：..飞、b、C是三角形的三边长，

a+ob,h+c>a.a+h>c,

".\a—b—c\+\b—a—c\+\c-a—l^

-\a—{b+c)\+\b—(a+c)\+\c—(a+b^

=(h+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c')

-a+b+c；

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简.

4.C

【分析】

过点C作CE1AD并延长,交AB于点F,然后过点F作FH±AC于点H,交AD于点M,由题意易得△AEC^AAEF,

则有AC=AF,CE=FE,进而根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可得PC+PQ的最小值即为FH的长，则过点

C作CN1AB于点N,根据等腰三角形的性质可得腰上的高线相等可求FH的长.

【详解】

解：过点C作CELAD并延长，交AB于点F,然后过点F作FH,AC于点H,交AD于点M,如图所示：

答案第2页，总27页

c

ZCEA=ZFEA=90°,

VAD^^-ZCAB,

.,.ZCAE=ZFAE,

；AE=AE,

.".△AEC^AAEF(ASA),

；.AC=AF,CE=FE,

根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可得PC+PQ的最小值即为FH的长，

过点C作CNLAB于点N,

VAACF是等腰三角形，

易得FH=CN,

VZACB=90°,AC=6,BC=8则AB=10,

-'-SACB^-AB-CN^-ACBC,

:.FH=CN=丝,

5

...PC+PQ的最小值为g；

故选C.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质与判定及轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及轴对称的性质是解题

的关键.

5.C

【分析】

根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算

【详解】

解：：在AABAi中，ZB=x,AB=AiB,

答案第3页，总27页

VAIA2=AIBI,ZBAIA是4A1A2B1的外角，

.//1,1180。一X1800—x

.♦NAiBiA2=NAIA?Bi=—NBAiA=-x-----------=------------；

22222

□m-re，/1/11800-%1800-X

同理可得，ZA2B2A3=ZA2AJB2=—ZA1B|A2=—X---------------=-----------------;

222223

；♦NAnBnAn+l=^Yf(180°—X)

故选：C.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键.

6.A

【分析】

由尺规作图痕迹可知，8。是NABC的角平分线，过。点作于4点，设QC=QH=x则AQ=AC-Z)C=8-x,

BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在RtaA。”中，由勾股定理得到(8-x)2=X2+42,由此即可求出x的值.

【详解】

解：由尺规作图痕迹可知，8。是N4BC的角平分线,

过。点作于，点，

VZC=ZD//B=90°,

：.DC=DH,

AC=\lAB2-BC2=41O2-62=8，

®DC=DH=x,则AQ=AC-QC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在RsAOH中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2-

代入数据：(8-X)2=X2+42,解得X=3,故CD=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练

答案第4页，总27页

掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键.

7.B

【分析】

由已知条件可得点。到NABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形

的底的比即可.

【详解】

解：过。作于E,如图，

:友）是NABC的平分线，

：.DE=DC

又NC=90°,BC=1,AC=2,

."8=722+12=#），

ASuS2=A8：BC=石：I.

故选：B.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键.

8.A

【分析】

连接AN,可得/4NC=30°,可求AN=8V=4cm.

【详解】

解：连接4V,

•.•直线MN垂直平分AB,

：.AN=BN,

：.ZNAB=ZB=\50,

N4NC=30°,

VZC=90°,AC=2cm

：.AN=BN=4cm.

故选：A.

答案第5页，总27页

A

M

B

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质和含30。角直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是恰当连接辅助线，

构造等腰三角形，熟练应用相关性质解题.

9.B

【分析】

当尸。〃8c时，△APQS/SABC,如图1,根据角平分线的定义得到根据等腰三角形的性质得到

PB=PD,同理，DQ=CQ,设AP=4x,AQ=3x,根据勾股定理得到PQ=5x,根据题意列方程即可得到结论；当

N4PQ=NACB时，&APQS“ACB,由勾股定理得到BC=10,过。作OE_LA8于E,。尸_LAC于凡£)G_LBC于

G,根据角平分线的性质得到OE=。/=OG,根据三角形的面积公式得到近="生型=2,四边形AED厂是正

2

PFDFAC33R

方形，推出△求得一=—=—=—,得至lJPE=—，FQ=_,根据勾股定理即可

DEFQAB423

得到结论.

