【浙教】期末模拟卷01【第1-5章】

2023-2024学年上学期期末模拟考试八年级数学（考试时间：90分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-5章（浙教版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（）A．2 B．3 C．4 D．92．已知a＜b，下列结论正确的是（）A．a﹣m＞b﹣m B．﹣2a﹣m＞﹣2b﹣m C．a﹣2＞b﹣3 D．＜3．已知两点A（﹣1，3），B（2，﹣3），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，﹣b），那么ab的值是（）A．16 B．25 C．32 D．494．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（）A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C6．已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（）A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣77．如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（）A．100° B．53° C．47° D．33°8．第十七届省运会在金华隆重举行．一批射击运动员分别乘坐甲乙两辆大巴同时从居住地前往比赛场馆．行驶过程中，大巴甲因故停留一段时间后继续驶向比赛场馆，大巴乙全程匀速驶向比赛场馆．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）A．大巴甲比大巴乙先到达比赛场馆 B．大巴甲中途停留了0.5h C．大巴甲停留后用1.5h追上大巴乙 D．大巴甲停留后的平均速度是60km/h9．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＞2 C．k≤3 D．k≥210．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（）A．BP2＝2BQ2 B．3BP2＝4BQ2 C．4BP2＝3BQ2 D．2BP2＝3BQ2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为．12．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．13．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是三角形．14．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是．15．如图，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象相交于点（1，3），则方程组的解为，关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为．16．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝10，点M为BC上一点，将△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且BG＝EG，则CM的长度是．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的，射线AE是∠DAC的．（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（﹣5，﹣1），（﹣3，﹣4），（﹣1，﹣3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是；（3）若y轴上存在点Q，使△QBC的周长最小，则点Q的坐标是．20．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是m．21．某中学八年级去年12月份举行了“智学杯”数学竞赛，购买笔记本和圆规作为奖品，笔记本和圆规的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种奖品的总数量为30个，并且购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的．设购买笔记本x本，买两种奖品的总费用为W元．（1）写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）购买这两种奖品各多少时，费用少？最少的费用是多少？22．如图，将一块含45°角的直角三角板AOB放置在直角坐标系中，其直角顶点O与原点重合，点A落在第一象限，点B的坐标为（﹣2，6），AB与y轴交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求OC的长．（3）点P在x轴正半轴上，连结AP．当∠PAO与△COB的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．23．如图，点A在直线l上，在直线l右侧作等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE．（1）求证：∠ADC＝∠ACD；（2）求证：∠BEC＝α；（3）当α＝90°时，求证：ED2+CE2＝2AB2．

2023-2024学年上学期期末模拟考试八年级数学一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目1．已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】D【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：设这个三角形的第三边为x．根据三角形的三边关系定理，得：9﹣4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理．掌握构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边是解决问题的关键．2．已知a＜b，下列结论正确的是（）A．a﹣m＞b﹣m B．﹣2a﹣m＞﹣2b﹣m C．a﹣2＞b﹣3 D．＜【答案】B【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．【详解】解：A、由a＜b，得a﹣m＜b﹣m，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由a＜b，得﹣2a＞﹣2b，由﹣2a＞﹣2b，得﹣2a﹣m＞﹣2b﹣m，原变形正确，故此选项符合题意；C、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；D、当m＝﹣2时，m+2＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．已知两点A（﹣1，3），B（2，﹣3），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，﹣b），那么ab的值是（）A．16 B．25 C．32 D．49【答案】C【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案．【详解】解：∵A（﹣1，3）平移后对应点A1的坐标为（a，1），∴线段向下平移了2个单位，∵点B（2，﹣3）平移后对应的点B1（5，﹣b），∴线段向右平移了3个单位，∴a＝2，b＝5，∴ab＝25＝32，故选：C．【点睛】本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，难度适中．4．已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出P点对应点，进而利用第四象限内点的坐标特点得出a的取值范围．【详解】解：∵点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点为（a，a﹣2）在第四象限，∴，解得：0＜a＜2，故选：B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a的取值范围是解题关键．