四边形二（江苏专用）初中数学

第二步大题得高分

考点26四边形(2)

真题回顾

1.(2020•山东日照市•中考真题)如图，中，ZC=90°,以4ff为边在45上

方作正方形ZE应，过点〃作〃匠L宙交⑦的延长线于点E连接版

(1)求证：XAB微l\BDF;

(2)P,〃分别为47,班•上的动点，连接4MPN,若。户=5,AC=9,求4M的最

小值.

【答案】(1)见解析；(2)14

【分析】

(1)根据正方形的性质得出BD=AB,ZDBA=90°,进而得出/DBF=NCAB,因为

ZC=ZDFB=90°.根据AAS即可证得结论；

(2)根据正方形的性质AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根

据垂线段最短，作DPi_LAC,交BE于点Ni,垂足为Pi，则AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【详解】

(1)证明：；Rt△力以7中，NC=90°,DFLCB,

1

:./C=/DFB=9G.

,二四边形/夕"是正方形，

:・BD=AB,NDBA=90°,

,：ZDBF+ZABC=90°,ZCAB-}-ZABC=90°,

:・/DBF=4CAB,

:•△ABSXBDF(44S)；

(2)解：、：△ABC^XBDF、

***DF=BC=5,BF—AC=9,

：・FC=BF+BC=9+5=14.

如图，连接"V,

:砥是正方形顶点/与顶点〃的对称轴，

：.AN=DN.

如使得“阴■&V最小，只需久N、?在一条直线上,

由于点P、7V分别是ZC和6£上的动点，

作。A_L/C,交BE干点、Ni，垂足为A，

所以，4V+/W的最小值等于。尸i=R；=14.

【点睛】

2

本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方

形的性质是解题关键.

2.(2020•辽宁朝阳市•中考真题)如图，在R/OABC中，ZBAC=9(f,AB=AC,M

是ZC边上的一点，连接8",作于点尸，过点。作2c的垂线交4P的延长线于

点E.

(1)如图1,求证：AM=CEt

(2)如图2,以为邻边作DAA/BG,连接必交8c于点从连接4V,求丁的

AN

值；

(3)如图3,若“是47的中点，以为邻边作DAGMB,连接GE交回于点M,

NCGE

连接⑷V,经探窕发现壬=g1,请直接写出匕的值.

BC8AN

【答案】(1)见解析；(2)—=2；(3)益二

AN5

【分析】

(1)通过证与4CAE全等可以证得AM=CE；

(2)过点E作EF1CE交BC于F,通过证明△ABG与4ACE全等，证得AG=AE,通过

△GBNHEFN证得GN=EN,最后由直角三角形的性质证得结论；

3

(3)延长GM交BC丁点F,连接AF,在RraAFC中，由勾股定理求出AN的长,在RfAAEG

中，求出EG的长即可得到答案.

(1)证明

AP±BM,ZAPB=90°

：.ZABP+ZBAP=9(f

vZBAP+ZC4E=90°

4CAE=4ABP

CE±AC,ZBAM=ZACE=90°

vAB=AC,：aABM^JCAE(ASA)

：.CE=AM

上。

EE

图1图2

(2)过点£作色的垂线交5c于点F

"EC=90°

vAB^AC,ABAC=90°

4

,-.ZACB=ZABC=45°

ZACE=90°,NFCE=45°

:.NCFE=NFCE=4S

:.CE=EF,4EFN=13S

：.四边形AMBG是平行四边形

AM=BG,ZABG=NBAC=90’

ZGBN=ZABG+ZABC=135°

/.ZGBN=ZEFN

由(1)得口ABMgDCAE

AM=CE,;.BG=CE=EF

•/NBNG=ZFNE

：GGBN^]EFN(AAS)

：.GN=EN

-AG//BM

NGAE=ZBPE=90",.'.AN=、GE.

2

.卒=2.

AN

(3)如图，延长GM交BC于F,连接AF

5

A

图3

在口ABMG中，AB//GM,AABM^AMGA.

ZAMG=ABAC=90°,

NGMC=NACE=90°,

GF/ICE,

AM=MC,

BF=CF,

•/AB=AC,

：.AF1BC,AF=-BC,

CN1

-=

Bc8-,设CN=x,则BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

.•.在RfAAFN中，AN=VAF2+FN2=5X，

在Rf/XABM中，AB=—BC=—x8x=，AM=」A8=2缶,

222

BM=弋AB?+AM?