【详解】

解：当尸。〃3c时，△APQSAABC,如图1,

:./PBD=/CBD,

*：PD//BC,

:.ZPDB=ZDBC9

:./PBD=/PDB,

:.PB=PD,

同理，DQ=CQ,

ZAPQ=ZABC,

答案第6页，总27页

/.tanZAPQ=tmZABC=-----=—=—

AB84

・••设AP=4x,AQ=3x,

PQ=5x,

■:PB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3x,

.*.8-4x+6-3x=5x,

.7

..x=—,

6

.35

・・PQ=5x=—；

当NAPQ=NAC8时，△APQSAACB,

,.・A8=8,AC=6,ZA=90°,

ABC=10,

过。作Z)EJ_AB于E,DFLACF,0G_L3C于G,

TOB平分NABC,0c平分NAC8,

:.DE=DF=DG,

,?5AABC=—DE(A8+AC+8C)=—AB-AC,

22

•••CE=6+870=2,四边形AE。尸是正方形,

2

：.DF//AP9

：.ZEPD=ZFDQ,

同理/E£>P=NF。。，

：.APEDs丛DFQs[\CAB、

.PEDFAC_3

''~DE~FQ~~\B~^'

38

：.PE=~,FQ=一，

23

；•PD=yJPE2+DE2=^(1)2+22=|,DQ=y]DF2+FQ2=^22+(|)2=y,

答案第7页，总27页

.51035

・♦PQ=PD+DQ——H-----=—，

236

综上所述，若AAPQ与AABC相似，则线段P。的长为3二5，

6

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

10.C

【分析】

根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可.

【详解】

解：A、1+2=3,不能组成三角形，故不符合题意；

B、2+5V8,不能组成三角形，故不符合题意；

C、3+3>3,能组成三角形，故符合题意；

D、1.3+12=2.5,不能组成三角形，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.

11.C

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A]B|〃A2B2〃A3B3,以及A2B2=2BiA2,得出B|B2=g,B2B3=2V3，

B.?B4=40，以此类推，BnBn+l的长为2n“石，进而得出答案.

【详解】

解：••,△A小小2是等边三角形，

.•.A1B1=A2B1,Z3=Z4=Z12=60°,

・•・Z2=120°,

*.•ZMON=30°,

.,.Zl=180o-120°-30o=30°,

XVZ3=60°,

・•・Z5=180o-60°-30o=90°,

答案第8页，总27页

VZMON=Z1=30°,

/.OAi=AiBi=l,

・・A2B]=1,

•••△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,

.*.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

*.*Z4=Z12=60°,

I.A[B]〃A2B2//A3B3，B1A2〃B2A3，

AZl=Z6=Z7=30o,Z5=Z8=90°,

/.A2B2=2B1A2=2,

••B]B2=5/3,

VB3A3=2B2A3,

A3B3=4B1A2=4,

•*-B?B3=2y/3,

,:A4B4=8BIA2=8,

B3B4MG,

以此类推，BnBn+]的长为2曲6，

.,.B6B7的长为32G，

故选：c.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A.；B3=4BIA2,A4B4=8BIA2,A5B5=16BIA2进

而发现规律是解题的关键.

12.B

【分析】

答案第9页，总27页

根据等腰三角形的性质求得/ACB与NCDE度数，再利用两直线平行，内错角相等求N1即可.

【详解】

解：VAB=AC,NA=38。，

180°—ZA1800-38°

ZB=ZACB=----------=----------=7]0,

22

VCD=CE,

180°-ZACfi1800-71°

ZCED=ZCDE==54.5°,

22

DE//FG,

N1=NCED=54.5°,

故选：B.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是根据等腰三角形中角度的求解.

13.D

【分析】

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则PA2+p52+PC2=3(x—2)2+3(y—|)+竿,

Q

可得P(2,§)时，EV+p笈+pc?最小，进而即可得到答案.

【详解】

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图,

则A(0,0),8(6,0),C(0,8),

设尸(x,y),则PA2+PB2+PC2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-8y

=3x23+3/-12x-16j+100=3(x-2)2+3fy—，+—,

\3/3

QQ

・••当m2,产二时，即：PQ,二)时，以2+依2+夕。2最小，

33

Q

；由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：＞=——x+8,

2

4c边上中线所在直线表达式为：y=——x+4,

3

Q

又・・・P(2,§)满足A8边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式,

・・.点P是△A6C三条中线的交点,

故选D.

答案第10页，总27页

【点睛】

本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关

键.

14.B

【分析】

由△ABC为等边三角形，可求出N2O4=90。，由△A。。是等腰三角形求出NA£>0=乙4。£>=30。，即可求出的

度数.

