【北师】第一次月考B卷（考试版+解析）

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．在3，-34，π，0，49，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（A．1 B．2 C．3 D．42．下列式子正确的是(

)A．9=±3 B．(-3)3．下列说法中，正确的个数有（

）①不带根号的数一定是有理数；

②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；③无限小数都是无理数；

④是17的平方根；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米5．图中不能证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a2；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝2524，c＝7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．把(2-x)1x-2的根号外的（2-x）适当A． B． C．-2-x D．-8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE＝4cm，BD＝1cm，连接AD，则线段AD的长为（

）A．5 B．7 C．5 D．9．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是()A．－2 B．－22 C．1－22 D．22－110．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m二、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．81的平方根是．12．若a，b为实数，且b＝a-3＋3-a－11，则a＋b13．任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72→第1次72=8→第2次8=2→第3次2=1，这样对72只需进行3次操作后变为114．动手操作：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，，点D为边AC上一动点，DE⊥AB交AB于点E，将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，15．小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若OA=5，OC=4那么在这个过程中BD长度的取值范围是．第Ⅱ卷三、解答题：本题共8小题，共75分。16．（8分）计算．（1）75×（2）3-17．（9分）解答下列问题．（1）已知x=15-2，y=（2）已知实数x，y满足y=x-2+2-x18．（9分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图AB=4m，BC=3m，AD=12m（1）技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC=90°（2）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？19．（9分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．20．（9分）方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点，位置如图.（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个.21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长．22．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝12c2+12a（b﹣∴12b2+12ab＝12c2+12a（∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．23．（11分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90．，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点0重合，AC=b，BC=a，且满足b-（1）求a，b的值；（2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t秒，连接OB．①若△OAB为等腰三角形，求t的值；②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，求出t的值：若不能，说明理由．

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．在3，-34，π，0，49，0.6，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：0是整数，属于有理数；-3，是分数，属于有理数；0.6是有限小数，属于有理数；无理数有3，π，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），共3个．故选：C．2．下列式子正确的是(

)A．9=±3 B．(-3)2=-3 C．【答案】D【分析】依据算术平方根、立方根的性质解答即可．【详解】解：9=3，故A(-3)2=3没有意义，故C错误；，故D正确．故选：D．3．下列说法中，正确的个数有（

）①不带根号的数一定是有理数；

②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；③无限小数都是无理数；

④是17的平方根；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；④是17的平方根，正确；故选：B．4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】如图：由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米，AC=62+8故选：C．5．图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式a+b2=4×1C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式a+b22=2×D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×1故选：A．6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a＝32，b＝42，c＝52；②（c+b）（c﹣b）＝a2；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝2524，c＝7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形内角和逐项分析即可．【详解】①∵a＝32，b＝42，c＝52，∴∴a∴△ABC不是直角三角形；②∵（c+b）（c﹣b）＝a2；∴c∴△ABC是直角三角形；③∵∠A+∠B＝∠C，∠∴∠∴△ABC是直角三角形；④a＝1，b＝2524，c＝∵∴∴△ABC是直角三角形；∴符合题意的有②③④，共3个，故选C．7．把(2-x)1x-2的根号外的（2-xA． B． C．-2-x D．-x-【答案】D【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．【详解】解：由题意得：1x-2∴2-故选D．8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE＝4cm，BD＝1cm，连接AD，则线段AD的长为（

