椭圆的生成课件

＞椭圆的角度微分法

椭圆的角度微分法是利用椭圆的内接多边形来逼近椭圆

设椭圆的参数方程为

x=acosg

(1-31)

Iy=bsin^p

其中a》0〉0,旋转角中的起始角、终止角分别为*/?,且满足关系式0&a〈p&360

当把椭圆的圆周角〃等分之后,椭圆的内接多边形所对应的中心角Ag为

△W=2TT/〃(1-32)

此时第i条直线的两端点坐标分别是

(i=O,l(1-33)

aCOSQ+1=x,cosA^

(1-34)

+J—ycosAw

-

cosA*卡sin△中j.-

L#」

卜n△卓区q中

劣-1

y」Ml」

sin△中cosAg

a..5

IccsA^p一coM中―齐inA0

/sinAF

iyi+i'■加-1■^sin△中cos△中ucisA©I;;]

oos△中一号win△平OOsAfTJi-sinA©・

cosA勺-?sinMcusA手

0

=2

ir)sAyJ』

1011*「

=2oosA®0JLv.-'

-(2cceA$>),Jr-JT,-I

Kf+1l(f=1,2,…，n-I)(1-35)

ly+i二(2co4中)“-y!

a^b时.取H=0.5a+20*

更为一般的椭圆是椭圆的长轴与坐标系的X轴具有一夹角6,

见图1-8。

为了讨论方便，令其留心坐标为（0，。），利用旋转公式

IJC=、/•cos。~-sin®

(1-36)

ly=j：r-SLK0-y'ctxO

可得此时椭圆的参数方程

x="♦cosgyus。~〃，sing,sin9

(1-37)

y=a,cos*,sinU+b•sin仪,cos5

令△伊=2兀/%其中〃为其内接多边形的边数,旋转角仪从起始角

a旋转至终止角,8处，这时其内接多边形的第：点坐标是

<f>t=a»,平.i

<Xj~a'cos5,cas(fi-b,sin。•sin®(i=0,l,2,…，4)(1-38)

(y,-a•sing,cos伤+b-cos8,sinR

其第£+1点坐标是

Jx；+1=(a•oas^)*cos(<p♦A夕)~(^,sint?)*sin(^>-+4g)

tJ(1-39)

(汕」i=(a(衿+△—+(b•axif?),sin($>,•+Acp)

Ico»(仍+△$?)=cos△g'COS物-sinAg,sin价

而|sin(<f>i»>甲、=cos△3,sin^pr+InAg'cos弘

若设A-a・co姐，B=/Lsin6,C=a，sinO,D=»oose

EccsAa.E-sind中、S：=cos%,Rsin仍

则上述递推公式可简化为

5“=E£-CT.

力・i=EF+F・S；

,_仪口，(f=0,1・…，”-I)(1-40)

工,-i-八A6.[-B・rr(,।

,»«i=C•5：ji+D•7/

注意此时

So=c

T&=sina

(1-41)

xnA-&B,/'1)

No=C'-S(|।D•丁o

可见断转后的确圆其递推公式并不简单，它仅是把大量的三角函数运算转化成实数运算

而已,但它却是生成椭mi的基本公式之一;

设椭圆的圆心位于坐标系原点，我方程为

111T桶园的对称性.因此只需时论在坐标系第-象限中椭园弧（顺时针方向旋转）的生成即nJ

达到画一个完整椭圆的目的

对椭回方程进行微分，并令--1.得N点坐标

（元仔2*'潦1玄）.见图J以根据椭网的性质.

对于俞椭㈱弧.显然八〉0,△.、，＜0,且誓2•I.所以

W,\ANI.这就是说为了逼近而弧.各点的坐标步

进规律整X坐标每次推算加1,而坐标利会推算是图1-9四分之一椭圆弧勺具分界点N

否减】由偏差判别式来确定。同理,逼近母弧的冬

点坐标步进规律是了坐标每次推算减I.而*也标是否加1中一偏差判别式来确定，

现对椭I剧方程进仃适当变形井•把它定义成函数4（1.））.有

4（1，3＞）色62比2+«2/_.“2,/（142）

可以发现：

当点3”，）位于椭圆之外时，函数〃（7,、＞＞0；

当点（工4・）位于椭圆之上时，函数d（*G）=0；

当点Q"）位于椭圆之内时，函数＜/（.r,,y）＜0.

首先解决八N弧封点偏差的递推计算问题.