【详解】

解：：△ABC为等边三角形，B。为中线，

AZBOA=90°,ZBAC=60°

：.ZCAD=1800-ZBAC=180°-60°=120°,

\'AD=AO,

ZADO=ZAOD=30°,

：.ZBOD=ZBOA+ZAO£>=90°+30°=120°,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性

质.

15.C

【分析】

根据等边三角形可知NAOB=60。，OA与y轴所成锐角为30。，可知A'落在y轴上，作AC_LOB,垂足为C,求出

OA长即可.

答案第11页，总27页

【详解】

解：：等边106,

.,.ZAOB=60°,

.♦.0A与y轴所成锐角为30。，

将AAOB绕点。逆时针旋转30。，可知A'落在y轴上,

作ACJ_OB,垂足为C,

22

OA=yl0C+AC=收+(6¥=2,

AA'(O,2).

故选：C

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题关键是明确旋转后的A，所在位置，根据勾股定理求出

OA长.

16.20°

【分析】

先根据三角形的内角和求出NPBC+NPCB=80°,故可得至UNABC+NACB=160°,即可得出答案.

【详解】

在ABPC中，ZBPC=100°,

...NPBC+/PCB=80。，

：P是三角形三条角平分线的交点，

NABC=2NPBC,NACB=2NPCB,

NABC+NACB=2NPBC+2/PCB=160°,

...ZBAC=180°-(ZABC+ZAC5)=20°,

故答案为：20。.

【点睛】

答案第12页，总27页

此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键.

17.V61

【分析】

先证AAGF也△C8E,得至IJGF=BE,再证BE+CF的最小值就是线段BG的长，然后由勾股定理求得BG的长，即

可解决问题.

【详解】

解：过A作AG_LAB且使得AG=BC=6,连接C/、FG、BG,

'：AB=AC,ADA,BC,

.,.点。为BC的中点，ZBAD^ZCAD,

：.ZBAD+ZABD=90°,

VBAIAG,

.,•ZBAG=90°,

：.ZBAD+ZGAF=90°,

：.ZGAF^ZABD,

又,：AF=BE,AG=CB,

:.AAGF经XCBE(SAS),

：.GF=CE,

,:FB=FC,

：.BF+CE=BF+GF,

:当点8、F、G三点共线时，GF+BF最小,

答案第13页，总27页

:.GF+BF的最小值时线段BG的长，

"：ZBAG=90°,AB=5,AG=BC=6,

•*-BG=6+6?=

即BF+CE的最小值为标，

故答案为：.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化为折线段长，利用

数形结合的思想解答.

c30

18.—

7

【分析】

ArT)r

过点。作。尺L4B,垂足为凡求出BE,证明△得到所=3。-，再根据平行得到——=--,得

ABBC

至ljAF=gDF,从而求出。尸，利用SAABC-SABCE-SAAOE求出结果.

【详解】

解：过点。作垂足为F,

•：BC=3,CE=M,

•••BE=[CF_BC2=1，

：.AE=AB-BE=4,

；CELDE,

：.ZCEB+NDEF=90°,又NDEF+NEDF=9。。,

NCEB=NEDF,

又：NB=NEFD=90°,

•MDEFsAECB,

.DEDFEFDEDF_EF

..---=----=----,艮J—f==~~r~=~r~，

CEBEBCV1013

・•・EF=3DF,

VDF1AB,BCLAB,

：.DF//BC,

.AFDFAFDF

..------=-------,BHJn-------=------,

ABBC53

答案第14页，总27页

AF=-DF,

3

5

：.AE=AF+EF=-DF+3DF=4,

3

*"•△CDE的面积=SAABC-S^BCE-ShADI^—x5x3—x3x1—x4x—=—,

22277

30

故答案为：—.

7

FE

C

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角

形.

19.8万-60

【分析】

连接。G，OA,OB,根据正方形的性质得到A£>=AB=3C,根据折叠的性质得到AG=AD,BG=BC，

求得440G=N3OG=120。，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：连接0G,OA,OB,

•••在正方形A8C0中,

...AD=AB=BC,

•••将A。、8C分别沿Ab、3E折叠，折叠后点。与点。重合于点G.