：.AG=BM=2MX，

由（1）知LMBW石。石，

6

•••ACAE^/XMGA

AE=AG,

在R?AAEG中，EG=y/AE2+AG2=GAG=QX2而X=4&-

.GE4&4石

-------------.

,'AN5X5

【点评】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、

勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题.

模拟预测

3.(2021•温州外国语学校九年级其他模拟)已知抛物线/:，=-/+陵经过点(4,0),点

A,点〃均在抛物线上，且A8//X轴.

(1)求b的值和抛物线的顶点坐标.

(2)在第一象限内作一个矩形A8CD,点C,。落在x轴上.将抛物线/平移，使抛物线

顶点落在矩形ABCO内部(包括顶点)，新抛物线与y轴交点为(。©,若43=2,请求出

c的取值范围.

【答案】(1)6=4,(2,4)；(2)-9<c<2

【分析】

7

(1)把点(4,0)代入尸-*+灰，利用待定系数法即可求得解析式，然后把解析式化成

顶点式即可求得顶点坐标；

(2)根据题意求得/、8的坐标，即可求得〃的坐标，根据4〃的坐标即可求得抛物线

的解析式，令*=0,与夕轴的交点，求得c的值，根据图象即可求得符合题意的c的取值.

【详解】

解：(1)•.•抛物线/：片-*+6*经过点(4,0),

.,.-16+46=0,

b=4,

：.抛物线/为：尸-*+4x,

'：y=~x2+4x=~(x~2)2+4,

，顶点坐标为(2,4)；

(2)设48点的横坐标为x/,xz,

•.•对称轴x=2,

.•.xi+为=4,

":AB=2,

••X\2,

fx.+=4fx.=3

由《一寸解得।,

(再-x2=2=1

把x=l代入尸一N+4x得尸3,

：.A(3,3),B(1,3),

：.D(3,0),

当抛物线顶点移到点笈时，则片一(x-l)2+3,

8

令A=0,则尸2,

c=2,

当抛物线顶点移到点。时，则片-(x-3)2,

令户0,则片-9,

：.c=-9,

...-9WW2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩

形的性质，求得/、5的坐标是解题的关键.

4.(2021•江苏南通市•九年级其他模拟)如图，在矩形4反。中，AB=2BC,F、G分别

为AB、〃。边上的动点，连接GF,沿仍将四边形4也?翻折至四边形EFGP,点E落在BC

上，EP交Q于点H,连接力£交GF于点O.

(1)写出斯与之间的位置关系是;______,

(2)求证：AE=2GF

3

(3)连接6P,若sin/a/=『，求密的长.

【答案】(1)AELGF,(2)证明见解析，(3)1.

9

【分析】

(1)由折叠性质得，AAOF=AEOF,进而得4?J_GK

(2)过G作了用，证明△力即可求解；

(3)过。作PKLS于点&得/功汨=/0氏三NCGP,借助已知函数值，得出砥与5尸

的关系，在RtAABE中,由勾股定理列出方程求得各边长度，再根据(2)得出力62厢，

进而求得5E和8c的长即可.

【详解】

解:(1)由折叠性质可知，AAOF=ZEOF,

VZAOF+ZEOF=1QO°,

:.NAOF=/EOF=90°,

：.AELGFx

(2)如图1,过点G作G"_L/8于点用，则四边形为矩形，

：.AD=GM,NMFG+NMGF=90.

由（1）得GF±AE,

〈NMFG+/E4O=90°,

:.ZBAE=/MGF.

:.NB=NFMG=90".

10

:.XABE〜t\GMF,

.AE_AB_AB

~GF~~GM~~AD

：.AE=2GF,

(3)如图2,过点尸作尸《1仇7,交8c的延长线于点《由折叠的性质可知

NFEP=NFAD=/D=NEPG=90",

NCGP+NG〃P=90°.

ZPEC+ZEHC=9Q°且ZGHP=ZEHC,

：.NPEC=4CGP.

'：ZBEF+ZBFE=ZBEF+ZPEC三90°,

ZBFE=ZPEC=ZCGP.

3

•/sinZCGP=-

5

RF3

sinNBFE=——=-

EF5

设BE=3x,则EF=AF=Sx,

.BF=dEF?-BE?=4x

：.AB=9x.

