文科数学一轮复习高考帮全国版试题微专题4高考中的立体几何问题（考题帮数学文）

微专题4高考中的立体几何问题一、选择题(每小题5分,共30分)1.一个多面体的三视图如图41所示,则此多面体的表面积是()图41A.22 B.242 C.22+2 D.20+22.如图42,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积是()图42A.233+23π B.233+163πC.4+1633.已知正方体ABCDA1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为153,则该正方体的棱长为()A.15 B.10 C.3 D.24.[数学文化题]如图43为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()A.6 B.223 C.6 D.2515.[数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图44所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的23(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为()图44A.2cm B.43cm C.83cm D.6.如图45,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为()图45A.35 B.32C.12二、填空题(每小题5分,共10分)7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为.

8.如图46,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0<r≤1)的圆锥.当半径r变化时,正方体挖去三个14圆锥部分后,余下的几何体的表面积的最小值是图46三、解答题(共48分)9.(12分)如图47,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,CF∥EA,EA=2AB=2CF=2.(1)若EC交平面BDF于点G,求证:CG=14CE(2)求证:EC⊥平面BDF;(3)求多面体ABCDEF的体积.图4710.(12分)在如图48所示的几何体中,矩形ABCD所在的平面与平面ABEF垂直,四边形ABEF是等腰梯形,AB∥EF,AB=2,AD=EF=1,O为AB的中点.图48(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(2)设平面CBF将几何体EFABCD分割成的两个锥体的体积分别为VFABCD,VFCBE,求VFABCD与VFCBE的比值.11.(12分)如图49,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB上一点,且三棱锥PBCE与四棱锥PADCE的体积之比为1∶2,CE与DA的延长线交于点F,连接PF.(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;(2)若三棱锥PAEF的体积为32,求线段AD的长图4912.(12分)如图410,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,AD∥BC,AD=1,BC=3,将△PAD沿AD折起得四棱锥PABCD,使PD⊥PB.(1)求证:PD⊥平面PBC;(2)若三棱锥PADC的体积为233,求四棱锥PABCD图410答案1.C根据题中三视图知,该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分,因此其表面积为6×221×1×2+2×1=22+2,故选C.2.D观察题中三视图可知该组合体的上面是三棱锥,下面是半径为1的半球,其直观图如图D41所示.图D41解法一如图D42所示,将组合体中三棱锥ABEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体的棱的中点.取EF的中点C,连接AC,BC,则EF⊥平面ABC,由已知得,EF=AB=2,AC=BC=5,所以S△ABC=12×2×2=2,三棱锥ABEF的体积V1=13×S△ABC×EF=43,半球的体积V2=12×43π×13=23π.所以该组合体的体积V=V1+V2=4图D42解法二如图D43所示,将组合体中的三棱锥ABEF“补”成正方体,顶点A,B,E,F分别是正方体的棱的中点,取AB的中点G,过EF和点G作截面EFDC,则截面EFDC将三棱锥ABEF分成两个相同的小三棱锥,且AG=1,S△EFG=12×2×2=2,所以三棱锥ABEF的体积V1=2×13×S△EFG×AG=43,半球体积V2=12×43π×13=23π,所以该组合体的体积V=V1+V2=4图D433.D设正方体的棱长为a,则AC1=3a,由正方体ABCDA1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点,可知球O的半径R=32a,因为E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,所以EF=EG=FG=22a,所以△EFG为等边三角形,S△AEF=12×a2×a2=a28,S△EFG=12×2a2×2a2×32=3a28.设点A到平面EFG的距离为h,由等体积法得S△AEF×AG×134.C设正四棱柱的高为h,表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为4,2,h的长方体的外接球,设外接球的半径为R,则4πR2=56π,所以4R2=56.