5．如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（）A．AD∥BC B．BE∥DF C．BE＝DF D．∠A＝∠C【答案】B【分析】在△ADF与△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：∵AE＝CF，∴AF＝CE，A、添加AD∥BC，可得到∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．B、添加BE∥DF，可得到∠BEC＝∠AFD，不能判定△ADF≌△CBE，故本选项符合题意．C、添加BE＝DF，由全等三角形的判定定理SSS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（）A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7【答案】B【分析】由于一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0由此可以确定y的值随x的增减性，然后利用解析式即可取出在0≤x≤5范围内的函数值最大值．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0，∴y的值随x的值增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x＝0时，函数值最大﹣2×0+3＝3．故选：B．【点睛】一次函数y＝kx+b的图象的性质：①当k＞0，y的值随x的值增大而增大；②当k＜0，y的值随x的值增大而减小．7．如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠E的度数为（）A．100° B．53° C．47° D．33°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数【详解】解：∵△ABC≅△DEF，∠A＝100°，∴∠D＝∠A＝100°，在△DEF中，∠F＝47°，∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠E＝33°，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．8．第十七届省运会在金华隆重举行．一批射击运动员分别乘坐甲乙两辆大巴同时从居住地前往比赛场馆．行驶过程中，大巴甲因故停留一段时间后继续驶向比赛场馆，大巴乙全程匀速驶向比赛场馆．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）A．大巴甲比大巴乙先到达比赛场馆 B．大巴甲中途停留了0.5h C．大巴甲停留后用1.5h追上大巴乙 D．大巴甲停留后的平均速度是60km/h【答案】C【分析】观察函数图象，逐项判断即可．【详解】解：由图象可知，大巴甲比大巴乙先到达比赛场馆，故A正确，不符合题意；大巴甲中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故B正确，不符合题意；大巴甲停留后用1.5﹣1＝0.5（h）追上大巴乙，故C错误，符合题意；大巴甲停留后的平均速度是（60﹣30）÷（1.5﹣1）＝60（km/h），故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取有用的信息．9．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＞2 C．k≤3 D．k≥2【答案】A【分析】根据不等式的解集，即可解答．【详解】解：∵不等式组有解，∴k＜3，故选：A．【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（）A．BP2＝2BQ2 B．3BP2＝4BQ2 C．4BP2＝3BQ2 D．2BP2＝3BQ2【答案】B【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC＝∠C＝60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA，根据全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ＝60°，再根据余角的性质得到∠PBQ＝30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果，由勾股定理可得出答案．【详解】解：∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠C＝60°．∵AB＝AC，AE＝CD，∴△ADC≌△BEA（SAS），∴∠ABE＝∠CAD．∵∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°．∴∠BPQ＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ，∵∠BQP＝90°，∴BP2﹣PQ2＝BQ2，∴＝BQ2，∴3BP2＝4BQ2，故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明△ADC≌△BEA是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为a+3＜2．【答案】a+3＜2．【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于2”．【详解】解：“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为：a+3＜2，故答案为：a+3＜2．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．12．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据比例设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和等于180°列出方程求出k，再求出最大的角的度数，即可得解．【详解】解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，由题意得，k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，∴3k＝3×30°＝90°，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，利用设k法求解更简便．14．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是y＝1.8x+1．【答案】y＝1.8x+1．【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，..．∴x节链条总长度y＝[2.8+（2.8﹣1）×（x﹣1）]＝（1.8x+1）（cm），故答案为：y＝1.8x+1．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．15．如图，一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象相交于点（1，3），则方程组的解为，关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为x＞1．【答案】，x＞1．【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行回答，观察函数图象得到，当x＞1时，函数y1＝kx+b的图象都在函数y2＝mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b＞mx+n的解集．【详解】解：以为一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象的交点P的坐标为（1，3），所以方程组的解为，∴关于x的不等式kx+b＞mx+n的解为x＞1．故答案为：，x＞1．