江西省吉安一中北师大版高中数学选修2-1教案25空间向量夹角的计算

2.5空间向量夹角的计算1．能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点)2．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)知识点一直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.知识点二平面间的夹角(1)平面间夹角的概念如图，平面π1和π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)平面间夹角的求法设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤〈n1，n2〉≤eq\f(π,2)时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当eq\f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.知识点三直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.考点一直线间的夹角例1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．【名师指津】1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键．2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．练习1．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5)B．eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(10),10)D．eq\f(3,5)考点二平面间的夹角例2如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，AD＝AA1，∠DAB＝60°，F为棱AA1的中点．求平面BFD1与平面ABCD【名师指津】求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时)).练习2.如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥S­ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SCD与平面SAB所成二面角α的正切值．考点三直线与平面的夹角例3正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq\r(2)a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．【名师指津】计算直线l与平面α的夹角为θ的方法有：(1)利用法向量计算θ的步骤如下：(2)利用定义计算θ的步骤如下：练习3．把本例条件改为“侧棱与底面边长相等”，求AB1与侧面ACC1A1例4如图，在四棱锥P­ABCD中，底