2019高三数学理北师大版一轮教师用书第7章第2节　空间图形的基本关系与公理

第二节空间图形的基本关系与公理[考纲](教师用书独具)1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第108页)[基础知识填充]1．空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推理3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα3.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[知识拓展]1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线a不平行于平面α，且aeq\o(⊆,/)α，则α内的所有直线与a异面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图7­2­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()图7­2­1A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aeq\o(⊆,/)α，aeq\o(⊆,/)β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]5．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．](对应学生用书第109页)平面的基本性质及应用如图7­2­2，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：图7­2­2(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[规律方法]1.证明线共面或点共面的常用方法1直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.2纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.3辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.2.证明点共线问题的常用方法1基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.2纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.[跟踪训练]如图7­2­3，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.图7­2­3(1)求证：E，F，G，H四面共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明](1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．]空间两直线的位置关系(1)(2018·东北三省三校二联)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点．若meq\o(⊆,/)α，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()【导学号：79140224】A．垂直 B．相交C．异面 D．平行(2)(2017·河北邯郸调研)如图7­2­4，在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()图7­2­4A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能(1)D(2)B[(1)由于A∈m，A∈α，meq\o(⊆,/)α，则有m与α相交，而nα，那么m，n的位置关系只可能是相交(包括垂直)或异面，不可能平行，故选D.(2)连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN(图略)．由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，因此可得G1C2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行．故选B.][规律方法][跟踪训练]如图7­2­5，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：图7­2­5①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．③④[直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．]异面直线所成的角(1)(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)(2)(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)(1)C(2)A[(1)法一：将直三棱柱ABC­A1B1C1补形为直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图(1)所示，连接AD1，B1D1，BD.(1)由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).故选C．法二：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示．(2)由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，eq\r(3)，1)，则eq\o(BC1,\\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq\o(AB1,\\s\up7(→))(1，－eq\r(3)，－1)．所以cos〈eq\o(AB1,\\s\up7(→))，eq\o(BC1,\\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up7(→))·\o(BC1,\s\up7(→)),|\o(AB1,\s\up7(→))|·|\o(BC1,\s\up7(→))|)＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为eq\f(\r(10),5).故选C．(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC，则异面直线AD和CE所成角为BC和CE所成角，即∠BCE.在△PBC中，PB＝PC＝4，BC＝2，所以由余弦定理得cos∠PBC＝eq\f(PB2＋BC2－PC2,2PB·BC)＝eq\f(1,4)，则在△BCE中，CE2＝BE2＋BC2－2BE·BCcos∠PBC＝4＋4－8cos∠PBC＝6，故cos∠BCE＝eq\f(CE2＋BC2－BE2,2BC·CE)＝eq\f(6＋4－4,4\r(6))＝eq\f(\r(6),4)，故选A．][规律方法]求异面直线所成角的两种方法1平移法①作：通过作平行线得到相交直线.②证：证明所作角为异面直线所成的角或其补角.③求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它