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一元一次不等式的关系：从函数图象的角度看，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，直线y1＝kx+b在直线y2＝mx+n上方部分所有的点的横坐标所构成的集合为不等式kx+b＞mx+n的解集．16．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝10，点M为BC上一点，将△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且BG＝EG，则CM的长度是．【答案】．【分析】先证明△GMB≌△GFE，再根据勾股定理设未知数列方程求解．【详解】解：设CM＝x，则BM＝8﹣x，由题意得：DE＝CD＝AB＝10，在△GMB和△GFE中，，∴△GMB≌△GFE（AAS），∴MG＝GF，∵BG＝EG，∴MG+GE＝GF+BG，∴EM＝BF，∴ME＝BF＝CM＝x，EF＝BM＝8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，即：82+（10﹣x）2＝[10﹣（8﹣x）]2，解得：x＝．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换和矩形的性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键．三、解答题：本题共7小题，共66分.其中：17题6分，18-19每题8分，20-21每题10分，22-23每题12分.17．解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．【答案】﹣2.5＜x≤1，该不等式组的非负整数解是0，1．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的非负整数解．【详解】解：，解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＞﹣2.5，故该不等式组的解集是﹣2.5＜x≤1，∴该不等式组的非负整数解是0，1．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）35°．【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．（2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．【详解】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．故答案为：垂直平分线，角平分线；（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝30°，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝35°．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（﹣5，﹣1），（﹣3，﹣4），（﹣1，﹣3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是（﹣2，0）；（3）若y轴上存在点Q，使△QBC的周长最小，则点Q的坐标是（﹣2，0）．【答案】（1）△A1B1C1见解析；（2）（﹣2，0）；（3）（0，﹣）．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A1B1C1；（2）根据线段垂直平分线的性质可得出点P的位置，从而得出坐标；（3）连接BC1，交y轴于Q，根据待定系数法求出k和b的值即可．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；（3）连接BC1，交y轴于Q，设BC1的函数关系式为y＝kx+b，∴，解得，BC1的函数关系式为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法求函数解析式等知识，准确找出点的位置是解题的关键．20．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m．【答案】（1）见解析；（2）爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）0.6．【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案；（3）因为OA＝OB，由勾股定理求得OB，再根据AM＝OD+DM﹣OA便可求得结果．【详解】解：（1）△OBD与△COE全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS）；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，∴EM＝DM+DE＝1.8（m），答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）∵OA＝OB＝＝3（m），∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．故答案为：0.6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．21．某中学八年级去年12月份举行了“智学杯”数学竞赛，购买笔记本和圆规作为奖品，笔记本和圆规的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种奖品的总数量为30个，并且购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的．设购买笔记本x本，买两种奖品的总费用为W元．（1）写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）购买这两种奖品各多少时，费用少？最少的费用是多少？【答案】（1）W＝4x+240（8≤x＜12且x为正整数）；（2）当笔记本买8本，圆规买22本时，费用最少，最少费用为272元．【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出W（元）关于x（本）的函数关系式，根据所购买笔记本的数量要少于圆规数量的，但又不少于圆规数量，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围，注意x为整数；（2）根据（1）中函数关系式和x的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得购买笔记本以及圆规各多少时，费用最少，最少的费用是多少元．【详解】解：（1）由题意可得，W＝12x+8（30﹣x）＝4x+240，∵购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的，∴，解得，∵x为整数，∴8≤x＜12，即W（元）关于x（本）的函数关系式是W＝4x+240（8≤x＜12且x为整数）；（2）由（1）知W＝4x+240，k＝4＞0，所以W随x的增大而增大，所以当x＝8时，W最小＝272，答：当笔记本买8本，圆规买22本时，费用最少，最少费用为272元．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．22．如图，将一块含45°角的直角三角板AOB放置在直角坐标系中，其直角顶点O与原点重合，点A落在第一象限，点B的坐标为（﹣2，6），AB与y轴交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求OC的长．（3）点P在x轴正半轴上，连结AP．当∠PAO与△COB的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．【答案】（1）A（6，2）；（2）OC＝5；（3）OP的值为5或或8．【分析】（1）如图1中，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D．证明△OBE≌△OAD（AAS），推出BE＝AD，OE＝OD，可得结论；（2）求出直线AB的解析式，可得点C的坐标，即可解决问题；（3）分三种情形：①∠PAO＝∠B，②当∠PAO＝∠BOC时，③∠P′AO＝∠BCO时，