13探索三角形全等的条件（二）（ASAAASHL十大题型）（原卷版）

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》1.3探索三角形全等的条件（二）“ASA”、“AAS”与“HL”知识点知识点全等三角形的判定方法◆利用“ASA”判定两个三角形全等1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(ASA).◆利用“AAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(AAS).“ASA”与“AAS”的区别与联系“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边.把夹边相等写在两角相等的中间.由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可以互相转化.AAS“S”是两角的夹边.把两角相等写在一起，边相等放在最后.◆利用“HL”判定两个三角形全等1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).2、几何语言：∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【注意】“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.3、判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等.题型题型一全等三角形判定的条件【例题1】（2022秋•亳州期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD解题技巧提炼判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备SSA时一般是不能判定三角形全等的．【变式11】如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（）A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF【变式12】下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等 B．有两边对应相等的两个直角三角形不一定全等 C．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等 D．有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等【变式13】如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（）①∠B＝∠C②AB∥CD③BE＝CF④AF＝DEA．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【变式14】（2023春•高新区期末）如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE，下列不正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠A＝∠C C．AB＝CD D．AE＝CE【变式15】（2023春•南岗区期末）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．DE＝FE C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE题型二题型二利用“ASA”直接判定两三角形全等【例题2】（2022秋•亭湖区期末）已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED．​解题技巧提炼有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.【变式21】（2022秋•洪山区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【变式22】（2023•呈贡区校级三模）如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：△ABC≌△ADE．​【变式23】（2023•宁江区三模）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．题型三题型三利用“AAS”直接判定两三角形全等【例题3】（2022•天津模拟）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△BAC≌△DAE．解题技巧提炼两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.【变式31】（2022•太仓市模拟）如图，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分别为点E，点D．求证：△ABE≌△ACD；【变式32】（2023•盘龙区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且DE＝CB．求证：△CED≌△ABC．【变式33】（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：△ABE≌△ACD；题型四题型四利用“HL”直接判定两三角形全等【例题4】（2022春•碑林区校级期末）如图，线段AC、BD相交于点E，连接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：BE＝CE．解题技巧提炼斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【变式41】（2022秋•德惠市期中）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE．求证：△BAE≌△DCF．【变式42】（2023春•兴平市期中）如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．求证：△ABM≌△DCN．【变式43】（2023春•城关区校级期中）如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．题型五题型五判定三角形的全等求线段长【例题5】（2023春•常熟市期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的长．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解.【变式51】（2023春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD和BE是两条高线，相交于点F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，则AF＝．【变式52】（2023春•平阴县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．【变式53】（2023•惠山区校级模拟）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【变式54】（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．题型六题型六判定三角形的全等求角度【例题6】（2022秋•长沙期末）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度数．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式61】（2023•洞头区二模）如图，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求证：△ABC≌△BDE．（2）当∠A＝80°，∠ABE＝120°时，求∠EDB的度数．【变式62】（2022春•市南区期末）如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．（1）△EBD和△ABC全等吗？请说明理由．（2）若O为CD中点，∠BDE＝67°，求∠OBD的度数．【变式63】（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AC，延长AD到点E，使得AE＝AB，连结BE，CE．（1）求证：△ABD≌△AEC；（2）若∠BAC＝60°，求∠BCE的度数．题型七题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系【例题7】（2023春•东明县期中）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．解题技巧提炼先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.【变式71】（2022春•源城区期末）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．（1）求证：△AOC≌△BOD．（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．【变式72】如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【变式73】（2022春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）试说明：△ABE≌△DBC；（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．题型八题型八三角形全等的开放探究题【例题8】（2023春•市北区期末）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．解题技巧提炼三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式81】（2023春•徐汇区期末）如图，已知∠OCB＝∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是．​【变式82】如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是．（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是．（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是．【变式83】（2023春•黄浦区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件使△AEH≌△CEB．你添加的条件是．【变式84】（2023•贵州模拟）如图，点D在BC上，∠ADB＝∠B，∠BAD＝∠CAE．（1）添加条件：（只需写出一个），使△ABC≌△ADE；（2）根据你添加的条件，写出证明过程．题型九题型九利用三角形全等解决实际问题【例题9】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解题技巧提炼全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【变式91】如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？【变式92】（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【变式93】（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．【变式94】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？题型十题型十全等三角形的判定与性质的综合应用【例题10】（2022秋•绥棱县校级期末）如图，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，EF过点O并分别交AD，BC于点E，F，