人教A版必修一课后作业第三章函数应用31

学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.梳理对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的.如f(x)＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)，f(1)＝lg1＋1＝1.那么能判断f(x)＝lgx＋x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内有零点吗？答案能.因为f(x)＝lgx＋x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内是连续的，函数值从－eq\f(9,10)变化到1，势必在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))内某点处的函数值为0.梳理一般地，有函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.类型一求函数的零点例1函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________.答案x＝1或x＝10解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.答案4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).可知零点为±1，－2,3，共4个.类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案C解析令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案2解析∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点.∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点个数例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.方法二在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的个数.解方法一由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数y＝lnx，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数转化为函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图象交点的个数.由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点.命题角度2根据零点情况求参数范围例4f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是()A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)答案D解析由题意可得a＝x－(eq\f(1,2))x(x＞0).令g(x)＝x－(eq\f(1,2))x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单.跟踪训练4若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A.(－∞，1－eq\r(2)]∪[1＋eq\r(2)，＋∞)B.(－∞，1－eq\r(2))∪(1＋eq\r(2)，＋∞)C.[－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)]D.(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))答案D解析函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0，,f0＝2m＋1＜0，,f1＝4m＋2＜0，,f2＝6m＋5＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))∴－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，∴实数m的取值范围是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)).1.函数y＝x的零点是()A.(0,0)B.x＝0C.x＝1D.不存在答案B2.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案C3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C4.下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案D5.函数f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.无数个答案B1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课时作业一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.3．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)答案C解析由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．4．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点 B．一定没有零点C．可能有两个零点 D．至少有一个零点答案C解析若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0答案B解析方法一由f(x)＝0得2x＋eq\f(1,1－x)＝0，∴2x＝eq\f(1,x－1).在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝eq\f(1,x－1)的图象(图略)，观察图象可知，当x1∈(1，x0)时，y1<y2；当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函数y＝2x，y＝eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0得f(x2)>f(x0)＝0.6．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个 B．两个C．至少两个 D．无法判断答案B解析f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.7．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.二、填空题8．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．答案m>1解析f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.9．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．答案－3解析根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.10．若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________．答案－12＜a＜0解析根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．由图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＞0，,f0＜0，,f1＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋10＋a＞0，,a＜0，,3－5＋a＜0，,27－15＋a＞0，))解得－12＜a＜0.11．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－4，x≤0，,lgx，x＞0))的零点是________．答案－2,1解析当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lgx＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1.12．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．答案(1，＋∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，a>1时，两函数图象有两个交点；0<a<1时，两函数图象有一个交点．故a>1.13．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是______________．答案(eq\f(1,2)，1)解析画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k＞eq\f(1,2)，且k＜1.三、解答题14．设函数f(x)＝ex－m－x，其中，x∈R，当m＞1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．解∵f(x)＝ex－m－x，∴f(0)＝e－m－0＝e－m＞0，f(m)＝e0－m＝1－m，又∵m＞1，∴f(m)＜0，∴f(0)·f(m)＜0.∵函数f(x)的图象在区间(0，m)上是一条连续曲线，∴函数f(x)＝ex－m－x(m＞1)在区间(0，m)内存在零点．15．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y