11

'：AE=2GF,GF=®，

：.AE=2y[\^,

在Rt/XABE中,由勾股定理得AB^+SP=AE2,g|J81^+9^=40,

22

解得x=彳或x=-二(舍去)

33

»*.AB=9x=6fBE=3x=2,

YAB=2BC,

：.BC=3,

:.EC=BC-BE=3・2=\；

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，难度较

大，关键在于构造直角三角形充分利用相似三角形和解宜角三角形的知识以及勾股定理、方

程思想解决问题.

5.(2021•湖北武汉市•九年级其他模拟)如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点,线

段4E与4D关于直线4P对称，连接班并延长交直线4P于点E连接成

图(1)图(2)图⑶

(1)如图(1),ZBAP=20°,直接写出N4阳的大小;

(2)如图(2),求证：BE=五CF；

12

(3)如图(3),连接出G是磔1的中点，AB=1,若点尸从点8运动到点C,直接写出

点G的运动路径长.

兀

【答案】(1)45°,(2)证明见解析，(3)

4

【分析】

(1)连接。尸，作ANVEF,垂足分别为“、N,证四边形//WW是正方形即可；

(2)连接/C,作4V_L七五，垂足为M证444尸s△胡"，列比例式即可；

(3)连接ZC,取Z61中点。，连接。G,根据中位线性质确定G点运动轨迹，再根据弧长公

式计算即可.

【详解】

解：(1)连接〃区作ANLEF,垂足分别为用、N,

•••线段AE与力。关于直线力P对称，

：.ADFA=AEFA,

：.AM=AN,

"：AD=AB,

：.RtLAM哈RtAANB,

：.NMAD=NNAB,

■:/MAD+NMAB=90°,

：,NNAB+/MAB=NMAN=90°,

四边形ZMW是正方形，

.*.//郎=45°；

13

(2)连接力C,作力垂足为M

一ACAFr-

由(1)可知，——=——=，2,/CAB=/W5°,

ABAN

:./CAF=4BAN,

:.XCAFsXBAN、

三="=应，

BNAN

：.BN=—FC,

2

•:AB=AE,

:・BE=2BN,

:・BE=6FG

14

(3)连接力C,取/C中点。连接。G

・"是砥的中点，

11

・・.0G=—AE=—，

22

...点G在以。为圆心，；为半径的圆上，

当点夕与C重合时，G与6c中点重合，当点。与5重合时，G与84中点重合,

点G运动的路径是以千为半径，圆心角为90°的弧长，

训，久iz-I90兀x—

路彳仝长为：2-

180-4

【点睛】

15

本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质，解

题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形和相似三角形,通过线段相等或成比例解决问题.

6.(2021•浙江温州市•九年级其他模拟)如图，口。是矩形ABC。的外接圆，NA3C的

平分线分别交AC,口O,CO的延长线于点E,£G,过点尸作口。的切线产”，交CG于

点H.

(1)证明：FH//AC.

(2)若tanNB4c=3,OE=2,求产”的长.

Q

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】

(1)连结。尸，首先根据切线的性质得出NOEH=90。，然后利用矩形的性质，角平分线

的定义及圆周角定理得出NCO尸=90°,进而通过同旁内角互补两直线平行即可证明；

(2)作”/_LAC于点/,作ELJ.AB于点L,则有=O/,然后设EL=8A=3。，

则AL=a,通过勾股定理求出AE,AB的长度，然后通过平行线分线段成比例得出

AIAP

—=—,进而求出a的值，则答案可解.

ABAC

【详解】

解：(1)连结。尸，如图，

16

D

是切线，

ZOFH=90。.

在矩形ABC。中，NA8C=90。，

•・•8G平分NA5C,

：.ZCBG=-ZABC=45°,

2

ZC(9F=2ZCBG=90°,

.-.ZCOF+ZOFH=180°,

HF//AC.

(2)如图，作H/J.AC于点/,作反_LAB于点Z,则四边形尸。出是矩形,

小

・•・HF=O1.

17

tanABAC=—=3,ZABG=45°,

AL

设EL=BL=3a,AL=a.

AE-yflOci,AB-Ail>

BCHLE,

.AL_AE

-AC'

a_VlOa

"4a-AC

AC=4y/10a,AO=2715a.

：.OE=y/10a=2,。=半，OC=OF=HI=2回a=4,

14

：.IC=-H1=-.

33

48

..FH=OI=OC-IC=4——=-.

