2022北京市中考数学常考压轴题（含答案）

最新北京市中考数学常考压轴题

（含答案）

一.文艺复兴时期，意大利艺术大师达.芬奇研究过用圆弧围成的部

分图形的面积问题.已知正方形的边长是2,就能求出图中阴影部分

的面积.

S

证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,S4=S2,S5=3,S6

=S4+S5,S阴影=S1+S6=S1+S2+S3=2.

【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可

解决问题；

【解答】证明：由题意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,

S4=S2,S5=S3,S6=S4+S5,S阴影面积=$1+$6=$1+$2+53=2.

故答案为：S2,S3,S4,S5,2.

【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

二.如图，在AABC中，AB=AC,AE是BC边上的高线，BM平分NABC

交AE于点M,经过B,M两点的。。交BC于点G,交AB于点F,FB

为。0的直径.

(1)求证：AM是。。的切线;

2

(2)当BE=3,cosC=5时，求。。的半径.

【分析】(1)连结。比易证OM〃BC,由于AE是BC边上的高线，从

而可知所以AM是。。的切线.

2EC

(2)由于AB=AC,从而可知EC=BE=3,由cosC=5=AC,可知：

5,15QMAQ

AC=2EC=2,易证△AOMS^ABE,所以BE-AB,再证明cosZAOM

25_15

=cosC=5,所以AO=2UnM,从而可求出0M=7

【解答】解：(1)连结0M.

•.•BM平分NABC

.*.Z1=Z2又OM=OB

.\Z2=Z3

A0M/7BC

•.•AE是BC边上的高线

AAEIBC,

AAM1OM

...AM是。0的切线

(2)VAB=AC

ZABC=ZC,AE1BC,

，E是BC中点

，EC=BE=3

2EC

VcosC=5=AC

AC=2EC=2

VOM//BC,ZAOM=ZABE

/.△AOM^AABE

OMAO

XVZABC=ZC

...ZA0M=ZC

在RtAAOM中

2

cosZAOM=cosC=5,

型金

而无

.，.A0=i0M

57

AB=?OM+OB=

15

而AB=AC="T

.yOM=Ar

15

.*.0M=T

15

/.OO的半径是7~

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的

判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综

合运用知识的能力.属于中考常考题型.

三.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛

物线交于点A,B,若AAMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A,

B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,

线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶.

(1)由定义知，取AB中点N,连结MN,MN与AB的关系是MN±AB,

MN=5AB.

12

(2)抛物线y=2>对应的准蝶形必经过B(m,m),则m=2,

对应的碟宽AB是4.

5

(3)抛物线y=ax2-4a-?(a>0)对应的碟宽在x轴上，且AB

=6.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得NAPB为

锐角，若有，请求出yp的取值范围.若没有，请说明理由.

【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；

(2)利用已知点为B(m,m),代入抛物线解析式进而得出m的值,

即可得出AB的值;

(3)①根据题意得出抛物线必过(3,0),进而代入求出答案；

1

②根据y=5x2-3的对称轴上P(0,3),P(0,-3)时，NAPB为

直角，进而得出答案.

【解答】解：(1)MN与AB的关系是：MN1AB,MN=?AB,

如图1,是等腰直角三角形，且N为AB的中点，

1

AMNIAB,MN=TAB,

1

故答案为：MN±AB,MN=lAB；

12

(2)•.•抛物线y=2式对应的准蝶形必经过B(m,m),

1

.\m=2m2,

解得：m=2或m=0(不合题意舍去)，

当m=2贝I」，2=2x2,

解得：x=±2,

贝ijAB=2+2=4；

故答案为：2,4；

(3)①由已知，抛物线对称轴为：y轴，

5_

VjlO^y=ax2-4a-I(a>0)对应的碟宽在x轴上，且AB=6.

5

二•抛物线必过(3,0),代入y=ax2-4a-3(a>0),

_5

得，9a-4a-3=0,

解得：a=7,

・•・抛物线的解析式是:y=Sx2-3;

1

②由①知，如图2,y=5x2-3的对称轴上P(0,3),P(0,-3)

时，ZAPB为直角，

.♦•在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得NAPB为锐角，yp的取

值范围是yp<-3或yp>3.