又(2R)2=42+22+h2,所以56=20+h2,解得h=6.故选C.5.D由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥形容器中的细沙的高为H=23×8=163,底面半径为r=23×4=83,故细沙的体积V=13πr2H=13π×(83)2×163=1024π81.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设其高为H',则V=13π6.C解法一如图D44,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接AC1,CB1,C1B',易得MN∥AC1,EF∥CB1∥C1B',图D44那么∠AC1B'或∠AC1B'的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1=2AB=2a,则AC1=C1B'=3a,连接AB',则AB'=a2+(2由余弦定理,得cos∠AC1B'=(3a)则直线MN与EF所成的角为∠AC1B'的补角,其余弦值为12.故选C解法二如图D45,连接AC1,C1B,CB1,图D45设C1B,CB1交于点O,取AB的中点D,连接CD,OD,则MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,那么∠DOC或∠DOC的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1=2AB=2a,则AC1=CB1=3a,所以OD=OC=3a2,又CD=3a2故∠DOC=60°,所以∠DOC即为直线MN与EF所成的角,且cos∠DOC=12,所以直线MN与EF所成角的余弦值为127.12π由球体的对称性可知,圆柱的高即球心到圆柱两底面圆心的距离之和,设圆柱的底面半径为r,球心到圆柱底面的距离为d,外接球O的半径为R.由球心到圆柱底面的距离、圆柱底面的半径、球的半径之间构成直角三角形,可得r2+d2=R2.由题设可得2πr×2d=8π,所以d=2r,则R2=r2+d2=r2+4r2≥2r2·4r2=4,当且仅当r=2时取等号,此时球O的体积取得最小值.故此时圆柱的表面积S表=8π+2πr28.3+3(2-1)4π由题知,余下几何体的表面积由原正方体的表面的剩余部分和3个14圆锥的侧面组成,其表面积S=34πr·r2+1+3(1r)+3(114πr2)=6+34π(rr2+1r24rπ),其中0<r≤1.设f(x)=xx2+1x24xπ,0<x≤1,求导并整理得2x2+1x2+1(2x+1)<2x2+1(2x+1)=2x(x1)≤0,∴2x2+1x2+1<2x+1,∴f'(x)=2x2+1x2+12x4π<2x+12x4π=9.(1)连接AC交BD于O,连接FO,如图D46所示,∵EA∥FC,∴A,E,C,F四点共面,∴FO与EC相交,又FO⊂平面BDF,∴FO与EC的交点即EC与平面BDF的交点G.(2分)过O作OH∥AE交EC于H,∵O是AC的中点,∴H是EC的中点,∴OH=12连接HF,∵AE∥CF,且AE=2CF,∴OH∥CF,且OH=CF,∴四边形HOCF是平行四边形,∴G是线段CH的中点,∴CG=14CE.(4分)图D46(2)∵EA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴EA⊥BD.∵BD⊥AC,AC∩EA=A,∴BD⊥平面EAC,又EC⊂平面EAC,∴BD⊥EC.(6分)∵OC=22AB=CF=OH,OH⊥OC,∴四边形HOCF为正方形,∴OF⊥∵BD∩OF=O,∴EC⊥平面BDF.(8分)(3)由(2)知BD⊥平面EACF.∵S梯形EACF=(AE+CF)×∴V多面体ABCDEF=VBEACF+VDEACF=13S梯形EACF·BD=2.(12分)10.(1)设FD的中点为N,连接AN,MN.∵M为FC的中点,∴MN∥CD,MN=12CD.(2分)又AO∥CD,AO=12CD∴MN∥AO,MN=AO,∴四边形MNAO为平行四边形,∴OM∥AN.(4分)又OM⊄平面DAF,AN⊂平面DAF,∴OM∥平面DAF.(6分)(2)过点F作FG⊥AB于G.∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FG⊥平面ABCD,∴VFABCD=13S四边形ABCD·FG=13AB·BC·FG=23同理可证CB⊥平面ABEF,∴VFCBE=VCBEF=13S△BEF·CB=13·12EF·FG·∴VF-ABCDVF11.(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.(1分)又底面ABCD是矩形,所以AD⊥CD.(2分)因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.(3分)因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(4分)(2)不妨设AP=AD=x,则AB=2AD=2x,BC=x.(5分)因为三棱锥PBCE与四棱锥PADCE的体积之比为1∶2,所以13·12BE·BC·PA13·AE+CD2则BE=4x3,AE=2x易知△AEF∽△BEC,则AFBC=AEBE=12,即AF=1所以三棱锥PAEF的体积V=13×12×AF×AE×AP=13×12×12x×2x故线段AD的长为3.(12分)12.(1)翻折前在Rt△PBC中,∠PCB=90°,AD∥BC,所以AD⊥PC,翻折后AD⊥PD,所以BC⊥PD.(2分)又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.(4分)(2)翻折后AD⊥DC,AD⊥PD,所