AG^AD,BG=BC,

.\AB=AG=BG,

AABG是等边三角形,

ZAOG=NBOG=120°,

•rAB=AG=BG=6，过。作OaJ_AG于，,

：.AH=3,

„„AH/T

OH-j=v3,

答案第15页，总27页

：.S1Mxi=Sg0c=；xAGxOH=gx6x也=3』,

阴影部分的面积=2x|120・工，扬--SMOG]=8万-6。，

360

本题考查了三角形的外接圆与外心，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的识别图

形是解题的关键.

20.7

【分析】

连接C£,由A8£>=S四边形可得SAAEG=O”G,证明AELSAAQF,进而可证4EC=5\AQC,求出△AEC的面积，

即可求出^AOC的面积.

【详解】

解：连接CE,记AQ与EF交于点G,

,•*SAABI>=S四边形DFEB，

••AEG=SaDFG，

••S>AEG^S^AFG=SADFG~^~SAAFGf

••S&AE产S&ADFf

设小ACE的边AC上的高为儿

则S"r=—Ab-h,SAQ=—AC,h,

设4ACD的边AC上的高为x,

答案第16页，总27页

则LOFS^ADC=^AC-X,

•SAAE产SAADF9

h=x,

•*•SAAEC=ShADCf

\'AE=2fEB=4,

S’AEC=2S/tBC=7，

S.ADC=^AEC=7•

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.

21.22

【分析】

连接EG,CG,由于BC=OE=EC,得至"8氏』BC,由AG=BG=^AB,于是得到SABDG=』SAABC=8,同理得到SAECF

326

和SAAFG,最后利用S四也盼DEFG=SAABC-SBDG-SACEF-SAAGF计算结果.

【详解】

解：连接EG,CG,

,:BD=DE=EC,

：.BD=-BC,

3

\'AG=BG=—AB,

2

.。1111

•♦SABDG--SABCG=-X丁SAABC=_SAA8c=8,

3326

-131

同理SAEC尸—X—SAABC=-SAA8U12,

344

111

SAAFG--X—5AABC=—SAABC=(>,

428

**•Spq边柩DEFG-ShABC-SBDG&CEF&AG尸48-8-12-6=22,

故答案为：22.

答案第17页，总27页

B

【点睛】

本题考查了三角形的面积，知道同高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键.

22.120百

【分析】

由直线。4,的解析式可得出/4。5,=60。,结合A,A,+i=2"可求出4,8“的值，根据三角形的面积公式求出4A“B“&+i

的面积，进而即可求得△A4&&的面积.

【详解】

解：•・•直线。4的解析式为y=@无，

3

/.ZAnOBn=60°.

VOAi=l,A]A2=29A2A3=4,A〃A〃+i=2〃，

••A\B\=yfi9A2B2~394383=7.

设S=1+2+4+..・+2"r,则25=2+4+8+..,+2〃，

・・・S=2S-S=(2+4+8+...+2〃)-(l+2+4+...+2〃-i)=2〃-1,

二4瓦=(2n-1)百.

/.S.岛Bz=gX(2"-1)VJX2"=(22,rl-2,rl)&,

=(27-23)y/3—120-\/3.

故答案为：120百.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、含30。直角三角形的性质以及规律型中数的变化规律，

根据边的变化找出变化规律""B"=(2«-1)是解题的关键.

23.5

【分析】

由“SAS'可证△ABC丝△(?£>£可得4C=CE,NACB=NCED,由勾股定理可求AC的长，即可求解.

答案第18页，总27页

【详解】

解：在AABC和△C4E中，

AB=CD

<4B=ND,

BC=DE

：./\ABC^/\CDE(SAS),

：.AC=CE,NACB=NCED,

ZCED+ZECD=90°,

：.ZACB+ZECD=90°,

NACE=90。，

VZB=90°,A8=l,BC=3,

•••AC=y]AB2+BC2=Vl+9=VW=CE,

•,巴以二夫亚乂丽=5，

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键.

24.(1)20°；(2)11

【分析】

(1)由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出/CAD度数；

(2)由平行线的性质及等腰三角形判定可得到AM=NM,则求△8MN的周长可转化成求线段AB和线段8N的和,

由题中给出的条件即可求出结果.

【详解】

解：⑴VAB^AC

，AABC是等腰三角形.

ZABC=7U。,

：.ABAC=180°-70°x2=40°.

又；。为A3中点，

，AD平分N8AC,即/84。=/6。=」/84。.

2

?.NC4D=20°.

(2)VNM//AC,

答案第19页，总27页

：.ZANM=ZCAD.

又；ABAD=ACAD

，ZANM=/BAD.

，A/WM是等腰三角形.

:.AN=NM.