33

【点睛】

本题主要考查圆的综合，掌握平行线的判定及性质，矩形的性质，平行线分线段成比例是关

键.

7.（2021•杭州育才中学九年级二模）如图，点。为正方形Z8CO的中心.DE=AG,连结

EG,过点。作OF±EG交Z〃于点F.

18

(1)连结却，△瓦加的周长与Z〃的长有怎样的数量关系，并证明；

(2)连结0E,求NECK的度数；

(3)若ZKCE=m,OF：OE=n,求证：m=ri2-.

【答案】(1)4EDF的周长与AD的长相等，证明见解析；(2)45°：(3)证明见解析.

【分析】

(1)连结OD、OG、CA,则CA必过点0且可得OE=OG,从而得到OF垂直平分EG,所以

FE=FG,最终可得4EDF的周长等于AD的长；

(2)由(1)可得NEOG=/EOD+NDOG=/AOG+DOG=90°,所以可得NEOF=45°；

qAFq(c2

(3)先判断出△AOFs^CEO,再由=乙叱•=上二可以得到解答.

SCEOCESCEO\OE)

【详解】

解：(1)4EDF的周长与AD的长相等，理由如下：

如图，连结OD、OG、CA,则CA必过点0,

19

•・,点0为正方形ABCD的中心，

.\OD=OA,ZOAG=ZODE,

又DE=AG,

AAOED^AOGA,

.'.OE=OG,

VOF±EG,

・・・0F是EG的垂直平分线，

/.FE=FG,

.\AEDF的周长=DF+EF+ED=DF+FG+AG=AD；

(2)VOD1OA,

AZDOA=90°,

由(1)可得△OEDgZXOGA,

AZEOD=ZGOA,

AZEOG=ZEOD+ZDOG=ZAOG+DOG=90°,

•••△OEG为等腰三角形，OF±EG,

20

・・・/EOF」/EOG=45。；

2

(3)VZE0F=45°,

AZCOE4-AOF=135°

VZOAF=45°,

・・・NAFO+NAOF=135°,

.\ZCOE=ZAFO,

・・・AAOF^ACEO,

・・・O到AF与CE的距离相等，

S/KAOF：SACEO=AF：CE=m,

•\m=n2.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，相似三角

形和全等三角形的性质和判定，解本题的关键是角度的计算.

8.（2021•广西南宁市•三美学校九年级一模）在矩形Z8CO中，AB=12,P是边4ff上

一点，把两7沿直线27折叠，顶点5的对应点是点G,过点8作的LCG垂足为£且

在40上，BE交PC千氤F.

21

(1)如图1,若点E是力〃的中点，求ZA的长；

(2)如图2,①求证：BP=BF；

②若4g25,且AE>DE,求sinNP，方的值；

③当明班=108时，求在的值.

【答案】(1)24；(2)①见解析；②《：③9

【分析】

(1)先判断出/力=/。=90°,力四。C再判断出力可证明△力£旌得到

BE=CE,从而判定是等腰直角三角形，得到/月旗=//5£三45°,贝U可得力氏力以

即可得到AD-.

(2)①利用折叠的性质，得出NPGG=NP反三90°,NBPC=NGPC,进而判断出

/G2三/。阳即可得出结论；②判断出△力5Ks△〃员;得出比例式建立方程求解即可得出

>4^=16,DE=9,再判断出△"■△GCP,进而求出5尸和尸C,即可得出结论；③判断出

△GEFsMEAB,得出BE,E抬AB・GF,即可得出结论.

【详解】

解：(1)在矩形力比。中，ZA=ZD=90a,AB=DC,

•••£是中点，

：.AE=DE,

在△力£5和中，

AB=DC

"NA=NO=90。，

AE=DE

:*△AEB^XDEC(S4S),

：.BE=CE,

22

,:BELCG,即N8EG=90°,

是等腰直角三角形，/EBC=ZECB=4S：

■:ADHBC,

:・/AEB=/CED=/ABE=45°,

：.AE=AB=12,

：.AD=24；

(2)①在矩形力比0,NABC=90°,

,:/\BPC沿27折叠得到△G27,

:・/PGC=/PBC=9G,NBPC=/GPC,

,/BELCG,

:・BE〃PG,

:・/GPF=/PFB,

:・/BPF=/BFP,

：.BP=BF\

②当为P=25时，

■:ZBEC=93,

:・NAEB+/CED=90°,

u：ZAEB+ZABE=90°,

：・4CED=/ABE,

♦・・N/=NP=9(T,

:,XABEs丛DEC,

23

.AB_DE

••第一五’