）A．5 B．7 C．5 D．【答案】C【分析】根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=4cm，CE=BD=1cm，然后再求得DE，最后运用勾股定理求解即可．【详解】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACE=90°，∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，在△ACE和△CBD中，∠∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE=CD=4cm,CE=BD=1cm,∴DE=CD-CE=4-1=3cm∴AD=A故选C．9．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是()A．－2 B．－22 C．1－22 D．22－1【答案】C【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案.【详解】根据题意可得QP=22+2∵Q表示的数为1,∴P1表示的数为1-22.故选C.10．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m【答案】B【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝AC2+AB2＝8∵8＜80＜9，∴云梯的长度至少9m，故选：B．二、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．81的平方根是．【答案】±3【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．【详解】解：81=9，∴实数81的平方根是±9故答案为：±312．若a，b为实数，且b＝a-3＋3-a－11，则a＋b的立方根为【答案】-2【分析】先根据被开方数的非负性求出a、b的值，然后代入求解即可．【详解】解：∵b＝a-3＋3-a∴a-∴a-3=0，即a=3∴b=-∴a+b=3-∴a＋b的立方根为-2．故答案为-2．13．任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72→第1次72=8→第2次8=2→第3次2=1，这样对72只需进行【答案】3255【详解】①∵根据定义，81→∴对81只需进行3次操作后变为1.②设x=1，x为正整数，则1≤x<2，设y=3，y为正整数，则3≤y<4，设z=15，z为正整数，则15≤z<16，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.故答案为3，255.14．动手操作：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，，点D为边AC上一动点，DE⊥AB交AB于点E，将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，AD的长为．【答案】3或5/5或3【分析】分∠DFC=90°，∠DCF=90【详解】解：当∠DFC=90∵将∠A沿直线DE折叠，点A的对应点为F，∴∠A=∠AFD，AD=DF，，∠DFC=90°，∠AFD+∠∴∠∴FC=BC=4在Rt△DFC中，∴8∴AD=3当∠DCF=90°时，点F与点B重合时，AD=DF，∵D∴A∴AD=5故答案为：3或5．15．小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若OA=5，OC=4那么在这个过程中BD长度的取值范围是．【答案】1≤BD≤3/3【分析】根据矩形的性质得∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，当折痕EF移动时点D在BC边上也随之移动，由此可以得到，当点E与C重合时，BD最小，当F与A重合时，BD最大，据此画图求解即可.【详解】解：∵四边形OABC是矩形∴∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，当点E与C重合时，BD最小，如图所示：此时CD=OC=4，∴BD=BC-当F与A重合时，BD最大，如图所示：此时OA=AD=5，∴BD=A∴BD的取值范围为：1≤故答案为：1≤第Ⅱ卷三、解答题：本题共8小题，共75分。16．（8分）计算．（1）75×（2）3-【答案】（1）1532-2；（2【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）75×=5=1532-（2）3-=3+1=4=4-4317．（9分）解答下列问题．（1）已知x=15-2，y=（2）已知实数x，y满足y=x-2+2-x【答案】（1）19；（2）±6【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出6xy值，再求平方根即可．【详解】（1）x=1y=15+2∴x+y=x⋅∴x2+xy+（2）∵y=∴x-2≥02-x≥0，∴x=2，∴y=3∴6xy∴6的平方根为±6．（918．（9分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图AB=4m，BC=3m，AD=12m（1）技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC=90（2）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【答案】（1）测量的是点A，C之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=【分析】（1）测量点A，C之间的距离，运用勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）先判断ΔACD是直角三角形，根据求出四边形ABCD的面积即可得到结论．【详解】解：（1）测量的是点A，C之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足a2+b（2）连接AC，∵由（1）得∠B=90°，∴在Rt△ABC中，AC在△ACD中，CD2=1∵5∴AC，（平方米），（7分）（元），∴这块地全部种草的费用是1080元．（9分）19．（9分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根据勾股定理解答即可．【详解】（1）解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（4分）（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，（7分）解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．（9分）20．（9分）方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点，位置如图.（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个.【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析；（3）4．【分析】（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A的距离是5的点就是所求；（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解．【详解】（1）（2）如图所示：（6分）（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．（9分）21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长．【答案】(1)见解析(2)BD(3)3【分析】（1）根据等角的余角相等证明∠BAD=∠CAE，后利用SAS证明全等即可．（2）连接FE，先证CE2+CF2=EF2，再证B（3）连接DE，先计算DF长，再计算DC及其DE的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°，又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE．（3分）（2）结论：BD连接FE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°，由⑴知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE∴BD∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，在△DAF和△EAF中AF=∴△DAF≌△EAF，（5分）∴DF=EF，∴BD2+C（3）连接DE，由⑵的结论，BD因为BD＝3，CF＝4，所以42∴DF=5，∴DC=DF+CF=9，在Rt△CDE中，CE∴32∴DE=310；∴在等腰直角△ADE中，AE2+A∴AD∴AD=35．（1022．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝12c2+12a（b﹣∴12b2+12ab＝12c2+12a（∴a2