•；A5=8,BN=3,

△■BMN的周长为：

BN+BM+NM=BN+BM+MA

=BN+AB

=11.

【点睛】

这道题考查了等腰三角形性质定理与判定定理和平行线的性质定理，熟练掌握有关定理是解本题的关键.

25.(1)详见解析；(2)详见解析

【分析】

(1)由"L可证△AMB丝△CNA即可；

(2)先由全等三角形的性质得/BAM=/ACN,再由余角关系/C4N+/4CN=90。，得NCAN+/BAM=90。，即可

得出结论.

【详解】

证明：(1);BM，直线/,CNL直线/,

ZAMB=ZCNA=90°,

在R3AMB和Rt&CNA中，

AB=CA

BM=AN'

:.Rt4AMB乌Rt4CNA(HL)；

(2)由(1)得：Rt4AMB^RtXCNA,

：.NBAM=NACN,

'：ZCAN+ZACN=90°,

：.ZCAN+ZBAM=90°,

：.ZBAC=180°-90°=90°.

【点睛】

本题考查垂直定义，直角三角形全等判定，互为余角的性质，平角定义，掌握垂直定义，直角三角形全等判定，互

答案第20页，总27页

为余角的性质，平角定义是解题关键.

26.(1)5<c<13,(2)22.

【分析】

(1)根据非负数的性质求出a、b,再根据三角形三边关系确定c的取值范围；

(2)对腰进行分类讨论求周长，注意能否构成三角形.

【详解】

解：(1)VV«-9+0-4)2=O,

—9=0,b—4=0,

a—9>b—4>

第三边长为C,求C的取值范围是：9-4<c<9+4,

即5W13.

(2)由(1)得，。=9,b-4,

△AHC是等腰三角形，当a为腰时，AABC的周长为：9+9+4=22,

当b为腰时，4+4<9,不能构成三角形，舍去.

【点睛】

本题考查了三角形三边关系和不等式，以及非负数的性质，解题关键是熟知三角形的三边关系和非负数的性质，灵

活运用它们解题.

27.(1)20cm；(2)26.4cm

【分析】

(1)根据中点的性质即可求得；

(2)过点8作BE_L4)于点£根据等腰三角形的三线合一的性质求出AO=2他.利用角平分线的性质求出N2AE

的度数，再利用三角函数求出AE,即可得到答案.

【详解】

解：(1);B为4y中点，

AB^-AD',

2

•••AD'=40,

/.AB=20(cm).

(2)如图，过点8作于点£

答案第21页，总27页

A

,/AB=BD，

/.AD=2AE.

•：AP平分ABAC,ABAC=140°,

NB4E」NB4C=70。.

2

在Rf^ABE中,AB=20,

AE-ABcos70°«20x0.34=6.8,

•••AD=2AE=13.6.

AD'=40,

.,.40-13.6=26.4(cm),

•••伞圈。沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm.

【点睛】

此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确

构建直角三角形解决问题是解题的关键.

28.(1)等腰，70；(2)当乙4=60。时，NEDF+NEFD=120。,理由见解析

【分析】

(1)结合题意，根据全等三角形性质，通过证明ADBEAECF得DE=EF,/BED=NCFE,

ZBDE=ZCEF；再根据等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案；

(2)根据三角形内角和性质，得NEDF+NEFD=180。-NEDF；结合(1)的结论，得

ZEDF+ZEFD=180°-ZEDF=90°+——；结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案.

2

【详解】

(1)-：AD+EC=AB,且=

EC=BD

\"AB=AC

答案第22页，总27页

ZB=ZC

BD=EC

：.JZB=ZC

BE=CF

:.ADBE%ECF

:*DE=EF，NBED=NCFE,/BDE=NCEF

...△OEF是等腰三角形

ZA=40°

180°-ZA

ZB=zc==70°

2

NBED+ZBDE=180°-ZB=110°

ZDEF=180°-ZBED-ZCEF=1800-/BED—ZBDE=NB=70°

故答案为：等腰，70；

(2)NEDF+NEFD=T80°—NDEF

180°-ZA

根据(1)的结论，得/DEF=NB，/B=NC

2

1«n0_/A/\

：.NEDF+NEFD=180°—ZDEF=180°—NB=180°-—~—=90°+—

22

VZEDF+ZEFD=120°

/A

90°+上=120。

2

ZA=60°

.•.当/A=60。时，ZEDF+ZEFD=\20o.

【点睛】

本题考查了等腰三角形、全等三角形