12.1-12.2 三角形 三角形的性质 同步练习

第十二章三角形一三角形及其性质12.1三角形12.2三角形的性质基础过关全练知识点1三角形及其相关概念1.(2022北京昌平东方红中学月考)在如图所示的图形中，三角形有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个2.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD，BE与AD相交于点F.(1)图中有几个三角形?请表示出来；(2)写出△BDF的三个顶点和三条边；(3)AB是哪些三角形的边?(4)点F是哪些三角形的顶点?知识点2三角形的稳定性3.(2022广东中考)下列图形中有稳定性的是()A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形4.从能隐身的“三角翼”飞行器、高高的塔吊、小小的三脚架到北京奥运会主运动场鸟巢的外观设计中都包含了相同的结构——三角形，这主要是利用了.

知识点3三角形边的性质5.(2022江苏南通中考)用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm[变式1](2021江苏淮安中考)一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是.

[变式2]有长为4cm，9cm，acm的三根木棒恰好拼成一个等腰三角形(木棒接头和粗细忽略不计)，它的周长为cm.

[变式3](2023北京一七一中月考)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a-7|+(b-2)2=0，c为奇数，则△ABC的周长为.

6.一个等腰三角形的周长为20cm，其一边长为6cm，求其他两边的长.7.如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点(不含端点)，连接BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由.知识点4三角形角的性质8.(2021广西梧州中考)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C等于()A.32° B.36° C.40° D.128°9.(2021广西河池中考)如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD=120°，则∠C的度数为()A.90° B.80° C.60° D.40°10.(2022北京海淀外国语实验学校期中)求出下列图形中x的值. （2） （3）11.(2022北京中考)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.方法一证明：如图，过点A作DE∥BC.方法二证明：如图，过点C作CD∥AB.12.在△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是边AB上一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.(1)如图1，若∠α=50°，则∠1+∠2=；

(2)如图2，猜想∠α、∠1、∠2之间的数量关系，并证明. 图1 图2知识点5三角形按角分类13.“瞎子摸象”比喻对事物一知半解，不对全局作判断.如图给出的四个三角形都有一部分被遮挡，聪明的你把握全局按角的大小分类，不能判断三角形类型的是()A B C D14.(2023北京东城景山学校期末)若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能能力提升全练15.(2023北京大学附中期中)下列图形中不具备稳定性的是()A B C D16.(2022西藏中考)如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A.-5 B.4 C.7 D.817.(2023北京通州期末改编)如图所示的是一路灯的平面示意图，∠MAC=50°，∠ACB=20°，则∠CBA的度数为()A.15° B.20° C.30° D.50°18.(2021江苏盐城中考)将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则∠1的度数为()A.45° B.60° C.75° D.105°19.(2023北京日坛中学期中)如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为()A.40° B.50° C.80° D.100°20.(2019江苏扬州中考)已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个21.(2021江苏常州中考)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB，则∠AED=°.

22.(2022北京通州期末)如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C、B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠F+∠E的度数为.

23.(2022北京陈经纶中学月考改编，20，)如图，点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，∠DFB=90°，交AC于点E，∠A=35°，∠D=40°，求∠ACD的度数.24.(2022北京海淀外国语实验学校期中)若三边均不相等的三角形三边长分别为a、b、c，且满足a-b>b-c(a为最长边的长，c为最短边的长)，则称这个三角形为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7-5>5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”.(1)有以下4组长度的线段，其中能组成“不均衡三角形”的为(填序号).

①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm.(2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为2x+2，16，2x-6，求整数x的值.素养探究全练25.(2023北京房山期中)△ABC中，∠C=45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α.(1)如图1，若点P在线段BA上，且α=30°，则∠PEB+∠PDA=°；

(2)当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系(用含α的式子表示)，并证明；(3)当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系(用含α的式子表示).

