1.2 一定是直角三角形吗 同步练习

第一章勾股定理2一定是直角三角形吗基础过关全练知识点1勾股定理的逆定理1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()A B C D2.(2021浙江金华期中)若△ABC的三边长a，b，c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0，则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形3.如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长都为1.(1)△ABC的面积为 ；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)AB边上的高是 .

4.阅读以下解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)，②∴c2=a2+b2，③∴△ABC为直角三角形.④(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误?该步的序号为；

(2)错误的原因是(3)本题正确的结论是5.如图，在△ABC中，AB=15，BC=20，CA=25，E是AC上一点，且BE=BA，求EC的长.知识点2勾股数6.(2023广东佛山顺德第一次月考)下列各组数中，是勾股数的为()A.1、2、3 B.4、5、6 C.3、4、5 D.7、8、97.(2022山东青岛育才中学期中)观察下列几组勾股数，并填空：①4，3，5，②6，8，10，③8，15，17，④10，24，26，⑤12，35，37，……，则第⑦组勾股数为.

能力提升全练8.(2023福建漳州一中期中)下列各组数中，是勾股数的为()A.3，4，7 B.32，42，52 C.0.5，1.2，1.3 D.7，24，259.(2023河南郑州枫杨外国语学校第一次月考)在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③AB∶BC∶AC=3∶4∶5；④∠A=∠B=∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.(2023河北保定乐凯中学期中)如图，在5×5的正方形网格中，从格点A，B，C，D中任取三点，以三点为顶点的三角形恰好是直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.411.(2021广西玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行.

12.(2022湖北黄冈中考)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，这类勾股数的特点：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；……，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是 (结果用含m的式子表示).

13.(2023河南郑州外国语学校第一次月考)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米.(1)问CH是不是从村庄C到河边的最近路?请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC的长.14.(2019河北中考)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.尝试化简整式A；发现A=B2，求整式B；联想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值：直角三角形三边长n2-12nB勾股数组Ⅰ

8勾股数组Ⅱ35

素养探究全练15.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中，则当a=20时，b+c的值为()a68101214…b815243548…c1017263750…A.100 B.200 C.240 D.36016.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边的长，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式比较a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类).(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC的三边长分别为6、8、9时，△ABC是三角形；当△ABC的三边长分别为6、8、11时，△ABC是三角形；

(2)小明同学根据上述探究进行猜想：“当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，△ABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想解答下面的问题：当a=7，b=24时，c在什么范围内取值，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?

第一章勾股定理2一定是直角三角形吗答案全解全析基础过关全练1.CA.72+202≠252，152+202≠242，222+242≠252，故A不正确；B.72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C.72+242=252，152+202=252，故C正确；D.72+202≠252，242+152≠252，故D不正确.故选C.2.A∵|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0，∴a-3=0，4-b=0，c-5=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=32+42=25，c2=52=25，∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.故选A.3.解析(1)S△ABC=4×4-12×4×2-12×3×4-1故答案为5.(2)△ABC是直角三角形，理由如下：解法一：∵AC2=22+12=5，BC2=22+42=20，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.解法二：如图，∵AE=CD=2，CE=DF=1，∠AEC=∠CDF=90°，∴△ACE≌△CFD，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形.(3)设AB边上的高是h，∴S△ABC=12AB·h=12×5h∴h=2.4.(1)③(2)没有讨论a2-b2等于0的情况(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形解析本题通过计算过程纠错.∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)，∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0，∴a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0，当a2-b2≠0时，c2=a2+b2，此时△ABC是直角三角形，当a2-b2=0，即a=b时，△ABC是等腰三角形，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故从第③步开始出现错误，其原因是不能确定a2-b2是不是等于0.5.解析如图，作BD⊥AC，垂足为D，在△ABC中，∵AB2+BC2=152+202=625=252=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴12AB·BC=12AC·∴BD=12，在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=152-122=81，∴AD=9，∵BE=BA，BD⊥AC，∴AE=2AD=18.∴EC=AC-AE=25-18=7.6.CA.∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数，故A错误；B.∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数，故B错误；C.∵32+42=25=52=25，且3，4，5都是正整数，∴是勾股数，故C正确；D.∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数，故D错误.故选C.7.16，63，65解析根据题目给出的前几组数的规律可得这组勾股数中的第一个数是2(n+1)，第二个数是n(n+2)，第三个数是(n+1)2+1，故第⑦组勾股数是16，63，65.能力提升全练8.D32+42≠72，故该组数不是勾股数；(32)2+(42)2≠(52)2，故该组数不是勾股数；0.5，1.2，1.3不是整数，故该组数不是勾股数；72+242=252且都为正整数，故该组数是勾股数，故选D.9.C①∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；②由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴∠C=30°×3=90°，∴△ABC是直角三角形；③由AB∶BC∶AC=3∶4∶5，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；④∵∠A=∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=3∠A=180°，解得∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴△ABC不是直角三角形.∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个，故选C.10.C如图，连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，则AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个，故选C.11.北偏东50°解析由题意可知AP=12海里，BP=16海里，AB=20海里，∵122+162=202，∴△APB是直角三角形，且∠APB=90°，由题意知∠APN=40°，∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°，即乙船沿北偏东50°方向航行.12.m2+1解析由勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数的勾为2m，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴弦为m2+1.13.解析(1)是，理由：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路.(2)设AC=x千米，则AH=(x-0.9)千米，在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=(x-0.9)2+1.22，∴1.8x=2.25，解得x=1.25.答：原来的路线AC的长为1.25千米.14.解析尝试A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.发现∵A=B2，B>0，∴B=n2+1.联想勾股数组Ⅰ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.勾股数组Ⅱ∵n2-1=35，∴B=n2+1=(n2-1)+2=37.素养探究全练15.B根据表格中数据可得a2+b2=c2，并且c=b+2，则a2+b2=(b+2)2，当a=20时，202+b2=(b+2)2，解得b=99，则c=99+2=101，∴b+c=200，故选B.16.解析(1)如图，当△ABC的