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，

正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键.属于中考常考题型.

四.在RtZkABC中，NACB=90°,CD是AB边的中线，DELBC于E,

连结CD,点P在射线CB上(与B,C不重合)

(1)如果NA=30°

①如图1,NDCB=60°

②如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转

60°,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，

并证明你的结论；

(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上，且NA=a(00<a<

90°）,连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2a得到线段DF,连结

BF,请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合NA=30°,

只要证明4CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出4DCP四△DBF,根据全等的性质得出

CP=BF,

（2）如图2,求出DC=DB=AD,DE〃AC,求出NFDB=NCDP=2a+

ZPDB,DP=DF,根据全等三角形的判定得出4DCP也△DBF,求出CP

=BF,推出BF-BP=BC,解直角三角形求出CE=DEtana即可.

【解答】解：（1）①•.•NA=30°,ZACB=90°,

.*.ZB=60°,

VAD=DB,

.*.CD=AD=DB,

AACDB是等边三角形，

.,.ZDCB=60°.

故答案为60

②如图1,结论：CP=BF.理由如下:

EP'B

图1

VZACB=90°,D是AB的中点，DEIBC,ZA=a,

，DC=DB=AD,DE〃AC,

.•.NA=NACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,

.•.NBDC=NA+NACD=2a,

NPDF=2a,

.•.NFDB=NCDP=2a-ZPDB,

•・•线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,

.*.DP=DF,

在ADCP和ADBE中

fDC=DB

<ZCDP=ZBDF

DP=DF,

.,.△DCP^ADBF,

，CP=BF,

CP=BF.

(2)结论：BF-BP=2DE・tana.

理由：VZACB=90°,D是AB的中点，DE±BC,NA=a,

，DC=DB=AD,DE〃AC,

ZA=ZACD=a,NEDB=NA=a,BC=2CE,

.•.NBDC=NA+NACD=2a,

VZPDF=2a,

NFDB=NCDP=2a+ZPDB,

•••线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,

.\DP=DF,

在ADCP和△DBF中

'DC=DB

-ZCDP=ZBDF

DP=DF,

.,.△DCP^ADBF,

.\CP=BF,

而CP=BC+BP,

ABF-BP=BC,

在Rt^CDE中，ZDEC=90°,

DE

tanZDCE=CE,

/.CE=DEtana,

.\BC=2CE=2DEtana,

即BF-BP=2DEtana.

【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直

角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出4DCP名Z^BF是解此

题的关键，综合性比较强，证明过程类似.属于中考常考题型.

五.如图，在直角坐标系中，矩形勿比'的顶点。在x轴的负半轴上，

点A在y轴正半轴上，矩形的面积为W2.把矩形OABC沿DE

翻折，使点8与点。重合，点。落在第三象限的G点处，作比Lx轴

于，，过七点的反比例函数y=k图象恰好过DE的中点F.则k

X

=,线段曲的长为：.

【分析】连接〃。与口交于点0,过点0作QGLx轴，垂足为G,可

通过三角形全等证得面与龙的交点就是功的中点凡由相似三角

形的性质可得S△府&协，根据反比例函数比例系数的几何意义可

求出k,从而求出SAM；,进而可以得到AB=\AE,即BE=3AE.由轴

对称的性质可得0月=」如从而得到庞'=345；也就有/。=2料/反根

据△物少的面积可以求出力瓦力的值.易证四边形勿以为矩形，从

而得到M=如，就可求出曲的值.

【解答】解：连接方。与口交于点0,过点。作QAUx轴，垂足为

N,如图所示，

•.•矩形》比1沿小翻折，点〃与点0重合，

：.BQ=OQ,BE=EO.

•.•四边形十回是矩形，

：.AB//CO,/BCO=/0AB=q$.

：,AEBQ=ADOQ.

在△龙0和aa?。中，

rZEBQ=ZDOQ

,BQ=OQ.

ZBQE=ZOQD

.,.△^WAWCASA).

：.EQ=DQ.

.•.点0是旗的中点.

,：ZQNO=ZBCO=^°,

.QN//BC.

.△夕如△。徽

2

^AOCB端）1第4

•S矩形0械=8近,

•S^OCB=S^OAB=4V2-

•S^ONQ=V2-

•点歹是皮的中点,

.点少与点0重合.