设第i-I点从病弧上方遇近烟潮I,根据中点偏差判别法则.这意味后第?：-1点的中点

偏差£1<0.因此可得第？-1点与第r点的中点坐标,见图I-10(a)o那么第i-1点与第r

点的中点偏M分别为

di।-<1(M,।尸t<r|MI2

dt一(I(M)=Z>«2；1+1产+a°a'b2

故&=dj-l4?4工，:『(:一？，••”)(I47)

设第£1点从寂弧下方遇近椭圆，根据中点偏差判别法则，这意味有乩I》。，因此可

得第i-1点与第i点的中点坐标，见图l”O(b)n那么第点与第i点的中点偏景分别为

44ytrb-

d,—b'(.；r,-i+1尸+a].y；।

2

故di=dt।la''y,।+2b''x,।+6(/=2,(148)

需要说明：对于U-47)与EL4于两式中的2川.者_］运算,由于它发生于中点偏差递推升

算的每步，因此可利用在速报过程中底次彳都加1这一机会,迭加格城以实现该运算;

而对于2“Z.y1运算.由于它仅发生在4RO.即》,=丫一I期间，因此可以利用当.y斌1

时,从常址2个、”(注意常员可能是一个巨型性数)中递减常量2“？以实现该运算经

过这样处理之后.递推公式(1-47)'j(148)就只剩下简单的加减法运弟了

AN强的初始条件：

由于梆圆晶从八（0.8）点处开蛀州点，所以.O.M,一〃.㈣第一点的中点坐标为MU1.

621相应俏三小为

出二标（1尸+仪4一告）

=Z>：a'h,n7Z4

对切，弧也挑行类似的处理并有纳论：

当比iXiat

当M,«)n-!

•/)~d(i,2Zi"•.1t2M:•、？।tu(1-51)

NB啊勺初始条竹t

显然茄，弧的起点应从X点处开始，僧、•点的坐标计算发朵目为耶惟数.使川极为小使.

可丐虚

芝(/尸+a2yz-(rfj2)~l>

科瓠第

4y___2bzjmIfRI-A'IMHVJfi

dr2a-y

令&;「2〃'/.d_y=2“'*.用有帖论："fAx—Ay

时，此时的.r.,V坐硬应于N点.；/A.r<Ay时，此时

的1•一坐料理应上而如；当Ar>生时.此时的」q，

弁一郎，森其\e>9l

生你对应「工6强乂因2方。灯2a〃的什尊在M菽

犯时已解决，皿里只常简单比较一卜两部的大小就健

达到纠断所摭京派是否到达或雄过N点：出III倘定YHflt附切蜡条件

NB弧中点偏左初始的处理如F-

卿i-1点仍同余版,技众弧的递推公式推一

口』1点已超过N点.因此应把第，'点的中心M”的儡冷转换成3%起点的中点以的就

卷.如阳LI1所示所以勺

M.融途：d,~b'[^xi।v4)十。'(乂17)'-a.(I52)

.%点偏Zhd'「人彳gi-I)'+u'(y,「J)a'b2(t«53)

故</,(7,*3((.''/r)/4-i：/•1•»；।ir??*v,)

二£厂卜3((？-。2)/4(Ar-Ay)/2(|-54)

当把式U-54)中的用作为篇弧巾点偏差的初始化并运用(150).(1-51),(145).(l-46)?q

式推笠.就旋到达.0)点处，从而'完成整个；而弧的绘制

1.4自由曲线的生成

所谓自由曲线，可以把它理解为曲线的形状可由人们

随意指定多个控制点（型值点、插值点）而确定。为了避免

高次曲线计算复杂，性能不稳定等缺陷，通常的做法是采

用分段的低次曲线来构造整条曲线，这样的曲线称为样条

曲线。

自由曲线分两类：

一类用于曲线的数值分析，它要求曲线准确地通过插

值点，这类曲线主要有三次样条曲线与三次参数样条曲线

等；

另一类用于曲线的综合，它不要求曲线一定通过其控

制点，这类曲线主要有贝齐埃曲线与B样条曲线等，它们

主要用于曲线、曲面的形状设计中。

-次样条函数的基本内容可表述如.

已知〃个型值点P（r,.x）,i=12…，，八且口<4<一<.（…苦>=53）满足下列

条件：

①型僮点在函数.丫=凯工）上；

②SQ）在整个伏皿叫以上二次连续可导；

③在每个于国网［小T，/《；-1,27）l：,SCr）都是」的三次多项式"

则称SJ）是过型然点的三次样条函数，由三次样条函数构成的曲线称三次样条曲线

由上述定义可知，5⑺在每个F区间二都站三次多期式，因此.第，段的、s.

（龙）可写成

S,（x）=a,I/>,（•<•-^7）+C（J'.r,）2+C/,（J:.z；）1（I55）

其中.为特定系数二分段函数.S（r）与型值点/”,「之间的关系见图112.

现用型值点处的二阶导数来表达三次样条函数二

由（155）式叮求得分段函数%（丁）的一阶一阶号数如F:

2

S1（M）=b,+2cf（.ra,）+3（/f（x,x；）

,S”,（i）=2*+6d,（f-&）

由于股值点匕（u,，M）在函数$上，即y=S（r,）.故

图1-12分段函数总⑴与取值

.=加

点匕“」1之间的关系

考虑点处的二阶导致去达式,有年（七）二2仃.今此时分

段函数S.{.r）仁型强点P,处的二阶汴数为M,是另•待定系数，有

由于函数S"）二阶导数连续，即第I段分段函数Sf在其终点处的二阶导数等于第j+I

段分段函数S.7在其起点处的二阶导数,见图1-12,宥

,竽式即，1*=离,i（曲+r）

得4•=泰（C什I-。）=蒋2（由4+1-M；）

其中"i=H：11-4c

同理，由于函数5（H）是连续的，即第i段分段函数S；在其终点的函数值等于第£+1段

分段函数字+i在其起点的函数值，有

把已求得的系数分别代入上式，得

■三土G+.那）丁斯（当七埠U）

则用型值点处二阶导数表达的三次样条函数为

Si⑺=%+看-与（必+^^卜％-的）

十学•（*一力/+自（Mr（1-56）

现可利用函数S（z）的一阶导数连续来求解各型值点处的二阶导数M：的数值c

乂=5。（工：）

令k=,%T._&-八__6/%+「yw-i）

Di

'11,-t+h,'内儿—+儿♦~h1.l+hi\h,一）一.1

则有左•Mj-i+2・M+/vM,+j=D,（1-57）

注意,此时£=2,3,…，（附—1）出+修=1。

（1-57）式称为三次样条函数S（H）的“M连续性方程"，它反映广力学上的"三弯矩关系:

不难发现（1-57）式共有〃-2个线性方程，还不能惟一地求解出各型值点处的二阶导数M.a

但如果在实际应用中，根据实际问题要求给出Mi与或-阶导数等已知边界条件,即在曲

缆两端给出约束条件，就能惟一地求解出一组M：参数，从而惟一地确定过型位点的三次样条

函数。

三次样条曲线常用的边界条件有夹持端、自由端、抛物端等三种，现分别叙述如下。

①夹持端：根据实际问题的需要限定曲线两端的切线,即已知曲线在始端与终端的一阶

导致3与京,从而给出约束M]与M”的约束条件,由于

S|（x1）=y'1

21

故2M|+M2=6（^-y；）Aq（1-58）

又S：

故Mn^2Mn=6（y\-）1hn..,（1-59）

加上这两个条件与（I-57）式就能确定出惟一的一组H.G=；,2,3,…切）来二

②自由端：即曲线在始端与终端的二阶导数为零，它说明曲线在始端与终端不受外力约

束,其切线方向仅受该曲线其他型值点的影响而变化。由于已知二阶导数与Mn的大小,

则它与（1-57）式联立在一起共有n个条件,能求解出惟一的一组=为了

使该已知条件与（1-57）式的表达形式相同，令

[l,M0+2・Mi+0・M2=2M]

10,M…42・M,+1-M/i=2M“（1®）

则Ma-i=0。

③抛物端：认为曲线在第1段S|（和第HI段S“|（工）（即末段）为抛物端、也就是此

二段曲线的二阶导数为常数（非零），因此，令Ji।二“，即有

p-Mn+-2-M,-2Mi0

〕2iM”.广2・M“+3・A4“，i=0(1-61)

为了简化表达，将这:种边界约束条件写成统•表达式上述M连续性方

[2,M|+i）i程是由型值点处

(1-62)

["•陆-1+2・1讨产。一阶导数连续而

表11三次样条曲线的边界约束条件导出的，它反映

边界条件九了相邻型值点处

央持用产1=1.七二1二阶导数的关系。

如果在推导型值

自由端，“广。区=0D「2MI,D“=2M“，其中JW：M..-0

他物端2儿=2D|O.D„0点关系式时改用

把这三个边界条件与（I-57）式结合在一起即构成•个完整的线性方程组,可川矩阵表示s”M（x尸

如下

作为条件，可以

2”[Mi-Dr

类似地推导出反

入22/0M5

2映相邻型值点处

432”3M力3

3zsz(163)

•••・・♦……一阶导数关系的

0h-12/G-1M,..।D,m连续性方程式。

儿

L2,一M“.从

山JYI-63）式是一个主对角线元素为2且占优的矩阵，因此它存在裱一解

①用n个型值点a逼近一条已知曲线且满足其*坐标递增这一条件；

②根据实际情况确定曲线的边界条件；

③求解M.的值，用追赶法求解而不用一般的消元法，这样能节省大量的时间和存储空

间。

④将求解出的M分段代人s,a）的表达式中。按照绘图要求，计算各段内的若干插值点,

并依次用直线相连，可画出所求的三次样条曲线。

①由于它要求严格保证其…V/，这就决定了该曲线不能绘制具有垂直切线之

类的曲线。

②如果用三次样条曲线代替人工放样，当曲线的导数旷区1时，这两者吻合的效果较好;

但当其旷|>1时，虽然三次样条曲线过指定的型值点并保证其二阶导数连续，但它仍与

人工放样所画出的曲线有较大的差异。

③当曲线中夹有直线时，如直线与圆弧的接合处，如硬要让其保证二阶导数连续，则

将使直线或曲线产生波动。解决这个问题的方法是采用分段拟合，找出直线与圆弧之

间的切点和切点处的斜率，把该切点作为型值点，其斜率作为样条曲线的边界条件，

分段绘出直线与曲线。显然此时切点处只能保证两者一阶导数连续，而不能保证二阶

导数连续。

给定9个型值点：(0,0),(45,71),(90,

100),(135,71),(180,0),(225,-71),(270,

-100),(315,-71),(360,0),画出过这组型值

点的三次样条曲线。

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