第十二章三角形一三角形及其性质12.1三角形12.2三角形的性质答案全解全析基础过关全练1.B三角形有△ABD、△ABC、△BCD、△BCE、△DCE，共5个.故选B.2.解析(1)题图中共有8个三角形，分别是△BDF，△BEC，△BDA，△BFA，△AEF，△AEB，△ADC，△ABC.(2)△BDF的三个顶点分别是B，D，F，三条边分别是BD，DF，BF.(3)AB是△ABF，△ABD，△ABE，△ABC的边.(4)点F是△BDF，△ABF，△AEF的顶点.3.A三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.故选A.4.答案三角形的稳定性5.D设第三根小木棒长xcm，由三角形三边关系得6-3<x<6+3，所以x的取值范围是3<x<9，观察选项，只有选项D符合题意.故选D.[变式1]答案4解析设第三边的长为a，根据三角形的三边关系知，4-1<a<4+1，即3<a<5，∵第三边的长是偶数，∴a=4.[变式2]答案22解析若底边长为4cm，则a=9，它的周长为4+9+9=22(cm)；若底边长为9cm，则a=4，而4+4<9，不能构成三角形.所以它的周长为22cm.[变式3]答案16解析∵|a-7|+(b-2)2=0，∴a-7=0，b-2=0，解得a=7，b=2，由三角形的三边关系得7-2<c<7+2，即5<c<9，又∵c为奇数，∴c=7，∴△ABC的周长为7+2+7=16.6.解析分两种情况讨论：(1)当底边长为6cm时，腰长为(20-6)÷2=7(cm)，此时三边长分别为6cm，7cm，7cm，可以构成三角形.(2)当腰长为6cm时，底边长为20-6×2=8(cm)，此时三边长分别为6cm，6cm，8cm，可以构成三角形.综上，其他两边的长分别为7cm，7cm或6cm，8cm.7.解析AB+BC+AC>2BD.理由：在△ABD中，AB+AD>BD，在△BCD中，BC+CD>BD，∴AB+AD+BC+CD>2BD，∴AB+BC+AC>2BD.8.A∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=20°，∠B=4∠C，∴20°+4∠C+∠C=180°，∴5∠C=160°，∴∠C=32°.故选A.9.B∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°.故选B.10.解析(1)x=180-90-50=40.(2)∵x+x+40=180，∴x=70.(3)∵x+70=x+x+10，∴x=60.11.证明选择方法一：∵DE∥BC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°.选择方法二：∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°.12.解析(1)如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°.(2)∠1+∠2=80°+∠α.证明：如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α.13.CA.露出直角，判断该三角形为直角三角形；B.根据露出的两个角，判断该三角形为锐角三角形；C.露出一个锐角，无法判断另外两个角的大小，故无法判断该三角形类型；D.露出的角是钝角，判断该三角形为钝角三角形.故选C.14.B设△ABC中，∠A=∠C-∠B，则∠C=∠A+∠B，∴∠C=180°-∠C，∴∠C=90°，∴这个三角形是直角三角形.故选B.能力提升全练15.C选项A、B、D中的图形均由三角形构成，具有稳定性，选项C中的图形下方的四边形不具有稳定性.故选C.16.B由题意知，该三角形的两边长分别为3、4.设第三边长为a，则4-3<a<4+3，即1<a<7.观察选项，只有选项B符合题意.故选B.17.C∵∠MAC=50°，∠ACB=20°，∠MAC是△ABC的外角，∴∠CBA=∠MAC-∠ACB=30°.故选C.18.C如图，∵∠DBC=30°，∠ACB=45°，∴∠1=30°+45°=75°.故选C.19.C∵BC∥DE，∠B=50°，∴∠ADE=50°，由折叠得∠ADE=∠EDF=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°.故选C.20.D分情况讨论：①当n+8>3n，即n<4时，(n+2)+3n>n+8，解得n>2，∴2<n<4，故满足条件的n的值为3，有1个.②当n+8≤3n，即n≥4时，(n+2)+(n+8)>3n，解得n<10，∴4≤n<10，故满足条件的n的值为4，5，6，7，8，9，共6个.综上所述，满足条件的n的值有7个.故选D.21.答案100解析在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，∵DE∥AB，∴∠A+∠AED=180°，∴∠AED=180°-80°=100°.22.答案270°解析∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠E+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠E+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠F+∠E=270°.23.解析∵∠DFB=90°，∴∠AFD=90°.∵∠AFD=∠B+∠D，∴∠B=∠AFD-∠D=90°-40°=50°.∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°.24.解析(1)①∵1+2<4，∴4cm，2cm，1cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.②∵18-13>13-9，∴13cm，18cm，9cm长的线段能组成“不均衡三角形”.③∵19=19，∴19cm，20cm，19cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.④∵9-8<8-6，∴9cm，8cm，6cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.故答案为②.(2)由题可知，2x+2，16，2x-6都为正数，且互不相等，其中最大数可能为2x+2，也可能为16，分情况进行讨论：①当16>2x+2，即x<7时，16-(2x+2)>2x+2-(2x-6)，解得x<3，此时2x-6<0，不合题意，舍去.②当2x+2>16，即x>7时，若16>2x-6，则x<11，2x+2-16>16-(2x-6)，解得x>9，∴9<x<11，∵x为整数，∴x=10，当x=10时，三边长分别为22，16，14，可构成三角形，符合题意；若2x-6>16，则x>11，2x+2-(2x-6)>2x-6-16，解得x<15，∴11<x<15，∵x为整数，∴x=12，13，14，当x=12时，三边长分别为26，16，18，可构成三角形；当x=13时，三边长分别为28，16，20，可构成三角形；当x=14时，三边长分别为30，16，22，可构成三角形，故x=12，13，14符合题意.综上所述，整数x的值为10，12，13，14.素养探究全练25.解析(1)∠PEB+∠PDA=75°.理由如下：连接PC，如图1所示.∵