•S^ONF-V2"

•点分在反比例函数y=—±,

.煤=也

Z<0,

•••S^OAE=2~V2-

：.AB=4AE.

:.BE=3AE.

由轴对称的性质可得：OE=BE.

：.0E=3AE.0A=VOE2-AE2=242AE.

=

•S^OAE~^E—X2/义AEV2"

：.AE=\.

.•.勿=2«义1=2强.

♦：/EHO=/H0A=/0AE=9G°,

四边形》的是矩形.

:.EH=0A=2近.

故答案分别为：-2M、2g.

【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性

质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的

判定与性质等知识，有一定的综合性.属于中考常考题型.

六.如图1,在菱形被力中，对角线〃'与初相交于点。，45=13,

初=24,在菱形45切的外部以力方为边作等边三角形45E点分是对

角线劭上一动点(点夕不与点8重合)，将线段"'绕点力顺时针方

向旋转60°得到线段4%连接区/.

(1)求的长;

(2)如图2,当点分在线段方。上，且点以F,。三点在同一条直

线上时，求证：AC=y/sAM；

(3)连接用/,若△/£，!/的面积为40,请直接写出的周长.

如图1,在菱形加徵中，对角线亦与以相交于点。，相=13,BD

=24,在菱形力a7?的外部以46为边作等边三角形/座'.点分是对角

线以上一动点(点分不与点夕重合)，将线段〃'绕点4顺时针方向

(1)求力。的长；

(2)如图2,当点尸在线段〃。上，且点KF,。三点在同一条直

线上时，求证：AC=­/3AM；

(3)连接㈤%若△/可/的面积为40,请直接写出△如泌的周长.

【分析】(1)在AT△如〃中，利用勾股定理物=庐行谓求解，

(2)由四边形/颇是菱形，求出为等边三角形，N〃=N

仍占60°，再求出N例。=90°,在RtZ^Q/中tanN〃=绘，求

AM

出AC.

(3)求出△/“侬△/跖，利用△/阳的面积为40求出M在利用

勾股定理AF—A/AC^+FO2={5?+42=V41，得出△AFM的周长为3V41•

【解答】解：(1)二•四边形"切是菱形，

:.ACLBD,0B=0D=^BD,

,:BD=2A,

：.0B=12,

在Rt△如8中，

•.38=13,

3=VAB2-OB2=V132-122=5•

图2

•.•四边形四徵是菱形,

.,.初垂直平分AC,

：,FA=FC,/FAC=/FCA,

由已知/尸=4区乙例尸=60°,

同/为等边三角形，

：.ZM=ZAFM=6Q°，

•.•点弘F,。三点在同一条直线上，

AZFAC+AFCA^AAFM=^°,

：.ZFAC=ZFCA^3Q°,

AZMAC=AMAF+AFAC=^°+30°=90°,

在RtZi/C〃中

tanNM—,

AM

tan60°—

AM

：.AC=4zAM.

(3)如图，连接期

•二△4•是等边三角形，

：.AE=AB,/EAB=60°,

由(2)知△//次为等边三角形，

：.AM=AF,/例分=60°,

工/EAM=/BAF,

在△45¥和4力跖中，

'AE=AB

<ZEAM=ZBAF,

AM=AF

:."E侬△ABF(SAS),

•二△N"的面积为40,△/脐的高为力。

：.^BF*AO=^,BF=\6,

：.FO=BF-60=16-12=4

AF=^02+?02=V52+42=V41>

.•.△加物的周长为3代i.

【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等

边三角形的性质及菱形的性质.属于中考常考题型.

七.在平面直角坐标系中xOy中，正方形ABCOAzBzCC,…，

按如图的方式放置.点4,4,A…、4和点G,C,G…、口分别落

在直线y=x+l和x轴上.抛物线乙过点4、笈，且顶点在直线y=x+\

上，抛物线乙过点4、氏，且顶点在直线y=x+l上，…，按此规律，

抛物线（过点4、Bn,且顶点也在直线y=x+l上，其中抛物线〃交

正方形44G。的边4〃于点仄,抛物线〃交正方形4与GG的边4区

于点〃2…，抛物线£"交正方形41411nC-i的边AB于点、Dn（其中

且〃为正整数）.