设AE=x,

DE=25-x,

.1225-x

..—=---------，

x12

或416,

■:AE>DE,

・・・力6=16,DE=9,

•••CE=y/cD2+DE2=15,BE=^AB2+AE2=20,

由折叠得，BP=PG,

：.BP=BF=PG,

'：BE//PG,

:.△ECFSXGCP,

.EFCE

"7G-CG'

设BP=BF=PG=y,

20—y_15

2525

解得：y=—y经检验：尸是原方程的解，

22

24

在”中,心祈正孝

25

PB^2J5

：.s加NPCB=—=―+=—；

PC2565

2

③如图，连接网；,

":BE"PG,

:"GPF=/PFB,

：.4BPF=/BFP,

:.BP=BF；

'/BP=PG,

・"BPG尸是菱形,

・•・BP//GF,

：.4GFE=/ABE,

:.XGEFSMEAB、

EFAB

/.---=----,

GFBE

:・BE*EF=AB*GF,

■:BE/EHG8,力612,

:・GF=9,

25

:.BP=GF=9.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，折叠的性质，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键.

9.（2021•九龙坡区•重庆市育才中学）如图，抛物线尸萩+Zw+c（aWO）与x轴交于

点4夕（点Z在点3的左边），与y轴交于点C,点2、C的坐标分别为（-3,0）、（0,

2）,对称轴为直线k-2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点〃与点C关于抛物线的对称轴对称，连接ZC,过点〃作以“47交抛物线

于点E,交y轴于点点尸是直线47下方抛物线上的一动点，连接打交2C于点G,连

接EG,求△厮G的面积的最大值以及取得最大值时点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，点尸为平面内一点，在抛物线上是否存在一点Q,是以点P、Q、

尺。为顶点的四边形为矩形，如果存在，直接写出点尸的坐标，如果不存在，说明理由.

7Q1531Q96I

【答案】（1）y=~rx2+2；（2）见石阳最大为7,8一彳，一不）；（3）穴—7，—）

»19157

文——，一）.

1050

【分析】

（1）将ac的坐标代入函数式，再结合对称轴公式利用待定系数法求解即可；

26

(2)根据待定系数法求出直线力C、直线。E的表达式，再根据三角形面积之间的关系表示

出△£7子■的面积，从而得到当△。石尸的面积最大时△£7心的面积最大，求出△，石户面积的最

大值进行计算即可；

28

(3)设-m2+-m+2),RXP,y»,分三种情况：①以6为对角线，②以&为

对角线，③以。为对角线，分别计算可得问题的答案.

【详解】

解：(1)将“、C的坐标(-3,0)、(0,2)代入函数式且对称轴为尸一2,

9a-3h+c-0

c=2

2

a--

3

Q

解得：＜。,

c=2

9Q

，抛物线的解析式为：y=jx2+|x+2；

2

(2)由点4C的坐标(-3,0)、(0,2)可知，直线力。为：y=-x+2f

9：DE//AC,

•'«koE-kAC，

._2

kpE=—,

•・•〃与C关于片=-2对称，

，久一4,2),

27

214

.二直线〃£为：y=-x-i---,

33

214

y=—xd--

33X=1

联立：〈。Q，解得：,x=—4舍去，

x=-42

y——xH—x+22

33

.•.£的横坐标为1,

代入可得，y=：+2+2=学，

333

16

...醺1,y),

连接DC,作在"J_x轴，交DE千K,

'：DE//AC,

SixDEG-S^DEC,

21414

将尸。代入y=尸+丁得：y=—<

333

14

了），

.20

••SaDEC—5kDCM+5AECM=>

._20

••SCDEG-，

28

..20

•SAEFG=SdDEF-S&DEG=SQDEF--7»

3

/.当△。牙1的面积最大时，△£/石1的面积最大,

以、，228c214

设厂为(&—t+-t+2),K(t,—t+-)-

1528、5,2、2125

=2

SQDEF=S/sDFK+Sf,EFKy(XLX")(yK-yr)=-|--t+

333J丁+PF'

3125

二当尸=-一时，三角形。E厂面积最大，最大为一丁，此时△£?右面积的最大值为:

212

1252015

1234

3115

，当尺一不，一77）时，8£•跖最大为二

224

（3）假设存在,

31

2）,用一5，且以尸、。、F、C为顶点的四边形为矩形,

283

・••设•)，—m2+—zn+2),P(xp,yp),则加#0,——,

.…:峪=上。,直线QC：kOQ

m2+m+2—2

3328,

0-(-j)3%-m+—

33

28c1

—m2+一相+2+—)q

直线QF-.kQF=3----J——2=w加+：,

m+-33

2

Xc+XF=Xp+XQ

①矩形以CF为对角线，贝|J：,%+%=为+为，

QC1QF

:.kQc*kQ产一\,

29

3

——=Xp+m

,cl28c

・・<2—=yH2—m+—"t+2,

2，p33

(18、(25、,

—m+—x-m-^—=-1

ll33j(33)

.'.4/n24-26/77+49=0,

vA=262-4X4X49=-108<0-

...无解，此时不存在；

%+X。=Xp+XF

②以C。为对角线，则：,九+%=外+力，

CFA.QF

•**kcF*kQF=1>

，3

m=xp

228/

33勺2

5f25、

—x—m+—=--1

3U3)

17

.•%i=-----，

5

■19

Xn------

xc+xp-xQ+xF

③以C尸为对角线，贝I：

CF1QC

30

.**kcF*kQc=1,

3

xp=m——

28cl

2+%—m2+—m+2——,

332

528、

—X—m+—=—1

333>

49

/.m=----

10

32

Xp

5

61

»二石

.J—%

525J

点尸坐标为,(卜历19，丸157|、3261)

综上,或

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，矩形的判定等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和

二次函数的性质，理解坐标与图形的性质，会解一元二次方程，会运用分类讨论的思想解决

问题是解题的关键.

10.(2021•江苏南通市•九年级其他模拟)如图，在矩形4成。中，AB=2,BC=2yf3>

点E在射线以上，在RtAEFG中,NEF0Q°,Z.FEG=30°,EG=4,斜边EG始终经

过点5,连接密

(1)如图1,若点E与点力重合，请找出图中除矩形以外的平行四边形，并加以证

明；

(2)如图2,若点尸在线段回上，求班1的长；

31

(3)如图3,连接出若点尸在线段虑上，求。E的长.请写出求解的思路(可以不得

出寸算结果).

【答案】(1)四边形CO6G是平行四边形，证明见解析；(2)BE=T2-46；(3)见解

析

【分析】

(1)证明求得点C、F、G三点共线，因为CD〃BG,凫CD=BG,即可证

明四边形5GC。是平行四边形；

(2)证明△EWs△向vp,得到々=」求出PF,根据aG班s/iGEP,得到＜=—

EFFMGPGE

即可算出BE长;

12

(3)先求N4出=30°；证明明，得出8。=0乂而；CP=i,'；证明

y/a+4

12

CPBC2百

△BPCSRDPE,得出——=—,列出方程得出方程

EPDE丁

即可求出的长.

【详解】

32

(1)四边形以是平行四边形

如图1,连接/C

证明：在收△力以7中，tanZCAB=^>

：.ZCAB^60°

：.4GAF=/CAF

"：AG=AC=4,ZGAF=ZCAf,AF=AF,

：.l\AGF^XACF、

：.ZAfC=ZAFG=90°,

：.AAFC+AAFG=1^,

...点C、F、G三点共线

VCD//BG,且Q=8G,

四边形6GC。是平行四边形

(2)如图2,延长GF交力〃于点P,过点。作PNLBC于点、N,过点"作6c于点M

在AtAEMF中,MF=2应

■:NEFG=NEFM+NMFG=90°,NEPN=NEPF+NFPN=9G,

33

,:ED〃BC

：.ZEPF=ZPFC=ZMFG

：・/EFM=/FPN

：、XEMFS[\FNP

・PFPN

^~EF~~FM'

:,PF=^

'：EDUBC

：.2GBF=/GEP、AGFB=AGPE

:・l\GBFsAGEP

GFBG

.•-----=-----，

GPGE

:.BE=12-45/6

（3）如图3,连接BD与仍相交于点P

12

先求/55=30°；再证明得出8。=少义以；Cki、:；

V«2+4

CPBC

再证明△BPCs△DPE,得fl；—=——

EPDE

12

2G

得出方程二J"。一

A/774--4?_a

Ja2+4

计算结果是6+jn

【点睛】

34

此题是四边形综合题，主要考查了平行四