（1）直接写出下列点的坐标：,&,氏；

（2）写出抛物线乙，、A的解析式，并写出其中一个解析式的求

解过程，再猜想抛物线〃的顶点坐标；

（3）①设A山尸k・DB,4〃=&・@氏，试判断左与人的数量关系

并说明理由；

②点〃、〃八…，功是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线

与直线y=x+l的交点坐标；若不是，请说明理由.

八.在平面直角坐标系中X八中,正方形4八GO,平5CG区GG,…,

按如图的方式放置.点4,A2,4…、4和点G,G,G…、口分别落

在直线y=x+1和x轴上.抛物线£i过点4、Bi,且顶点在直线y=x+l

上，抛物线5过点A、Bz,且顶点在直线y=x+l上，…，按此规律，

抛物线(过点4、氏，且顶点也在直线y=x+l上，其中抛物线〃交

正方形4AGO的边44于点外抛物线〃交正方形4反CG的边4区

于点〃2…，抛物线£"交正方形4氏［nC,-l的边4员于点Dn(其中心2

且〃为正整数).

(1)直接写出下列点的坐标：B\(1,1),氏(3,2),

员(7,4)；

(2)写出抛物线乙，、A的解析式，并写出其中一个解析式的求

解过程，再猜想抛物线停的顶点坐标(3义2"-2-1,3X2".)；

(3)①设4〃=A•〃身，4〃=&・@氏，试判断左与人的数量关系

并说明理由；

②点〃、〃八…，功是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线

与直线y=x+l的交点坐标；若不是，请说明理由.

【分析】（1）先求出直线y=x+l与y轴的交点坐标即可得出4

的坐标，故可得出小।的长，根据四边形4AG0是正方形即可得出

的坐标，再把的横坐标代入直线尸x+1即可得出4的坐标，

同理可得出反，笈的坐标；

（2）根据四边形46Go是正方形得出G的坐标，再由点4在直线

y=x+l上可知4（1,2）,民的坐标为（3,2）,由抛物线〃的

对称轴为直线x=2可知抛物线心的顶点为（2,3）,再用待定系

数法求出直线心的解析式；根据笈的坐标为（7,3）,同上可求

得点4的坐标为（3,4）,抛物线心的对称轴为直线x=5,同理

可得出直线5的解析式；

（3）①同（2）可求得心的解析式为7=（才-2）2+3,当y=l时，

求出x的值，由〃几可得出发的值，同理可得出人的

值，由此可得出结论；

②由①中的结论可知点〃、口、…，〃是否在一条直线上，再用待

定系数法求出直线4〃的解析式，求出与直线y=x+1的交点坐标

即可.

【解答】解：（1）:•令x=0,则y=l,

(0,1),

•.•四边形44Go是正方形，

.♦.46=1,

:.B\(1,1).

\•当x=l时'，y=l+l=2,

...民(3,2)；

同理可得，&(7,4).

故答案为：(1,1),(3,2),(7,4)；

(2)抛物线〃、心的解析式分别为：尸-(公2)2+3；,尸-5

(x-5)2+6；

抛物线〃的解析式的求解过程：

对于直线尸x+1,设x=0,可得尸1,Ai(0,1),

•.•四边形44G0是正方形，

：.G(1,0),

又,点4在直线y=x+\上，

.,.点4(1,2),

又二•区的坐标为(3,2),

抛物线〃的对称轴为直线x=2,

抛物线〃的顶点为(2,3),

设抛物线5的解析式为：y=a(x-2)2+3,

•.乜过点民(3,2)，

.•.当x=3时-，y=2,

:.2=a(3-2)2+3,解得：a=-1,

.•.抛物线〃的解析式为：y=-(X-2)2+3；

抛物线%的解析式的求解过程：

又•••区的坐标为(7,3),同上可求得点4的坐标为(3,4),

二.抛物线乙的对称轴为直线x=5,

抛物线乙的顶点为(5,6),

设抛物线心的解析式为：y=a(x-5)2+6,

•.乜过点区(7,4),

二.当x=7时，y=-4,

.•.4=aX(7-5)2+6,解得：

抛物线乙的解